GEOSTATYSTYKA Wykład dla III roku Geografii specjalność - geoinformacja Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

Analiza struktury przestrzennej dwóch zmiennych zi(u+h) „głowa” head „ogon” tail h Wartość cechy w punktach u i u + h dotyczy jednej zmiennej zi. zj(u+h) zi(u) „głowa” head „ogon” tail h Wartość cechy w punktach u i u + h dotyczy dwóch zmiennych zi i zj. zi(u)

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) Dane cech b1_03b i b3n_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od siebie o 0-22,5m Średnia odległość 17,645m Ilość par punktów: 74 kowariancja: 62,033 korelacja: 0,5063

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) Dane cech b1_03b i b3n_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od siebie o 22,5-67,5m Średnia odległość 51,381m Ilość par punktów: 640 kowariancja: 63,051 korelacja: 0,4165

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) Dane cech b1_03b i b3n_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od siebie o 67,5-112,5m Średnia odległość 92,41m Ilość par punktów: 1048 kowariancja: 49,056 korelacja: 0,29181

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) Dane cech b1_03b i b3n_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od siebie o 112,5-157,5m Średnia odległość 136,27m Ilość par punktów: 1472 kowariancja: 36,042 korelacja: 0,2139

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) Dane cech b1_03b i b3n_03b ze zbioru Horbye3.dat Dane z punktów odległych od siebie o 157,5-202.5m Średnia odległość 181,33m Ilość par punktów: 1930 kowariancja: 21,321 korelacja: 0,1293

Wykresy rozrzutu dwóch zmiennych z przesunięciem (cross h-scattergram) h (m) – ij 0 – 0,807 17,6 – 0,506 51,4 – 0,416 92,4 – 0,292 136,3 – 0,214 181,3 – 0,129

Funkcja kros kowariancji Kowariancja między wartościami cech zi i zj odległymi o wektor h jest obliczona według wzoru: gdzie: N(h) to ilość par punktów odległych o wektor h, a mi-h i mj+h to średnie wartości zi „ogona”, i wartości zj „głowy”.

Powierzchnia kros kowariancji zmiennych b1_03b i b3n_03b

Funkcja kros kowariancji zmiennych b1_03b i b3n_03b Uporządkowany zbiór kroskowariancji Cij(h1), Cij (h2), … jest zwany eksperymentalną funkcją kros kowariancji

Kros korelogram Wariancja wartości „ogona” (zi) Wariancja wartości „głowy” (zj)

Powierzchnia kros korelogramu zmiennych b1_03b i b3n_03b

Kros korelogramy zmiennych b1_03b i b3n_03b ij=0,910 h=20,7m N=7

Efekt przesunięcia (lag effect) Kros kowariancja obliczana w przeciwnych kierunkach jest zazwyczaj odmienna: Cij(h)  Cij(-h) Znacząca różnica pomiędzy Cij(h) i Cij(-h) może oznaczać, że jedna wartość jednej cechy zmienia się w przestrzeni z pewnym opóźnieniem w stosunku do zmian drugiej cechy. Zjawisko to nazywane jest efektem przesunięcia. Jeśli brak jest klarownej fizycznej interpretacji tego zjawiska, lepiej je zignorować, gdyż może być skutkiem przypadkowej fluktuacji związanej z małą ilością par danych z których wyliczono kowariancję.

Efekt przesunięcia - przykład Badamy skażenie gleb wokół zakładu przemysłowego. Jest ono związane z emisjami gazów i pyłów z komina zakładu. Składnik A zanieczyszczeń związany jest z emisjami pyłowymi, a składnik B – gazowymi. Składnik A będzie zatem „wypadał” z chmury zanieczyszczeń szybciej niż składnik B. Zmiany przestrzenne obu składników będą miały podobną strukturę przestrzenną (bo są efektem tego samego zjawiska), ale z przesunięciem.

Czy nasze zmienne b1_03b i b3n_03b wykazują efekt przesunięcia?

Rozrzut gradientów zmian par punktów dwóch zmiennych Kros kowariancja (kros korelacja) określa jak wygląda relacja wartości cechy zi w jednej lokalizacji w stosunku do wartości innej cechy zj w lokalizacji odległej o wektor h. Zamiast porównywać parę danych (zi(u), zj(u+h)) możemy rozważyć porównanie pary przyrostów na dystansie h ([zi(u), zi(u+h)], [zj(u), zj(u+h)]), które pokazują wspólną zmianę gradientów wartości zi- i zj- przy zmianie położenia o wektor h. Jeśli obie cechy są skorelowane dodatnio, to przyrost (spadek) wartości zi- od punktu u do punktu u+h będzie związany ze wzrostem (spadkiem) wartości zj-. A jeśli obie cechy są skorelowane ujemnie, to ….

Różnice wartości par punktów dwóch cech (h-increments) Analiza wspólnej zmienności cech zi i zj przy przemieszczeniu o dystans h zi(u) zi(u+h) „ogon” tail „głowa” head h zj(u) zj(u+h) „ogon” tail „głowa” head h

Wykresy rozrzutu z przesunięciem dla różnic (h-increments scatergrams) Cechy b1_03b i b3n_3b. Kierunek = 130°; tolerancja kierunku = 22,5°; szerokość pasa tolerancji = 100 m; odstęp = 45 m; tolerancja odstępu = 22,5 m h = 21,8 m h = 50,8 m

Wykresy rozrzutu z przesunięciem dla różnic (h-increments scatergrams) Cechy b1_03b i b3n_3b. Kierunek = 130°; tolerancja kierunku = 22,5°; szerokość pasa tolerancji = 100 m; odstęp = 45 m; tolerancja odstępu = 22,5 m h = 90,7 m h = 134,4 m

