RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU Wykład 5 RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU

1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.

Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy: Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać: (1) Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą: (2) Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy: (3) a po scałkowaniu (4)

Po przekształceniu otrzymamy kierunkowe równanie płaszczyzny nachylonej do poziomu pod kątem , oznaczonym na rys. 1. (5) zatem (6) Widać zatem, że w rozpatrywanym przypadku powierzchnie jednakowego ciśnienia są płaszczyznami nachylonymi do poziomu pod kątem .

Rozkład ciśnienia wyznaczamy z zależności (7) Która po podstawieniu wartości składowych jednostkowej siły masowej, określonym równaniem (2) przybiera postać. (8) Po scałkowaniu (9) Stałą c wyznaczamy z warunku, że gdy x=0 i z=0, to , zatem . Równanie (9) przybiera więc postać: (10)

2. Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym wokół pionowej osi.

Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą: (11) Po podstawieniu do równani (1) otrzymamy: (12)

Po scałkowaniu (13) Ponieważ , to równanie (13) przybiera postać (14)

Równanie swobodnej powierzchni cieczy wyznaczamy dobierając stałą c tak, aby dla r=0 współrzędna (wierzchołek paraboli). Stała . Po podstawieniu do (14) otrzymujemy równanie swobodnej powierzchni cieczy w postaci (15) lub (15a) - współrzędna z wierzchołka paraboli

Jeśli naczynie w stanie spoczynku było wypełnione do wysokości h, to wyznaczamy z porównania objętości (16)

(16a) Dla z równania (15) otrzymujemy Po podstawieniu do (16) i uproszczeniu (17) skąd współrzędna . Po podstawieniu do równania powierzchni (15) otrzymamy (18)

ROZKŁAD CIŚNIEŃ Po podstawieniu (11) do (7) otrzymamy; (19) Po scałkowaniu (20) a po przekształceniu (21) Stałą c wyznaczamy z warunku: i po podstawieniu jej do równania (21) otrzymamy równanie na rozkład ciśnienia w postaci: (22) Gdzie występuje największe ciśnienie?

3. Równowaga względna płynu w ruchu jednostajnie obrotowym wokół poziomej osi. w naczyniu całkowicie wypełnionym cieczą

Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą: (23) Po podstawieniu do równania jednakowej powierzchni ciśnienia Xdx+Ydy+Zdz=0 otrzymamy: (24) Po scałkowaniu (25) a po przekształceniu (26)

Jest to równanie powierzchni walcowych o osi przesuniętej w górę względem osi obrotu o odległość . Odległość tę wyznaczamy z podobieństwa trójkątów , zatem .

Po podstawieniu składowych siły masowej (23) do równania na rozkład ciśnienia otrzymamy: (27) które po scałkowaniu przybiera postać (28) lub (29) Gdy to i powierzchnie ekwipotencjalne stają się walcami o osi pokrywającej się z osią obrotu (warunek brzegowy r=0, z=0 to p=pb). Wzór na rozkład ciśnienia przybiera postać (30)

b) w naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą W naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą równowaga względna zachodzi dopiero przy dostatecznie dużej prędkości kątowej. Gdy , to , a wzór na ciśnienie przybiera postać: (31)

Przykład 1: Naczynie wypełnione wodą o gęstości ρ=1000kg/m3 obraca się jednostajnie wokół osi pionowej. Średnica naczynia wynosi D=2R=2m. Obliczyć prędkość kątową przy której zwierciadło wody dotknie dna naczynia. Poziom cieczy w stanie spoczynku wynosi H=10m.

skąd Objętość paraboloidy obrotowej (32) Z bilansu objętości wynika, że (33) (34) Równanie powierzchni ekwipotencjalnej (15a) ma postać (35) Dla punktu z=h i r=R i podstawieniu (34) (36) skąd (37)

Przykład 2: Naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełniono całkowicie cieczą. Jaka objętość cieczy przeleje się przez obrzeże naczynia jeśli wiruje ono z prędkością kątową ω.

Przykład 3 Zbiornik stożkowy o wymiarach R i H, napełniony całkowicie cieczą, wprowadzono w ruch jednostajnie obrotowy wokół pionowej osi. Przy jakiej prędkości kątowej powierzchnia swobodna cieczy będzie styczna do ściany zbiornika ?

Równanie swobodnej powierzchni cieczy ma postać: (1) a po przekształceniu (2) Pochodna dr/dz wynosi (3) a w punkcie z=H odpowiednio (4) Równanie (1) dla z=H i r=R przybiera postać: (5)

Stąd (6) Po podstawieniu równania (6) do (4) otrzymamy: (7)

Przykład 4 Zbiornik w kształcie sześcianów o boku b wirują w płaszczyźnie poziomej w odległości r od osi obrotu. Oblicz liczbę obrotów n, przy której ściany zbiorników bliższe osi będą suche.

Zapiszemy równanie swobodnej powierzchni cieczy dla r i r+b (1) (2) Po odjęciu stronami wyrażenia (2) i (1) (3) stąd (4) Prędkość obrotowa wynosi (5)

Przykład 5 Znaleźć kształt powierzchni jednakowego ciśnienia dla cieczy wypełniającej naczynie cylindryczne wirujące dookoła pionowej osi i zsuwającej się po gładkiej osi nachylonej do poziomu pod kątem.

Na cząstkę cieczy w dowolnym punkcje M działają siły masowe: . Składowe jednostkowej siły masowej wynoszą odpowiednio: Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przybiera więc postać: Po scałkowaniu : Powierzchnie jednakowego ciśnienia mają więc kształt paraboloid obrotowych

Przykład 6 Zamknięte naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełnione jest cieczą do wysokości h. Przy jakiej prędkości kątowej paraboloidy tworzącej powierzchnię swobodną dotknie dna.

a) Dla h<H/2 Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( ) a w punkcie A zachodzi równość (1) Wysokość paraboloidy obrotowej wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu. (2) Po wymnożeniu (2a)

Po podstawieniu do (1) otrzymamy: (3) b) Dla h>H/2

Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( ) a w punkcie A zachodzi równość (4) Wartość promienia wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu. (5) stąd (6) Po podstawieniu (6) do (4) otrzymamy: (7)