Zagadnienie i algorytm transportowy

Zagadnienie transportowe Ekonomiczne sformułowanie problemu transportowego Istnieje pewna liczba punktów nadania i punktów odbioru jednorodnego towaru. Należy tak powiązać ze sobą miejsca dostaw z miejscami odbioru, ażeby łączne koszty transportu były jak najmniejsze

Wymagana jest znajomość następujących wielkości: Limity dostaw dostawców. Zapotrzebowanie odbiorców. Jednostkowe koszty transportu we wszystkich relacjach.

Matematyczne sformułowanie zagadnienia transportowego

Oznaczenia: xij — wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, ai — limit dostaw i-tego dostawcy, bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy, m — liczba dostawców, n — liczba odbiorców.

Tablica transportowa Odb. Dost. 1 2  n Limity dostaw x11 x12 x1n a1 x21 x22 x2n a2 m xm1 xm2 xmn am Zapotrzebowanie b1 b2 bn

Macierz kosztów jednostkowych

Rozwiązywanie zadań transportowych – algorytm transportowy Algorytm transportowy to zmodyfikowana metoda simpleks służąca do rozwiązywania zadań transportowych. Podstawowym warunkiem stosowania algorytmu transportowego jest, ażeby zadanie transportowe było zbilansowane. Oznacza to, że suma dostaw musi być równa sumie zapotrzebowania.

Możliwe sytuacje: ai > bj – rynek konsumenta; wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę o zapotrzebowaniu: bn + 1 = ai – bj ai < bj – rynek producenta; wprowadzamy fikcyjnego dostawcę o limicie dostaw: am + 1 = bj – ai

Zadanie transportowe zbilansowane

Algorytm transportowy Ustalenie rozwiązania bazowego wyjściowego. Sprawdzenie optymalności rozwiązania. Jeżeli rozwiązanie wyjściowe nie jest jeszcze optymalne, należy wyznaczyć zmienną wprowadzaną do bazy. Wyznaczenie nowych wartości zmiennych bazowych. Powyższe kroki powtarza się, aż uzyskamy rozwiązanie optymalne.

Metody ustalania rozwiązania wyjściowego Metoda lewego-górnego rogu (metoda kąta północno-zachodniego). Metoda minimum macierzy. Metoda aproksymacji Vogla. Rozwiązanie bazowe zadania transportowego zapisuje się w tablicy transportowej, która ma tyle wierszy, ilu jest dostawców (wiersz odpowiada dostawcy) oraz tyle kolumn, ilu odbiorców (kolumna odpowiada odbiorcy). Zatem tablica transportowa ma wymiary m  n. Liczba zmiennych bazowych każdego rozwiązania podstawowego jest równa m + n – 1.

Sprawdzenie optymalności rozwiązania bazowego Wyznaczamy macierz wskaźników optymalności ij według wzoru: gdzie: cij — elementy macierzy jednostkowych kosztów transportu,  elementy macierzy kosztów pośrednich.

Wyznaczanie macierzy kosztów pośrednich Na polach bazowych przepisujemy wartości z macierzy cij. Pozostałe pola uzupełniamy w myśl jednej z dwóch zasad: metody jednakowych różnic: porównujemy ze sobą dowolne dwa wiersze albo dowolne dwie kolumny. Puste pola wypełniamy tak, ażeby różnice pomiędzy elementami porównywanych kolumn (wierszy) były jednakowe. metody potencjałów: dla wartości kosztów pośrednich leżących na polach bazowych korzystamy z następującej zależności:

gdzie: ui  potencjały dla wierszy, vj  potencjały dla kolumn. Najpierw wyznaczamy potencjały dla pól bazowych (w pierwszym wierszu wpisujemy u1 = 0), a następnie z tak wyliczonych potencjałów wyznaczamy wartości kosztów pośrednich dla pól niebazowych.

Sprawdzenie optymalności rozwiązania bazowego. Jeżeli wszystkie wyznaczone wartości wskaźników optymalności ij są niedodatnie, wówczas badane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli zaś przynajmniej jeden element macierzy ij jest dodatni, wówczas rozwiązanie należy poprawić.

Ulepszanie rozwiązania bazowego W macierzy wskaźników optymalności znajdujemy największą wartość dodatnią. W wybrane pole wprowadzamy nową zmienną bazową. Budujemy graf przesunięć. Graf przesunięć jest to linia łamana zamknięta, utworzona z odcinków leżących na polach bazowych. W miejscu, gdzie dwa odcinki się stykają, jest kąt prosty. Budowę grafu rozpoczynamy od pola, w które wprowadzamy nową zmienną. Pole to oznaczamy „+”. Kolejne pole oznaczamy „–”, kolejne „+”, i tak dalej. Pola z „+” tworzą półcykle dodatnie, a pola z „–” – półcykle ujemne. Wyznaczamy wartość nowej zmiennej bazowej:  = min z półcykli ujemnych.

Przeliczamy wartości zmiennych bazowych w taki sposób, że w miejscu półcykli dodatnich dodajemy wartość , a w miejscu półcykli ujemnych – odejmujemy. Uzyskujemy nowe rozwiązanie bazowe. Całą procedurę ulepszania stosujemy, aż uzyskamy rozwiązanie optymalne.

Twierdzenia dotyczące algorytmu transportowego Jeżeli wielkości dostaw oraz wielkości zapotrzebowania w zagadnieniu transportowym są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe także jest wyrażone w liczbach całkowitych. Zadanie transportowe, w którym łączna objętość dostaw jest równa łącznej sumie zapotrzebowania (czyli jeżeli jest zbilansowane), zawsze posiada rozwiązanie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, ażeby rozwiązanie zadania transportowego było niezdegenerowane jest, aby nie było takiej niepełnej liczby punktów nadania, dla których łączna objętość dostaw jest równa sumarycznemu zapotrzebowaniu pewnej grupy punktów odbioru.