MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Wyznaczyliśmy równania opisujące zmiany dwóch elementów orbitalnych: Mogą one być zmieniane w wyniku działania składowych siły perturbującej leżących w płaszczyźnie orbity.

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Nachylenie orbity to kąt między wektorem momentu pędu a jego składową z-ową: Zróżniczkujmy to równanie: Musimy teraz znaleźć składowe wektora ċ w układzie XYZ Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek odniesienia węzeł wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Rys. 3 z Burns (1976) Inne oznaczenia momentu pędu, anomalii prawdziwej, nachylenia orbity! Wcześniej było pokazane, że zmiana momentu pędu jest równa przyłożonemu momentowi: a więc składowe zmiany momentu pędu w układzie związanym z orbitą:

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Składowe w układzie odniesienia dostaniemy dokonując odpowiednich obrotów: skąd:

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Używając równań: możemy przepisać wyrażenie na dI/dt w postaci: lub: W takim razie dI/dt zależy tylko od N, a więc nachylenie orbity może być zmienione jedynie przez siły prostopadłe do płaszczyzny orbity.

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Dzieląc przez siebie wyrażenia na X-ową i Y-ową składową momentu pędu otrzymamy: różniczkując to wyrażenie względem czasu: lub: Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek odniesienia węzeł wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Podstawiając do otrzymanego równania otrzymane wcześniej wyrażenia na ċ X ċ Y oraz następujące wzory: możemy je przepisać w postaci: lub: Licznik jest składową momentu powodującą precesję, a mianownik – składową leżącą w płaszczyźnie XY normalną względem linii węzłów

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Perturbacje dwóch pozostałych elementów orbitalnych otrzymuje się w nieco bardziej skomplikowany sposób ponieważ ω i T nie są jawnymi funkcjami h i c. W celu wyznaczenia wyrażenia na dω/dt wróćmy do równania biegunowego elipsy: podstawiamy do niego uzyskane wcześniej wyrażenia na e i c: co daje: gdzie u jest wprowadzonym wcześniej argumentem szerokości.

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Różniczkujemy otrzymane wyrażenie przy założeniu, że perturbująca siła wywołuje natychmiastowy efekt. To znaczy, że zmieniają się parametry orbitalne ale r możemy traktować jako stałe. Otrzymujemy: pochodna du/dt pojawia się dlatego, że nagła zmiana Ω pociąga za sobą zmianę u, który jest odległością obiektu od linii węzłów. Rys. 4 z Burns (1976) Ω I ω ognisko orbita płaszczyzna odniesienia perycentrum kierunek odniesienia węzeł wstępujący

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane wyrażenie na dω/dt można przekształcić przy użyciu: do postaci:

Zagadnienie dwóch ciał Orbity perturbowane Ostatnim parametrem jaki pozostał do znalezienia jest dT/dt. W tym celu zróżniczkujemy równanie Keplera. Po podstawieniu χ=-nT otrzymujemy: uwzględniając, że dχ/dt=-ndT/dt-Tdn/dt mamy ostatecznie: Powyższe wyrażenia na zmianę T zawierają zależność od czasu. To powoduje, trudności przy analizie rzeczywistych przypadków ponieważ te pochodne rosną z czasem.

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F M ν r a P G x y W wielu zagadnieniach mechaniki nieba użyteczne są przybliżenia dające dokładność co do rzędu e, gdzie wygodnie jest opisywać wielkość odchyłki ruchu od przypadku kołowego. Tego rodzaju przybliżenie jest między innymi wykorzystywane przy opisie ruchu perturbowanego w sąsiedztwie punktów równowagi, efektów spłaszczenia ciał, ruchu bliskiego kołowemu dla orbit prawie równikowych itd..

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F M ν r a P G x y W przybliżeniu „guiding centre” ruch cząstki P wokół ogniska F jest opisywany w układzie odniesienia umieszczonym w punkcie G. G jest tzw. „guiding centre”, który porusza się dookoła ogniska F po kole o promieniu a, gdzie a jest wielką półosią orbity cząstki. Prędkość z jaką porusza się G jest równa ruchowi średniemu punktu P.

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F M ν r a P G x y Tego rodzaju przybliżenie jest bardzo użyteczne również poza mechaniką nieba. Np. ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym. Taki ruch najłatwiej jest badać opisując go jako złożenie ruchu środka poruszającego się wzdłuż linii sił pola magnetycznego oraz ruchu cząstki wokół tego środka.

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F M ν r a P G x y Przejdźmy do układu współrzędnych mającego początek w punkcie G. Wtedy współrzędne prostokątne punktu P wyrażają się poprzez:

Jeśli wykorzystamy uzyskane wcześniej rozwinięcie ν-M i ograniczymy się do rzędu e, to: w takim wypadku współrzędne punktu P:wykorzystujemy: skąd otrzymujemy: Co oznacza, że jeżeli G porusza się wokół F po kole o promieniu a ze średnim ruchem n i okresem 2π/n, to P porusza się wokół G w przeciwnym kierunku po elipsie o wielkiej półosi równej 2ae, małej półosi ae z okresem równym 2π/n. Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre”

Punkt P zakreśla wokół F figurę Lissajou otrzymaną przez złożenie dwóch ruchów harmonicznych o tej samej częstotliwości n, różnicy w fazie π/2 i stosunku amplitud 2:1. Figura Lissajou jest krzywą zdefiniowaną równaniami parametrycznymi: Jest to krzywa przedstawiająca tory wypadkowe ruchów harmonicznych w przypadku gdy stosunek częstości ruchów składowych jest liczbą wymierną. Różne krzywe otrzymujemy w zależności od różnicy faz początkowych. Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre”

