MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 14 23.06.2008 r

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 www.asc.rssi.ru sajri.astronomy.cz

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 Warunek stabilności punktów L4 i L5 : Jest spełniony w Układzie Słonecznym dla wszystkich par Słońce-planeta i planeta-księżyc, poza parą Pluton-Charon (ale Pluton już nie jest planetą) W 1906 r. został odkryty pierwszy obiekt poruszający się wokół L4 układu Jowisz-Słońce – (588) Achilles

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 (3753) Cruithne – pierwszy obiekt poruszający się wokół punktu równowagi układu Ziemia-Słońce Księżyce Kordylewskiego? Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 Symulacje stabilności obiektów wokół punktów równowagi układu Słońce-Ziemia Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 W tym wypadku mamy: skąd: Równanie charakterystyczne przyjmuje postać:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 Wybraliśmy układ jednostek, w którym ruch średni masy μ2 jest jednostkowy, a okres orbitalny = 2π Ruch cząstki jest złożeniem dwóch ruchów: - krótkookresowego, okres= 2π/|λ1,2| jest zbliżony do okresu orbitalnego masy μ2 - libracyjnego wokół punktu równowagi, okres= 2π/|λ3,4| Amplitudy tych ruchów zależą od stałych αj, βj, które zależą od warunków początkowych Ruch wypadkowy można traktować jako złożenie długookresowego ruchu epicentrum wokół L4 i krótkookresowego ruchu wokół epicentrum

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 Przykład: odpowiednie wartości własne są równe: Wtedy rozwiązanie ma postać:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Ruch w otoczeniu L4 i L5 Ze względu na nachylenie orbity w stosunku do osi łączącej masy, można dokonać uproszczenia zagadnienia przez obrót układu współrzędnych o 30: Wtedy X(t) i Y(t) z przykładu przyjmują wartości: Są to dwa ruchy po elipsie. Ruch przypomina wcześniej analizowane przybliżenie „guiding center”

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu kijanki (tadpole) sajri.astronomy.cz

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu kijanki (tadpole) μ2=0.001 – podobnie jak w przypadku układu Słońce-Jowisz Na prawym wykresie ruch cząstki rozpoczął się nieco dalej od punktu równowagi Co się stanie jeżeli ruch rozpocznie się jeszcze dalej?

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe) Kąt jaki zakreśla cząstka może osiągnąć wartości dużo większe od 180

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu kijanki (tadpole) Janus Prometeusz Copyright by Calvin J. Hamilton

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe) planetoida 2002 AA29 porusza się po orbicie typu podkowy w układzie Ziemia-Słońce Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe) planetoida 2002 AA29 Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Orbity typu podkowy (horseshoe) 3753 Cruithine Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Quasi - księżyce Tego rodzaju obiekty mogą zajmować stabilne orbity przez cały czas życia Układu Słonecznego Preferowane są dalsze planety – quasi-księżyce znaleziono w przypadku Urana i Neptuna Copyright by Paul Wiegert

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Ruch cząstki wokół centralnej masy jest przez większość czasu keplerowski. Perturbacje pojawiają się jedynie przy bliskim spotkaniu z drugą masą. Przykładem takiego ruchu są orbity typu podkowy i kijanki. Poza rozwiązywaniem pełnych równań ruchu warto zbadać ruch wokół mniejszej masy. Podstawy tego zagadnienia sformułował Hill (1878)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Jeżeli różnica mas jest duża możemy przyjąć, że μ1≈1, wtedy równania ruchu płaskiego: przyjmują postać:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla W następnym kroku dokonujemy przesunięcia początku układu współrzędnych tak, że x->1+x i wprowadzamy Δ=r2. Rozpatrujemy ruch w pobliżu masy m2 (tzn. w okolicy punktów L1 i L2), więc x,y oraz Δ są małymi wielkościami. Rozwijając w szereg wyrażenie: i zaniedbując wyższe potęgi μ2, dostajemy: co pozwala przepisać równania ruchu w postaci:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla (14.1a) (14.1b) Są to tzw. równania Hilla, gdzie: a zmodyfikowana stała Jacobiego jest równa: (14.2)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Z równania 14.1a widzimy, że radialna składowa siły znika kiedy 3Δ3=μ2. To pozwala zdefiniować sferę Hilla jako sferę o promieniu: otaczającą drugą masę. Analogiczny wynik był uzyskany w przypadku wyznaczania położeń punktów L1 i L2 (wykład 13):

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Podstawiając w równaniach 14.1: możemy znaleźć położenie punktów L1 i L2. Z równania 14.1a mamy: a z równania 14.2 dostajemy odpowiednią zmodyfikowaną stałą Jacobiego: jeżeli zapiszemy: (14.3) to orbity typu podkowy są możliwe w obszarze, w którym ζ<34/3. krzywe zerowej prędkości w otoczeniu punktów L1 i L2

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Użyjemy teraz kryterium Tisseranda do wyznaczenia zależności między elementami orbitalnymi przed i po spotkaniu z satelitą. Niech elementy orbitalne przed i po spotkaniu z satelitą będą równe odpowiednio: gdzie wszystkie wielkości oznaczone przez Δ są małe. Z kryterium Tisseranda mamy: co może być rozwinięte do postaci: lub:

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Tą samą zależność można uzyskać z równań Hilla: w przypadku dużych wartości Δ: co może być zapisane jako (przy użyciu 14.2 i 14.3): Używając teraz przybliżenia „guiding centre” możemy zapisać (n=1): wtedy z równań 14.4: (14.4)

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Uzyskane wyrażenia można użyć do przekształcenia równania: do postaci: z którego mamy: gdzie prawa strona jest stała.

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Równania Hilla Równania Hilla skalują się z μ21/3. Jeśli podstawimy: to równania ruchu 14.1 przyjmują postać: Trajektorie cząstki otrzymane ze skalowalnej postaci równań Hilla. Masa perturbująca jest w początku układu

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Księżyce „pasterskie” www.astro.ljmu.ac.uk www.universetoday.com

Ograniczone zagadnienie 3 ciał Księżyce „pasterskie” Copyright of Cassini Team