GEOSTATYSTYKA Wykłady dla III roku Geografii specjalność – geoinformacja Estymacja na podstawie danych jednej zmiennej II Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

Zwykły kriging – Ordinary Kriging Ponieważ zazwyczaj średnia lokalna wartość cechy zmienia się w sposób istotny w ramach analizowanego obszaru opracowano algorytm, który limituje stacjonarność średniej do lokalnego sąsiedztwa W(u) z centrum w punkcie estymacji. Próbka losowa, zmienna b1_03b

Zwykły kriging Liniowy estymator jest w tym przypadku definiowany jako liniowa kombinacja n(u) Zmiennych Losowych Z(u) plus stała średnia lokalna m(u): Nieznana średnia lokalna m(u) jest odfiltrowana z liniowego estymatora przez wymuszenia sumowania się wag krigingowych do 1. Estymator zwykłego krigingu ZOK jest w tej sytuacji zapisany jako liniowa kombinacja tylko n(u) ZL Z(u):

Zwykły kriging Ponownie n(u) wag jest określane w taki sposób, aby zminimalizować wariancję błędów zachowując ograniczenie nieobciążenia estymatora. Minimalizacja wariancji błędów przy uwzględnieniu ograniczenia nieobciążenia estymatora wymaga zdefiniowania zmiennej L(u), który jest funkcją wag danych oraz parametru Lagrange 2OK(u):

Zwykły kriging Optymalne wagi uzyskuje się zerując każdą z (n(u)+1) cząstkowych pierwszych pochodnych. Układ zwykłego krigingu zawiera (n(u)+1) równań liniowych z (n(u)+1) niewiadomych: n(u) wag oraz parametru Lagrange OK(u), który zapewnia ograniczenie wartości wag: Mimo założenia, że średnia m(u) jest stacjonarna jedynie wewnątrz lokalnego sąsiedztwa W(u) kowariancję resztową określa się na podstawie globalnej kowariancji wyliczonej ze wszystkich dostępnych danych, zgodnie ze wzorem:

Zwykły kriging Minimalną wariancję błędów, zwaną wariancją OK, uzyskuje się ze wzoru:

Zwykły kriging Biorąc pod uwagę zależność, że C(h) = C(0) – (h), układ równań OK można zapisać za pomocą wartości semiwariogramu: Ze względu na warunek nieobciążenia estymatora składową C(0), czyli wariancję próby można usunąć z pierwszych n(u) równań i uzyskać następujący układ:

Zwykły kriging Należy podkreślić, że w przeciwieństwie do OK układ równań zwykłego krigingu może być przedstawiony jedynie z użyciem kowariancji, ponieważ w SK nie ma ograniczenia dotyczącego wartości wag punktów. Zastosowanie w obliczeniach semiwariogramu pozwala „odfiltrować” nieznaną lokalną średnią m(u), uznaną za stałą w lokalnym sąsiedztwie W(u). Operujemy bowiem nie na wartościach bezwzględnych cechy, ale na różnicach między głową a ogonem:

Zwykły kriging Ze względu na efektywność obliczeniową układ równań krigingu rozwiązuje się zazwyczaj za pomocą kowariancji. Są jednakże modele semiwariogramu (np. potęgowy), które nie mają odpowiednika w kowariancjach. Dla tego typu nieograniczonych modeli semiwariogramu zdefiniowano tzw. „pseudokowariancję” polegającą na odjęciu wartości modelu semiwariogramu (h) od jakiejkolwiek dodatniej wartości A, takiej że A – (h)  0, h. Ponownie, warunek nieobciążenia estymatora pozwala na pominięcie stałej A w układzie równań OK, które zapisane zostają jedynie za pomocą pseudokowariancji. Tak więc praktyka geostatystyczna polega na: 1. Obliczeniu i modelowaniu semiwariogramu 2. Rozwiązaniu wszystkich układów równań OK przy użyciu (pseudo) kowariancji

Zwykły kriging Zamiast szacować wartość cechy z, można również chcieć estymować i przedstawić w postaci mapy lokalne średnie cechy. Daje to możliwość oceny lokalnych odchyleń od globalnej średniej i daje wygładzony obraz zmienności przestrzennej analizowanego zjawiska. Estymator OK można tak przekształcić aby szacować za pomocą jego lokalną średnią. Uzyskuje się wtedy następujący układ (n(u) + 1) liniowych równań: Dla każdych dwóch lokalizacji u i u' należących do tego samego lokalnego sąsiedztwa W(u) uzyskuje się wówczas ten sam wynik:

