Fraktale i chaos w naukach o Ziemi Zjawiska, których wspólną cechą jest chaotyczny rozwój w czasie zachodzą w naturze gdy zależności przyczyna – skutek są nieliniowe chociaż deterministyczne. „Chaos to losowe zachowanie występujące w układzie deterministycznym, a więc chaos to nieregularne zachowanie całkowicie rządzone przez prawo”.

Benoit Mandelbrot (1967) wprowadził geometrię kształtów nieregularnych nazwanych fraktalami. Obiekty fraktalne scharakteryzował trzema własnościami: - mają cechę samopodobieństwa, - ich wymiar NIE JEST liczbą całkowitą, - są określone zależnością rekurencyjną.

Manifestem Mandelbrota jest zdanie: Geometria Natury ma twarz fraktalną.”

Wymiary fraktalne Rozwój wiedzy o fraktalach i zastosowanie ich do opisu własności geometrycznych obiektów w Naturze oraz do komputerowych modelowań spowodował utworzenie wielu definicji tych obiektów. Fraktale są matematycznymi modelami zbiorów bardzo nieregularnych, specyficznych. Stopień ich „rozwichrzenia” jest scharakteryzowany przez wymiar fraktalny. Istnieje wiele matematycznych definicji wymiaru fraktalnego co dla pewnych zbiorów prowadzi do różnych wartości wymiaru. Wymiar obiektu w przestrzeni Euklidesa oznacza najmniejszą liczbę współrzędnych niezbędnych do opisu położenia Prawa potęgowe związane z niezmienniczością skali są znane od dawna i niekoniecznie muszą być interpretowane w terminologii fraktalnej, istnieją inne charakterystyki, które opisują własności podobieństwa struktur geometrycznych.

Długość wybrzeża Anglii mierzona przymiarem o długości r: L(r) = N(r) ·r ( N(r) ilość przymiarów pokrywających mierzoną krzywą) w funkcji długości przymiaru na wykresie log - log dała linię prostą (Richardson, 1961). Na tych pomiarach Mandelbrot (1967) oparł definicję wymiaru fraktalnego. Zależność L(r) dobrze aproksymuje wzór: L(r)= C ·r 1-D Stąd ilość obiektów N(r) z liniowym rozmiarem r jest: N(r) = C ·r -D gdzie C jest stałą proporcjonalności, D nazwano fraktalnym wymiarem krzywej. Dla zachodniego wybrzeża Anglii D = 1.25.

Gdy wykres log N(r) - log r jest linią prostą badany obiekt jest fraktalem. Wymiar fraktalny D określony jest przez znalezienie nachylenia wykresu log N(r) - log r, lub równoważnie ln – ln. Jest to ułamek i jest on ilościową miarą stopnia chropowatości, rozwichrzenia. Gdy wymiar fraktalny D jest liczbą całkowitą jest on równoważny wymiarowi Euklidesowemu. Niektóre zależności potęgowe wychodzą poza przedział 0 < D < 3. Przyjmowane są jako fraktale gdyż są niezmiennicze ze względu na skalę. Niezmienniczość ze względu na skalę oznacza, że nie ma naturalnej długości skali, która wchodziła by w potęgową relację, fraktale są skalowalne. Niezmienniczość fraktali względem zwykłego geometrycznego podobieństwa jest nazywana samopodobieństwem.

Własność samopodobieństwa, precyzyjnie określona dla fraktali matematycznych, dla obiektów fizycznych istnieje tylko w pewnym zakresie wielkości. Statystyczny rozkład ilości względem rozmiarów dla dużej ilości obiektów również może być fraktalem gdy liczba N obiektów z charakterystycznym liniowym rozmiarem większym niż r: N = C/rD gdzie D jest wymiarem fraktalnym. Ta kumulatywna zależność często jest stosowana jako reprezentacja naturalnych zjawisk z ograniczeniami z góry i z dołu.

Wymiary fraktalne Wymiar informacyjny Wymiar korelacyjny Wymiar uogólniony