6. Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej x przyrost zmiennej niezależnej y przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x przy y=const. przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych y i x względem zmiennej y przy x=const. przyrost funkcji dwóch zmiennych y i x (przyrost całkowity) Def. 64 (por. def. 40) Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje analogicznie Pochodną liczymy tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej zakładając, że druga zmienna jest stała (jest parametrem) Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji z=x2y3 Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej, można także obliczać wartość pochodnej w punkcie np. powyższe pochodne cząstkowe w punkcie Po=(2,4)

określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej xk przyrost cząstkowy funkcji n zmiennych względem zmiennej xk przyrost funkcji n zmiennych (przyrost całkowity) Def. 64a Pochodna cząstkowa funkcji n zmiennych względem zmiennej xk jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje Różniczkowanie jest bardzo łatwe – można stosować wszystkie metody dla funkcji jednej zmiennej Różne oznaczenia pochodnej cząstkowej Uwaga: inaczej niż dla funkcji jednej zmiennej, funkcja f może mieć w punkcie Po wszystkie pochodne cząstkowe i mimo to być nieciągła w tym punkcie

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych

7. Różniczka funkcji n zmiennych określona i różniczkowalna w punkcie Niech Δx - przyrost zmiennej niezależnej x, oznaczany także dx i nazywany różniczką zmiennej niezależnej x Δy - przyrost zmiennej niezależnej y, oznaczany także dy i nazywany różniczką zmiennej niezależnej y Def. 65 (por. def. 42) Różniczką cząstkową funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x nazywamy iloczyn pochodnej cząstkowej i przyrostu (różniczki) zmiennej niezależnej analogicznie Def. 66 Różniczką zupełną funkcji dwóch zmiennych x i y nazywamy sumę różniczek cząstkowych i oznaczamy df Dla funkcji n zmiennych (n>2) Def. 66a Różniczką zupełną funkcji n zmiennych x1, xs, ... , xn, nazywamy sumę różniczek cząstkowych i oznaczamy df

Zastosowanie różniczki zupełnej – przybliżone obliczanie przyrostu funkcji (podobnie jak dla różniczki funkcji jednej zmiennej) Przykład: Obliczyć w przybliżeniu wartość funkcji dla x=2,1 i y=8,05 Przyjmijmy xo=2, yo=8, Δx =0,1 Δy =0,05

8. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Przypomnienie def. 44: pochodna wyższego rzędu to pochodna pochodnej rzędu o 1 niższego Pochodna rzędu drugiego to pochodna pochodnej (rzędu pierwszego) Pochodna rzędu k+1 to pochodna pochodnej k-tego rzędu. Def. 67 Pochodna cząstkowa rzędu drugiego to pochodna pochodnej cząstkowej Pochodna cząstkowa rzędu k+1 to pochodna pochodnej cząstkowej k-tego rzędu n=2 – z=f(x, y) Są cztery pochodne rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych: Tw. 54 (Schwarza) Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane istnieją i są ciągłe w punkcie P=(x,y) to są sobie równe czyli

Dla funkcji n zmiennych (n>2) Jest osiem pochodnych rzędu trzeciego funkcji dwóch zmiennych: Jeżeli spełnione są założenia tw. Schwarza, to i są tylko cztery różne pochodne rzędu trzeciego funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji n zmiennych (n>2) Jest n2 pochodnych rzędu drugiego funkcji n zmiennych:

9. Różniczki zupełne wyższych rzędów Różniczki zupełne wyższych rzędów funkcji n zmiennych definiowane są tak samo jak różniczki funkcji jednej zmiennej (def. 45) tzn. d2f=d(df) d(k+1)f=d(d(k)f) Korzystając ze wzorów na różniczkę zupełną (def. 66 i 66a) symbolicznie można zapisać, że: dla funkcji 2 zmiennych dla funkcji n zmiennych

10. Ekstremum (lokalne) funkcji n zmiennych

Def. 68 Funkcja n zmiennych f(P) określona w pewnym otoczeniu punktu Po ma w tym punkcie maksimum/minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu Po, że dla każdego P z tego sąsiedztwa f(P) ≤ f(Po) (minimum) albo f(P) ≥ f(Po) (maksimum) Maksima i minima nazywamy ekstremami Jeżeli zamiast nierówności słabych spełnione są nierówności mocne, czyli f(P) <f(Po) albo f(P) > f(Po) to ekstremum nazywamy właściwym Tw. 55 – warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji n zmiennych – por. tw. 42 Jeżeli funkcja f(x1, x2 , ... , xn) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie Po=(x1(o), x2 (o), ... , xn (o)) i ma w tym punkcie ekstremum to

Tw. 56a – dla funkcji dwóch zmiennych Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych – por. tw. 44 Tw. 56a – dla funkcji dwóch zmiennych Jeżeli funkcja f(x, y) jest ciągła wraz z drugą pochodną w pewnym otoczeniu Q punktu Po=(xo, yn) i w punkcie Po to funkcja f(x, y) ma w punkcie Po extremum właściwe. Jeżeli dodatkowo w punkcie Po to jest to minimum, a jeżeli w punkcie Po to jest to maximum. Tw. 56a – dla funkcji n zmiennych (n>2) Jeżeli funkcja f(x1, x2 , ... , xn) jest ciągła wraz z drugą pochodną w pewnym otoczeniu Q punktu Po=(x1(o), x2 (o), ... , xn (o)) i w punkcie Po to funkcja f(x1, x2 , ... , xn) ma w punkcie Po minimum właściwe. Analogicznie dla maksimum

Przykład: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z= x3+3xy2-15x-12y W tych punktach mogą (lecz nie muszą!!!) być ekstrema lokalne funkcji. Żeby było ekstremum, musi być Obliczmy zatem pochodne cząstkowe drugiego rzędu