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre”

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F ν r P Eg R 2a-r ae Odległość punktu P od środka elipsy: Przekształcając i korzystając z rozwinięcia czynnika r/a dostajemy: a następnie, wykorzystując otrzymaną wcześniej zależność ν=M+O(e): O Zależność między anomalią prawdziwą, średnią i mimośrodową w przybliżeniu „guiding centre”

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F ν r P Eg R 2a-r ae Otrzymany wynik pokazuje, że z dokładnością do rzędu e, droga po jakiej porusza się punkt P jest kołem o środku O. W takim wypadku orbita i koło pomocnicze (opisywane na elipsie, pozwalające zdefiniować E) pokrywają się i wtedy kąt POF jest anomalią mimośrodową. Można pokazać, że w takim przybliżeniu kąt g jest anomalią prawdziwą M. O

Stosując wzór cosinusów do trójkąta PF’F: stąd mamy: Jeżeli wykorzystamy teraz otrzymane wcześniej rozwinięcie w szereg wyrażenia a/r: Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F ν r P Eg R 2a-r ae O

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” F’ F ν r P Eg R 2a-r ae O Ostatecznie: Skąd, z dokładnością do liniowego wyrazu e otrzymujemy: g=M. W takim razie linia łącząca punkt P i puste ognisko F’ rotuje z jednostajną prędkością Taki wynik wskazuje, że model Ptolemeusza odzwierciedlał rzeczywiste ruchy obiektów z dokładnością do e. W jego modelu Ziemia była odsunięta od środka koła (ognisko F) a ruch planet odbywał się wokół ekwantu (ognisko F’) a więc był jednostajny (doskonały!).

Zagadnienie dwóch ciał Przybliżenie „guiding centre” Rozpatrzmy satelitę, którego obrót jest zsynchronizowany z jego okresem orbitalnym. Linia poprowadzona od niego do pustego ogniska porusza się ruchem średnim n. Satelita zwraca cały czas tę samą stronę w kierunku F’, przez co z ciała centralnego widoczne są nieco inne fragmenty powierzchni w różnych fazach jego ruchu. To przybliżenie może być pomocne w zrozumieniu działania mechanizmu pływów libracyjnych (ang. librational tide).

Zagadnienie n ciał Równania ruchu Potrafimy rozwiązać analitycznie zagadnienie dwóch ciał, ale w rzeczywistych układach dynamicznych jest ich zwykle więcej… Często wystarczy posłużyć się metodami perturbacyjnymi. W ogólności chcielibyśmy umieć rozwiązywać zagadnienia, w których mamy układy wielu ciał.

Zagadnienie n ciał Równania ruchu z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Zakładamy, że odległości między ciałami są na tyle duże, że możemy je traktować jak punkty materialne. Mamy układ n punktów materialnych działających na siebie siłami zgodnie z prawem powszechnej grawitacji. Oznaczamy masy tych punktów przez m i, a ich współrzędne prostokątne przez x i,y i,z i gdzie i=1,2,3,…,n

Zagadnienie n ciał Równania ruchu z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Punkt m j działa na punkt m i siłą: gdzie r ij jest odległością tych punktów Całkowita siła z jaką wszystkie punkty działają na punkt m i wyraża się przez:

Zagadnienie n ciał Równania ruchu z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Możemy teraz napisać równania ruchu punktu m i : a następnie, sumując po wszystkich n punktach:

Zagadnienie n ciał Równania ruchu z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Pamiętając, że: możemy pogrupować w pary odpowiednie wyrazy prawej strony równań ruchu: tak aby dały w efekcie zero. Otrzymujemy wtedy:

Zagadnienie n ciał Równania ruchu z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Całkujemy otrzymane równanie: Lewa strona jest z definicji środkiem masy badanego układu. Z prawej strony mamy sześć zmiennych niezależnych. Stąd nawet dla układu n ciał ich środek masy porusza się w przestrzeni ruchem jednostajnym prostoliniowym Znalezienie sześciu stałych ruchu niewiele zmienia. Układ równań zagadnienia n ciał składa się z n równań drugiego rzędu, które wymagają 6n stałych całkowania.

Zagadnienie n ciał Całka pól z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Aby znaleźć całkę pól mnożymy równanie ruchu przez r i (wektorowo): pamiętając, że: znowu możemy, sumując po wszystkich punktach, zauważyć, że prawa strona jest równa zero.

Zagadnienie n ciał Całka pól z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) W takim razie mamy: czyli całkowity moment pędu układu n ciał jest stały. To oznacza również, że istnieje pewna płaszczyzna w przestrzeni (płaszczyzna niezmiennicza) prostopadła do tego wektora. Należy jednak pamiętać, że dotyczy to tylko układu mas, których kształt można zaniedbać, nie ma między nimi połączeń, są ciałami sztywnymi itd.

Zagadnienie n ciał Całka energii (sił żywych) z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Zdefiniujmy funkcję sił układu n punktów: wtedy: podobnie dla pozostałych współrzędnych, więc równanie ruchu możemy zapisać jako: gdzie:

Zagadnienie n ciał Całka energii (sił żywych) z y x 0 P j (x j,y j,z j ) Q i (x i,y i,z i ) Pomnóżmy równanie ruchu: obustronnie (skalarnie) przez wektor prędkości i dodajmy wszystkie równania: całkujemy: energia kinetyczna układu: a więc: Otrzymaliśmy dziesiątą, ostatnią całkę w zagadnieniu n ciał – całkę energii