ANALIZA WYMIAROWA.

1. Analiza wymiarowa Element przestrzeni wymiarowej np. (5 kg), (7,8 m/s2), (15 m3/s), (100kPa),….. Elementy przestrzeni wymiarowej są wymiarowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy:

Przykład1: Elementy są wymiarowo niezależne. Przykład2: Elementy są wymiarowo zależne.

Przestrzeń wymiarowa ma n jednostek jeżeli istnieje w niej n wymiarowo niezależnych wymiarowo elementów. Każdy zbiór elementów wymiarowo niezależnych A1, A2, A3,…., An tworzy bazę. Każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację elementów bazy - wielkość bezwymiarowa

Jak sprawdzić czy elementy tworzą bazę (są wymiarowo niezależne)? Jeśli znamy zbiór który wiemy, że tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny) to zbiór generowany jest poprzez bazę X

Jeśli spełniony jest warunek to zbiór B tworzy bazę (jest wymiarowo niezależny).

Przykład3: Czy jest bazą? Czyli zbiór B tworzy bazę.

Przykład4: Czy jest bazą? Czyli zbiór B nie tworzy bazy.

Funkcja wymiarowa jest to funkcja określona na zbiorze elementów wymiarowych. gdzie Z, Z1, Z2, …, Zm – elementy przestrzeni wymiarowej Przykład5: Wyznaczyć funkcję wymiarową określającą spadek ciśnienia przypadający na jednostkę długości przewodu o średnicy d wskutek przepływu płynu o gęstości ρ z prędkością v.

Sprawdzamy czy argumenty funkcji są wymiarowo niezależne

Zapisujemy funkcję wymiarową jako kombinację elementów wymiarowo niezależnych w postaci: Tworzymy układ 3 równań dla m, kg, s

Czyli funkcja wymiarowa ma postać Rozwiązaniem układu równań jest a1= a2= a3= Czyli funkcja wymiarowa ma postać

Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie ) Dana jest funkcja wymiarowa Y1,Y2, …, Ym – elementy wymiarowo niezależne Z, A2, A3, …., Ar – elementy wymiarowo zależne. Dla funkcji wymiarowo niezmienniczej i jednorodnej argumenty zależne wyrażają się wzorem

- bezwymiarowe to funkcja Φ ma postać

Przykład 1: Kula o średnicy d opływana jest przez płyn o gęstości ρ i kinematycznym współczynniku lepkości μ z prędkością u. Wyznaczyć równanie na silę oporu kuli F. F - siła oporu kuli, N=m kg/s2 d - średnica kuli, m u - prędkość przepływu płynu, m/s ρ – gęstość płynu, kg/m3 μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms) u d Sprawdzamy czy zestaw ρ, u, d tworzy bazę? m kg s ρ u d Zestaw ρ, u, d tworzy bazę.

ponieważ stąd

Przykład 2: p/l - spadek ciśnienia na jednostkę długości, Pa/m=kg/(m2s2) d - średnica przewodu, m v – średnia prędkość przepływu płynu, m/s ρ – gęstość płynu, kg/m3 μ – dynamiczny współczynnik lepkości płynu, Pa s=(kg/ms) k – chropowatość bezwględna, m Sprawdzamy czy zestaw ρ, v, d tworzy bazę? m kg s ρ u d Zestaw ρ, v, d tworzy bazę.

ostatecznie

PODOBIEŃSTWO MODELOWE

Najczęściej występujące siły oddziaływujące w przepływie płynu siły grawitacji, siły ciśnieniowe, siły lepkości, siły napięcia powierzchniowego, siły bezwładności, siły sprężystości.

Wybrane liczby podobieństwa dotyczące przepływu płynu 1. Liczba Reynoldsa Jeśli ściśliwość płynu może zostać pominięta i nie występuje w przepływie powierzchnia swobodna (np. przepływ w rurze, samolot w powietrzu, zanurzona łódź podwodna) to pod uwagę można brać tylko siły lepkości i bezwładności. Liczba Reynoldsa stosowana jest jako podstawowe kryterium stateczności ruchu płynów (przepływ laminarny, turbulentny).

2. Liczba Froude’a Jeśli o przepływie decyduje siła grawitacji. 3. Liczba Webbera Liczbę Webera wykorzystuje przy przepływach wielofazowych (co najmniej dwufazowymi, gdy jeden płyn graniczy z innym płynem), szczególnie gdy powierzchnia rozdziału faz jest silnie zakrzywiona (np. kropla płynu, poruszająca się w innym płynie).

4. Liczba Macha Jeśli płyn płynie z dużą prędkością lub ciało stałe porusza się z dużą prędkością w płynie pozostającym w spoczynku dominująca jest ściśliwość płynu. Liczba Macha przedstawia stosunek prędkości przepływu płynu w danym miejscu do prędkości dźwięku w tym płynie w tym samym miejscu Lub stosunek prędkości obiektu poruszającego się w płynie do prędkości dźwięku w tym płynie niezakłóconym ruchem obiektu, czyli formalnie – w nieskończoności.

Przepływ jest nieściśliwy (wpływ ściśliwości można pominąć) : Ma << 1 poddźwiękowy: Ma < 1 dźwiękowy: Ma = 1 okołodźwiękowy: 0,8 < Ma < 1,2 naddźwiękowy: Ma > 1 hiperdźwiękowy: Ma >> 1