Numeryczne rozwiązywanie dwuwymiarowych zagadnień magnetostatycznych. Rozwiązywanie problemu magnetostatycznego w aplikacjach korzystających z metody elementów skończonych (FEM) na przykładzie pakietu QuickField.

Magnetostatyka jest przypadkiem szczególnym elektrodynamiki dla pól stałych w czasie (B/t=0) Przedmiotem rozwiązania są liniowe i nieliniowe, dwuwymiarowe problemy magnetyczne. Źródłem pola mogą być skoncentrowane lub rozłożone prądy, magnesy stałe pola zewnętrzne. Problem jest formułowany jako równanie Poisson’a wektora potencjału magnetycznego A:

y jz jz Az Az By Bj Br j Bx r x r jj Aj Br Na płaszczyźnie x, y (r, j) y x Bx By Az jz r j Bj Br Az jz r z Bz Br Aj jj j Na płaszczyźnie r, z (, ) Przyjmuje się, że indukcja leży na płaszczyźnie xy albo zr, podczas gdy wektor gęstości prądu elektrycznego j i wektor potencjału A są prostopadłe do nich. Tylko jz i Az w płaskim albo jq i Aq w osiowo-symetrycznym przypadku nie są równe zeru . Dlatego oznaczamy je po prostu j i A.

Problem osiowo-symetryczny Rozpatrywana płaszczyzna r > 0 z Problem płasko-równoległy

Dla problemu płasko-równoległego Dla problemu osiowo-symetrycznego Ponieważ rozpatrujemy tylko jedną składową wektora A możemy pominąć index z. mx,y,r,z – składowe tensora przenikalności magnetycznej, Hc – składowe natężenia koercji (z charakterystyki pierwotnej) Materiały izotropowe (mx = my , mr = mz ) Własności magnetyczne opisuje charakterystyka magnesowania B=B(H)

Definiowanie problemu. Warunki graniczne. Źródła pola prądy objętościowe prądy powierzchniowe prądy liniowe magnesy trwałe pola zewnętrzne Definiowanie własności materiałowych. Generowanie siatki. Rozwiązywanie problemu. Interpretacja wyników Rozkład pola – możliwości prezentacji. Obliczanie wielkości całkowych (strumień, siły, indukcyjności, itp).

Warunki graniczne: Warunek Dirichleta x (z) a Parametry a, b, c są stałe dla każdej granicy, ale mogą się zmieniać na granicach sąsiadujących. To pozwala zamodelować jednorodne pole zewnętrzne o zadanej niezerowej składowej normalnej indukcji na tej granicy. B Bn a a=90° Bn=c x (z) Wybór a = const dla różnych krawędzi musi spełniać warunek ciągłości dla funkcji A0 na wszystkich połączonych krawędziach. Zerowy warunek Dirichleta jest warunkiem domyślnym dla osi obrotu w problemach osiowo symetrycznych.

Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0 Warunek Neumanna na granicy zewnętrznej na granicy wewnętrznej Ht - składowa styczna natężenia pola Jeśli Ht = 0 to warunek brzegowy jest jednorodny. Używany jest do opisania krawędzi obszarów antysymetrycznych tzn. obszarów sąsiadujących o odwróconym obrazie pola. Warunek jednorodny jest domyślny dla zewnętrznych krawędzi bez zdefiniowanego warunku. Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0 Opisuje materiał nadprzewodnikowy, który nie jest penetrowany przez pole magnetyczne. Wewnątrz nadprzewodnika wektor A (lub rA) jest stały, nadprzewodnik może więc być wyłączony z zagadnienia i zastąpiony stałą wartością potencjału na granicy.

Warunek homogeniczny Neumanna Ht = 0 Obszary antysymetryczne

Bn=0 Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0

Warunek Dirichleta Warunek Neumanna Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0 Okresowe warunki brzegowe

Specjalny typ warunków brzegowych (okresowe warunki brzegowe) wprowadzono w QuickField 5.1, by zmniejszyć wielkość modelu symulującego okresowe struktury, jak np. bieguny w maszynach elektrycznych. Te warunki odnoszą się do dwóch przeciwnych stron modelu i wymuszają taka samą wartość pola na obu granicach (okresowość parzysta) albo wartość przeciwną (okresowość nieparzysta). Warunek periodyczny jest ogólniejszy niż warunek Dirichlet'a lub warunek Neumann'a, ponieważ nie implikuje, że pole jest symetryczne (brak składowej normalnej) albo antysymetryczne (brak składowej stycznej) na danej granicy. Obie składowe mogą być obecne, ale muszą być takie same lub przeciwnego znaku. QuickField (w odróżnieniu od innych aplikacji np. Ansoft Maxwell) nie wymaga by siatki na obu granicach były identyczne.

okresowość parzysta okresowość nieparzysta

okresowość parzysta

Źródła pola mogą być zdefiniowane: w blokach na krawędziach w wierzchołkach modelu (punktach) Źródłami pola mogą być : prądy przestrzenne prądy powierzchniowe prądy liniowe magnesy stałe Źródło punktowe reprezentuje: w układzie płaskim - prąd liniowy (I) w kierunku z, w układzie osiowo-symetrycznym - prąd płynący w cienkim pierścieniu wokół osi symetrii. Źródło krawędziowe reprezentuje: w układzie płaskim - prąd powierzchniowy (s- gęstość liniowa) w kierunku z, w układzie osiowo-symetrycznym - prąd płynący w cienkim cylindrze wokół osi symetrii. Źródło blokowe reprezentuje: w układzie płasko-równoległym – gęstość prądu przestrzennego (j) w kierunku z, w układzie osiowo-symetrycznym - gęstość prądu przestrzennego płynącego w cylindrze wokół osi symetrii.