Prosty kriging a Zwykły kriging Algorytm zwykłego krigingu jest zazwyczaj preferowany w stosunku do prostego krigingu ponieważ nie wymaga on znajomości ani stacjonarności średniej na całym obszarze A. Zwykły kriging z lokalnym sąsiedztwem szukania polega na: oszacowaniu lokalnej średniej w każdej lokalizacji u przy zastosowaniu zwykłego krigingu do danych należących do sąsiedztwa W(u), a następnie, zastosowaniu estymatora SK przy użyciu wyliczonej średniej lokalnej zamiast stacjonarnej średniej globalnej Relację między estymatorami SK i OK można zatem zapisać:

Prosty kriging a Zwykły kriging Różnica pomiędzy szacunkiem z w lokalizacji u za pomocą prostego i zwykłego krigingu jest spowodowana przez odchylenia lokalnej średniej od średniej globalnej m. Mówiąc ściślej ponieważ jest zazwyczaj dodatnie, estymacje OK są niższe niż SK na obszarach o niskich wartościach cechy, gdzie średnia lokalna jest niższa od globalnej. I przeciwnie, szacunki dokonane zwykłym krigingiem są wyższe niż uzyskane za pomocą SK w obszarach wysokich wartości, gdzie lokalna średnia jest większa od globalnej średniej. Różnica pomiędzy estymacjami i wzrasta w miarę jak waga średniej wzrasta, to jest w miarę jak lokalizacja u punktu estymacji znajduje się coraz dalej od lokalizacji pomiarów.

Prosty kriging a Zwykły kriging – przykład Dane jednowymiarowe: profil dla Y = 240 m

GEOSTATYSTYKA Wykłady dla III roku Geografii specjalność – geoinformacja Kriging składowych (Factorial Kriging = FK) Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

Kriging składowych – factorial kriging Dekompozycja modelu Strukturalny współczynnik korelacji

Właściwości gleb na profilu leśnym i pastwiskowym

Semiwariogramy empiryczne i modele pH gelby

Stok pastwiskowy - semiwariogramy

Strukturalny współczynnik korelacji

Kriging składo-wych

Dane ze strefy czołowomorenowej lodowca Horbye: zmienne b3n_02

Dane ze strefy czołowomorenowej lodowca Horbye: zmienna b3n_02 Oryginalny obraz satelitarny Estymacja OK

Dane ze strefy czołowomorenowej lodowca Horbye (zmienna b3n_02): wynik obliczeń FK Oryginalny obraz satelitarny Trend (średnia lokalna) Nugget Składowa 1 i Składowa 2

Zdjęcie lotnicze pola Yattendon w 1986 roku

SEMIWARIOGRAM EMPIRYCZNY I MODEL DLA ZIELONEJ CZĘŚCI WIDMA

SKŁADOWE MODELU SEMIWARIANCJI

ANALIZA WYKONANA METODĄ KRIGINGU SKŁADOWYCH

POMIARY INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ GLEB NA POLU YATTENDON W ROKU 2000 DANE POMIAROWE I ESTYMACJA OK

POMIARY INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ GLEB NA POLU YATTENDON W ROKU 2000 SEMIWARIOGRAM EMPIRYCZNY I MODEL

POMIARY INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ GLEB NA POLU YATTENDON W ROKU 2000

POMIARY PLONÓW NA POLU YATTENDON W ROKU 2000

SEMIWARIOGRAM EMPIRYCZNY I MODEL STRUKTURY PRZESTRZENNEJ PLONÓW

ANALIZA PLONÓW WYKONANA METODĄ KRIGINGU SKŁADOWYCH

POTENCJALNE CZYNNIKI ZMIENNOŚCI PRZESTRZENNEJ WŁAŚCIWOŚCI GLEB I PLONÓW NA POLU YATTENDON

GEOSTATYSTYKA Wykłady dla III roku Geografii specjalność – geoinformacja Prosty kriging ze zmiennymi średnimi lokalnymi (Simple Kriging with varying local means = SKlm) Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

Kriging stratyfikowany (Kriging within strata – KWS)

Prosty kriging ze zmiennymi średnimi lokalnymi (Simple kriging with varying local means - SKlm)

Zmienna jakościowa VNIR: populacja i próba losowa

Zmienność wartości b3n_02 w klasach wyznaczonych na podstawie zmiennej VNIR

Reszty z modelu regresji zmiennej b3n_02 w stosunku do zmiennej b3n_04 Reszty z modelu regresji zmiennej b3n_02 w stosunku do zmiennej b3n_04. Kolorem zaznaczono grupy VNIR

Relacje między b3n_02 i b3n_04 w klasach wyznaczonych przez VNIR

Ocena jakości estymacji – porównanie z danymi rzeczywistymi