Napory na ściany proste i zakrzywione Wykład 4 Napory na ściany proste i zakrzywione

1. Napór na ścianę płaską

Należy wyznaczyć wektor naporu wypadkowego , to znaczy: - moduł wektora naporu N (4) (5) - kierunek naporu wypadkowego: jest zawsze prostopadły do ściany - środek naporu (punkt przyłożenia)

Moduł wektora naporu N wyznaczamy ze wzoru (5) po podstawieniu i obliczeniu całki po powierzchni A: ponieważ stąd (6) gdzie:

Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np. barometryczne) na powierzchni cieczy wówczas napór przedstawia się następująco Najczęściej po drugiej stronie ściany poddanej działaniu naporu cieczy panuje ciśnienie barometryczne równoważące ciśnienie działające na swobodną powierzchnię cieczy – stąd człon związany z ciśnieniem barometrycznym jest pomijany.

hydrostatyczny Stevina Moduł wektora naporu hydrostatycznego na ścianę płaską o dowolnym konturze i dowolnym nachyleniu jest równy ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest zanurzona część ściany a wysokością głębokość zanurzenia środka ciężkości. Z tego spostrzeżenia wynika paradoks hydrostatyczny Stevina (7)

Środek naporu – punkt przyłożenia wektora naporu Z równości momentu naporu N oraz sumy momentów naporów elementarnych względem osi x wynika (8) po podstawieniu do definicji naporu (9) otrzymamy oraz po przekształceniu wzoru (8)

Ostatecznie otrzymamy współrzędną środka naporu w postaci (10) gdzie: Ix – Mx – Ponieważ ściana A może być dowolnie położona względem osi x, dlatego momenty przyjmują różne wartości w zależności od usytuowania ściany. Dlatego stosuje się transformację równoległą momentu bezwładności do momentu względem osi przechodzącej ZAWSZE przez środek ciężkości ściany S. Ix0 –

Z twierdzenia Steinera (11) stąd (12) Po podstawieniu (13) otrzymamy (14)

Po obustronnym pomnożeniu równania (14) przez otrzymamy (15) Z zależności wynika, że środek naporu na ścianę pochyłą lub pionową leży zawsze poniżej środka ciężkości ściany. W przypadku ściany poziomej (=0) położenie środka naporu pokrywa się z położeniem środka ciężkości

Dla ściany pionowej ( ) o kształcie prostokątnym o szerokości b i wysokości h

Wyznaczanie naporu metodą graficzną Rozkład ciśnienia panującego na ścianie płaskiej można przedstawić graficznie w postaci wykresu ciśnienia, które zmienia się liniowo od 0 na powierzchni swobodnej cieczy do p=gz na głębokości z.

Napór hydrostatyczny N na ścianę płaską jest co do wartości równy ciężarowi objętości V wykresu rozkładu ciśnień zbudowanego na powierzchni A. Napór wypadkowy przechodzi przez środek ciężkości bryły wykresu rozkładu ciśnień, którego rzut na powierzchnię A wyznacza środek naporu. Przykład:

3. Napór na ścianę zakrzywioną W przypadku ściany zakrzywionej wyznaczamy składowe poziome i pionowe naporu. Składowe poziome wyznaczamy jako napory na ściany płaskie powstałe w wyniku rzutowania ściany zakrzywionej na płaszczyzny prostopadłe do osi poziomych. Składowa pionowa naporu jest równa ciężarowi cieczy zawartej pomiędzy zakrzywioną powierzchnią, zwierciadłem cieczy i płaszczyznami pionowymi ograniczającymi powierzchnię zakrzywioną.

Składowe poziome Nx i Ny są równe Składowa pionowa Nz jest równa Napór wypadkowy obliczamy poprzez sumowanie składowych wektorów

Kierunki działania wektorów naporu Nxy i N obliczamy zgodnie z

Metoda graficzna wyznaczanie naporu na ściany zakrzywione Środek naporu znajduje się w punkcie przecięcia linii działania wektorów Nx i Nz. Składowa pionowa liczona jest jako ciężar cieczy znajdujący się ponad rozpatrywaną powierzchnią jeśli nawet w tej objętości nie ma rozpatrywanej cieczy! Mówimy wówczas o tzw. objętości pozornej.

Wypór hydrostatyczny. Prawo Archimedesa

dlatego składowa pozioma Nxy=0 , natomiast składowa pionowa Różnica objętości V=V1-V2 jest objętością ciała i jednocześnie objętością cieczy wypartej przez to ciało. Iloczyn jest ciężarem cieczy wypartej przez ciało. Wielkość tą nazywamy wyporem hydrostatycznym. Znak „-” oznacza, że siła ta skierowana jest przeciwnie do osi z. Jeśli ciężar ciała wynosi G i działa na niego siła wyporu wówczas ciężar pozorny ciała wynosi

Równowaga ciał zanurzonych W zależności od wartości siły G w porównaniu z wyporem W można przedstawić trzy przypadki: 1) Jeżeli ………. to siła wypadkowa wypiera ciało do góry aż do osiągnięcia stanu równowagi tj. gdy wypór zanurzonej części ciała zrówna się z jego ciężarem. 2) Jeżeli ……….. to ciało tonie. 3) Jeżeli ………… wówczas W=-gV jest równy ciężarowi G= cgVc , stąd. wynika z tego, że - gdy c= to Vc=V a zatem ciało pływa całkowicie zanurzone; - gdy c< to Vc>V to ciało pływa wynurzając się częściowo ponad powierzchnię swobodną cieczy.

Przykład 1 Ściana w kształcie ćwiartki walca o promieniu R i tworzącej L. xC ZC C (16) (17)

(18) Współrzędne środka naporu

Przykład 2 Jaka musi być minimalna szerokość zapory o przekroju prostokątnym aby nie przewróciła się pod działaniem siły naporu. Dane: Obliczyć:

Przykład 3 Ściana w kształcie połówki walca o promieniu R i tworzącej L.

Przykład 3

Przykład 4 Oblicz napory działające na półkuliste pokrywy Dane:

Na pokrywy I i III działają tylko napory pionowe o wartościach Na pokrywę II działa napór o składowej poziomej równej o składowej pionowej o wartości Napór wypadkowy a współrzędne środka naporu