Źródła w układzie płasko-równoległym punktowe krawędziowe blokowe Źródła w układzie osiowo-symetrycznym Dorysować źródła w ukłądzie cylindrycznym. Układ prądów płynących w kierunku z może być różnie przedstawiony.

natężenie koercji, kąt wektora i stałą przenikalność, Magnes stały. Można opisać przez: natężenie koercji, kąt wektora i stałą przenikalność, natężenie koercji, kąt wektora i charakterystykę magnesowania, warunki Neumanna na jego powierzchniach bocznych. przenikalność magnetyczna stała natężenie koercji i kierunek

charakterystyka magnesowania magnesu Krok 2 charakterystyka magnesowania magnesu Kolejność wprowadzania danych Krok 1 natężenie koercji i kierunek

Hc B -Hc Warunki brzegowe Neumanna na powierzchniach bocznych magnesu x -Hc Hc B m = const Ten sposób wygodniejszy dla układu magnesów rozmieszczonych pod różnymi kątami (raz definiowane warunki na powierzchniach bocznych magnesu).

W układzie cylindrycznym r, j kierunek magnesu określony jest kątem liczonym względem promienia.

Pola zewnętrzne Pole jednorodne Problem płasko-równoległy Warunek Dirichleta a = 2 b = 0 c = 0 Pole jednorodne a = 0 b = 0 c = 0

Problem płasko-równoległy Warunek Dirichleta a = 0 b = 1 c = 0 a = 0 b = 0 c = 1 Składowa normalna Bn = By = const Składowa normalna Bn =Bx = const

Problem płasko-równoległy Warunek Dirichleta a = 0 b = 1 c = 1

Problem osiowo-symetryczny

Materiały magnetyczne charakterystyka magnesowania stała przenikalność magnetyczna Wszystkie obszary muszą mieć określone własności magnetyczne (powietrze m =1). Co najmniej jeden warunek graniczny.

Generowanie siatki Siatka generowana automatycznie. Jej gęstość zależy od wielkości szczegółów geometrycznych. Możliwa ingerencja – określenie boku elementu siatki w dowolnym wierzchołku układu.

Podczas rozwiązywania problemu następuje weryfikacja warunków brzegowych, definicji regionów i siatki. Wykryte błędy są sygnalizowane. Rozwiązany problem może być prezentowany przez: linie sił pola wektory indukcji lub natężenia pola kolorowe mapy wektora potencjału lub funkcji strumienia wektora indukcji lub jej składowych wektora natężenia pola i jego składowych przenikalności magnetycznej gęstości energii

Wektor B Wektor B Przenikalność magnetyczna

Dla zaznaczonego konturu (krawędź, linia, blok) Wielkości fizyczne Siły Sprzężenie na 1 zwój Siła magnetomotoryczna Strumień magnetyczny Energia pola magnetycznego Koenergia pola magnetycznego Indukcyjności Wielkości geometryczne Długość konturu Przekrój Powierzchnia Objętość (bloku o długości 1m) Ponadto inne wielkości całkowe

Siła działająca na uzwojenie f = 143.85 N j = 180° fz = -143.85 N fr = 0 N Sprzężenie na 1 zwój Y = 0,0056947 Wb Siła magnetomotoryczna Q = 5400 A Energia pola magnetycznego W = 4.981 J z = 2000 zwojów Sprzężenie y = 11,39 Wb Prąd I = 2,7 A Indukcyjność L = 4,2236 H Siła działająca na rdzeń f = 382.67 N j = 0° fz = 382.67 N fr = 0 N Średnia wartość kwadratu indukcji Ba2 = 0,13873 T2

na podstawie problemu istniejącego Nazwa problemu Katalog problemu Kreowanie problemu o nowej nazwie na podstawie problemu istniejącego

Po ustaleniu nazwy

Typ problemu Precyzja rozwiązania Nazwa pliku geometrii Nazwa pliku danych Płasko-równoległy czy osiowo-symetryczny ? Dołączana biblioteka danych

Układ współrzędnych Jednostka długości

Typ problemu Nazwa pliku geometrii Nazwa pliku danych Etykiety bloków Etykiety krawędzi Etykiety wierzchołków Dołączana biblioteka danych - gdyby była.

Krawędź nazwana i zdefiniowana Krawędź nazwana, ale nie zdefiniowana

Problemy sprzężone QuickField umożliwia import obciążenia (rozłożonych źródeł) obliczonego w jakimś problemie do problemu innego typu. Dostępne są sprzężenia problemów: cieplnego (Heat transfer) z polem przepływowym (current flow) lub harmonicznym problemem elektromagnetycznym (time-harmonic), naprężeń termicznych z polem cieplnym, naprężeń mechanicznych z polem elektrostatycznym, magnetostatycznym lub harmonicznym. Warunki dla problemów sprzężonych: Oba problemy muszą korzystać z tego samego pliku modelu geometrycznego. Oba problemy muszą być tak samo sformułowane (plane lub axisymmetric). Problem źródłowy musi być rozwiązany przed rozwiązaniem problemu docelowego.

Przykładowe rozwiązanie pola sprzężonego magneto-termicznego Linie pola i gęstość prądu Rozkład temperatury