Wykresy rozrzutu z przesunięciem dla różnic (h-increments scatergrams) Cechy b1_03b i b3n_3b. Kierunek = 130°; tolerancja kierunku = 22,5°; szerokość pasa tolerancji = 100 m; odstęp = 45 m; tolerancja odstępu = 22,5 m h = 181,0 m h = 226,0 m

Kros semiwariogram Kros semiwariogram jest definiowany jako „połowa nie scentralizowanej kowariancji pomiędzy różnicami na dystansie h”. W przeciwieństwie do kros kowariancji i kros korelogramu kros semiwariogram jest symetryczny w stosunku do cech i wektora przesunięcia to jest zamiana ij na ji, oraz (h) na (-h) nie wpływa na jego wartość. Kros semiwariogram nie może zatem pomagać w wykrywaniu efektu „przesunięcia”. Poza tym kros semiwariogram może być obliczany jedynie dla takich lokalizacji, w których zmierzono obie cechy.

Powierzchnia kros semiwariancji zmiennych b1_03b i b3n_03b

Kros semiwariogram zmiennych b1_03b i b3n_03b

Funkcja kodyspersji Uporządkowany zbiór współczynników kodyspersji ij(h1), ij(h2), ... jest zwany eksperymentalną funkcją kodyspersji. Współczynnik kodyspersji można interpretować jako współczynnik korelacji pomiędzy zmianami cech na dystansie h, kiedy wykres rozrzutu rysowany jest w postaci symetrycznej, tj. każda para lokalizacji (u, u+h) pojawia się dwukrotnie, raz jako punkt o współrzędnych ([zi(u), zi(u+h)], [zj(u), zj(u+h)]), a drugi raz jako punkt ([zi(u+h), zi(u)], [zj(u+h), zj(u)]).

Funkcja kodyspersji cech b1_03b i b3n_03b

Funkcja kros kowariancji kodów Tak samo jak w przypadku analizy struktury przestrzennej jednej zmiennej, charakter i siła relacji między dwoma zmiennymi może zależeć o skali natężenia porównywanych cech: niskiej, średniej, czy wysokiej. Często wysokie wartości skorelowanych przestrzennie cech będące efektem tego samego zjawiska mogą wykazywać większe podobieństwo niż średnie i niskie, mające odmienną genezę. Przykładem może być zawartość toksycznych metali ciężkich w glebach. Ich niskie lub średnie stężenia mają najczęściej genezę naturalną, związaną z procesami wietrzeniowymi skał macierzystych. Wysokie koncentracje natomiast są zazwyczaj związane z antropogenicznymi emisjami.

Funkcja kros kowariancji kodów Gdzie: Fi-h(zik) i Fj+h(zjk') to proporcje wartości ogona zi i głowy zj, które nie przekraczają poziomów progowych zik i zjk'. Kros kowariancja jest miarą wspólnej dwu-punktowej skumulowaną frekwencji Fij(h;zik, zjk'), określającej jak często wartości zi i zj oddalone o wektor h są jednocześnie nie większe od określonych wartości progowych (zik, zjk').

Kros korelogram kodów Standaryzowaną postacią kros kowariancji kodów jest kros korelogram kodów: Gdzie wariancja wartości kodów ogona i(u;zik) jest równa:

Kros semiwariogram kodów Niezerowy udział w kros semiwariogramie kodów mają jedynie te pary danych, w których wartości obu cech zi, i zj są po przeciwnych stronach ich wartości progowych (zik, zjk'). Udział pary danych w może być pozytywny (+1) lub negatywny (-1), w zależności od tego czy wartości zi i zj wspólnie rosną (maleją) przy przejściu od u do u + h, lub też zmieniają się w sposób przeciwny.

Strukturę przestrzenną danych kodowanych dwóch cech badać można także w innych przypadkach: i(u;zk) i i(u;zk') mogą dotyczyć tej samej ciągłej (ilościowej) cechy z, ale dla dwóch różnych wartości progowych zk i zk' i(u;sk) i i(u;sk') odnoszących się do dwóch różnych kategorii sk i sk' i(u;zk) i i(u;sk) odnoszących się cechy ilościowej i jakościowej (kategorii)

Standaryzowane kros semiwariogramy bezkierunkowe kodów b1_03b i b3n_03b

Efekt proporcjonalności: relacja między lokalną średnią, a lokalną wariancją Próbka preferencyjna, zmienna b3n_03b Próbka preferencyjna, zmienna b1_03b

Semiwariogramy względne 1 Ogólny semiwariogram względny skaluje wartości semiwariogramu za pomocą funkcji średniej odstępu h Średnia wszystkich wartości danych dla odstępu h, czyli średnia ze średnich dla danych ogona i głowy. Funkcję f można określić na podstawie wykresu rozrzutu lokalnych średnich w stosunku do lokalnych wariancji. Dla rozkładów prawoskośnych funkcję tę zazwyczaj przyjmuje się jak kwadrat średniej odstępu:

Semiwariogramy względne 2 Porównawczy semiwariogram względny skaluje wartości semiwariogramu dla każdej różnicy w parze za pomocą podniesionej do kwadratu średniej wartości ogona i głowy. Miara ta bezpośrednio redukuje wpływ poszczególnych wysokich wartości danych w obliczeniach semiwariogramu. Ze względu na matematyczny charakter (ułamki) zastosowanie semiwariogramów względnych jest ograniczone do danych o wartościach dodatnich

Wpływ preferencyjnego próbkowania na semiwariogram empiryczny b1_03b

Wpływ preferencyjnego próbkowania na semiwariogram empiryczny b1_03b