Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład II Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

Spis treści: Funkcje jednej zmiennej Granica funkcji w punkcie Granica niewłaściwa Granice jednostronne Granica funkcji w nieskończoności Ważniejsze granice Ważniejsze granice-cd Rachunek granic Przykłady Ciągłość funkcji Przykłady obliczania ciągłości funkcji Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Wybrane twierdzenia

Funkcje jednej zmiennej Definicja: Każde przyporządkowanie liczbie x ze zbioru X dokładnie jednej liczby y ze zbioru Y nazywa się funkcją i oznacza się . Dziedziną funkcji nazywa się zbiór takich wartości x, dla których y ma sens liczbowy .

Granica funkcji w punkcie Zakłada się, że funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu czyli na zbiorze , gdzie jest pewną liczbą dodatnią .

Granica funkcji w punkcie- wg Heinego Definicja wg Heinego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do g . dodatek

Granica funkcji w punkcie- wg Heinego symbolicznie . dodatek

Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’ego Definicja wg Cauchy’ego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy , jeżeli dla każdej liczby istnieje taka liczba , że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność . dodatek

Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’ego - symbolicznie . dodatek

Granica funkcji w punkcie -dodatek Obie definicje są równoważne. Granicę nazywa się granicą właściwą . Definicja wg Heinego: Definicja Cauchy’ego:

Niektóre twierdzenia dotyczące granic Jeżeli i , to : , , , dla , , gdy c jest stałą.

Granica niewłaściwa W odróżnieniu od granic właściwych - liczba rzeczywista - granice niewłaściwe funkcji to, lub . lub Można jak i dla granic właściwych podać definicje granic niewłaściwych wg Heinego i wg Cauchy’ego .

Granica funkcji w punkcie- wg Heinego 2 Definicja: Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach ( - sąsiedztwo punktu ) i zbieżnego do , ciąg wartości funkcji jest zbieżny do . Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Cauchy’ego

Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’ego 2 Definicja: Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , wtedy i tylko wtedy , gdy dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba , że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność . Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Heinego

Granice jednostronne Jeżeli funkcja jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu , to granicę w punkcie funkcji zawężonej do tego sąsiedztwa nazywa się prawostronną granicą funkcji w punkcie i oznacza się . Analogicznie definiuje się lewostronną granicę funkcji w punkcie .

Granice jednostronne - twierdzenie Funkcja ma granicę w punkcie (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje w tym punkcie granica lewostronna i prawostronna i granice te są sobie równe . Granice jednostronne

Granica funkcji w nieskończoności O granicy funkcji w nieskończoności mówi się wtedy, gdy funkcja określona jest w przedziale albo i dąży do lub . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Granica funkcji w nieskończoności-cd Granicę funkcji w nieskończoności oblicza się analogicznie jak granicę ciągu. Może ona być granicą właściwą lub niewłaściwą . W każdym przypadku można zapisać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchy’ego . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Ważniejsze granice , dla , , , dla , dla , , , dla , , , . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Ważniejsze granice-cd. , , , , granica nie istnieje, ponieważ w każdym sąsiedztwie punktu lub funkcja przyjmuje wszystkie wartości między -1 i 1 . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Rachunek granic  jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczanie granicy sprowadza się do podstawienia wartości granicznej argumentu ,  jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy funkcji wymaga specjalnego badania . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Ciągłość funkcji - otoczenie Niech funkcja będzie określona na pewnym otoczeniu Q punktu , czyli na zbiorze , gdzie jest pewną liczbą dodatnią . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

Ciągłość funkcji - definicja nazywa się ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy , gdy . Można podać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchy’ego . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

Ciągłość funkcji - cd Definicja: Funkcję nazywa się prawostronnie (lewostronnie) ciągłą w punkcie , wtedy i tylko wtedy , gdy albo . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

Ciągłość funkcji - tw. Twierdzenie: Na to, by funkcja była ciągła w punkcie potrzeba i wystarcza , aby funkcja : — była określona w punkcie , — miała równe granice jednostronne , — miała wartość w punkcie równą granicom jednostronnym . Definicja Definicja cd Granica funkcji w punkcie

Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Mówi się, że funkcja jest nieciągła w punkcie , jeżeli jest określona dla punktów dowolnie bliskich punktu , ale w samym punkcie nie spełnia któregokolwiek z warunków ciągłości . Punkt nazywa się wtedy punktem nieciągłości . Granica funkcji w punkcie

Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Definicja nieciągłości pierwszego rodzaju Definicja nieciągłości drugiego rodzaju Nieciągłość usuwalna Granica funkcji w punkcie

Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja pierwszego rodzaju Jeżeli istnieją jednostronne granice właściwe w punkcie nieciągłości , to taką nieciągłość nazywa się , nieciągłością pierwszego rodzaju . Granica funkcji w punkcie

Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja drugiego rodzaju Jeżeli nie istnieją jednostronne granice właściwe w punkcie nieciągłości , to taką nieciągłość nazywa się , nieciągłością drugiego rodzaju . Granica funkcji w punkcie

Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - nieciągłość usuwalna Jeżeli jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji , a ponadto , to mówi się, że funkcja ma w punkcie , nieciągłość usuwalną . Np.: , . Granica funkcji w punkcie

Przykłady a). , b). , Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Przykład a H . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Przykład b . , Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Wybrane twierdzenia Funkcje elementarne Funkcje nieelementarne Miejsce zerowe funkcji Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Wybrane twierdzenia-1 Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w obszarze ich określoności, a punkty nieciągłości do tego obszaru nie należą . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Wybrane twierdzenia-2 Funkcja nieelementarna może mieć nieciągłości zarówno w punktach w których jest określona , jak i w punktach, w których nie jest określona . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

Wybrane twierdzenia-3 Jeżeli funkcja jest oznaczona i ciągła w przedziale domkniętym i na końcach tego przedziału wartości i mają znaki różne , to między a i b istnieje co najmniej jedna taka wartość c , dla której jest równe zeru . Granice jednostronne Granica niewłaściwa