Geometria obrazu Wykład 11 Źródła światła. Cienie. Bryła cienia. Mapowanie cieni. Rzutowanie skośne. Stabbing w R3. Niepunktowe źródła światła.

Źródła światła. Punktowe Kierunkowe Stożkowe (reflektor).

Cienie. Cienie twarde. Charakteryzują się brakiem płynnego przejścia pomiędzy punktami w cieniu i poza nim (ostre krawędzie). W naturze zwykle (rzadko) powstają, gdy źródło światła jest bardzo małe (punktowe) i stosunkowo blisko obiektów oświetlanych. [google]

Cienie miękkie. Cienie te są najczęściej spotykanym typem cienia w świecie naturalnym. Granice cieni nie są wyraźne. Występuje wiele tzw. półcieni (penumbra). Rozmycie cienia wynika stąd, że źródło światła nie jest nieskończenie małym punktem w przestrzeni. W obszarze penumbry widać część źródła światła, a w całkowitym cieniu (umbrze) źródło jest zasłaniane. Dodatkowo można zaobserwować, że im dalej znajduje się źródło światła tym cień staje się bardziej rozmyty. [google]

Metoda bryły cienia. Bryła cienia składa się z: Przedniego domknięcia (light cap) złożonego z danych elementów sceny zwróconych przodem do źródła światła, Tylnego domknięcia (dark cap) będącego rzutem elementów zwróconych tyłem do źródła światła na płaszczyznę w nieskończoności, Czworokątnych ścian łączących brzegi przedniego domknięcia z odpowiadającymi im brzegami tylnego domknięcia.

Aby stwierdzić, czy dany punkt przestrzeni leży w cieniu należy zbadać, czy punkt leży w środku przynajmniej jednej z brył cieni. Jest to równoważne stwierdzeniu, czy dla dowolnej półprostej o początku w danym punkcie różnica liczby przednich ścian brył przecinanych przez tę półprostą i liczby tylnych ścian brył przecinanych przez tę półprostą jest niezerowa. Algorytm. Wyznacz powierzchnie widoczne z punktu widzenia kamery. Z punktu źródła światła wyznacz obiekty, które mogą rzucać cień. Dla widocznych punktów sceny renderuj bryły cieni obiektów rzucających cień.

Wady metody brył cieni. Duża złożoność obliczeniowa. Konieczność renderowania każdego źródła światła. W wersji podstawowej algorytmu obiekty muszą być siatkami trójkątów. Nieodpowiednia dla obrazów z kanałem alfa.

Mapowanie cieni. Algorytm. Renderowanie elementów widocznych z pozycji źródła światła. Dokonanie pozostałych obliczeń oświetlenia (odbicia rozproszone, zwierciadlane) jedynie dla elementów widocznych ze źródła światła. Zalety mapowania cieni: Łatwość implementacji. Szybkość. Możliwość równoczesnej analizy wielu źródeł światła.

Wady mapowania cieni. Dokładność wyznaczania cieni zależy od rozdzielczości mapy cieni. Oryginalna metoda niewiele różni się od zwykłego badania krawędzi. W przypadku źródeł punktowych metoda jest czasochłonna. W przypadku kierunkowych źródeł światła istnieje możliwość powstania artefaktów.

: R3 \ {(x,y,z): z{a,b}}  {(x,y,z): z = 0} w następujący sposób: Rzutowanie skośne. Definicja. Dla danej płaszczyzny rzutowania z = 0 (ekranu) i dwóch prostych (osi) wyznaczanych przez przecięcia płaszczyzn (z = a)(x = 0) (prosta k) oraz (z = b)(y = 0) (prosta l) definiujemy rzutowanie skośne : R3 \ {(x,y,z): z{a,b}}  {(x,y,z): z = 0} w następujący sposób: punkt (p,q,0) jest obrazem wszystkich punktów leżących na prostej m przecho-dzącej przez (p,q,0) i przecinającej k i l oprócz mk i ml. l k

Lemat. Rzutowanie skośne jest zdefiniowane jednoznacznie, tzn. dla każdego punktu z R3 \ {(x,y,z): z{a,b}} istnieje dokładnie jeden punkt na ekranie będący jego obrazem. Dowód. Dany punkt p i prosta l wyznaczają płaszczyznę P, która przecina prostą k w punkcie q. Punkty p i q jednoznacznie wyznaczają prostą, która przecina prostą l w punkcie r oraz ekran w punkcie s. q r s p l k

Lemat. Kierunki rzutowania punktów należących do danej prostej m wyznaczają powierzchnię paraboloidy hiperbolicznej lub hiperboloidy jednopowłokowej, w zależności od położenia prostej m. [google]

Lemat. Obrazem przy rzutowaniu skośnym prostej niezawartej w płaszczyznach równoległych do ekranu, zawierających proste k i l, może być punkt, prosta lub hiperbola. Dowód. Punkt otrzymujemy, gdy dana prosta przecina proste k i l. Prostą otrzymamy, gdy dana prosta jest równoległa do ekranu. W pozostałych przypadkach otrzymamy hiperbolę. Fakt (ćwiczenia). Rzut skośny odcinka nie musi być spójny. Fakt (ćwiczenia). Wnętrze spójnego rzutu skośny wielokąta wypukłego może nie być spójne.

Stabbing w R3. Rozpatrzmy następujący problem prostej przeszywającej w R3: dla danego zbioru wypukłych wielościanów w R3 o łącznym rozmiarze n znajdź (o ile istnieje) prostą przeszywającą wszystkie z nich. Lemat. Jeśli prosta przeszywająca istnieje, to istnieje prosta przeszywająca przechodząca przez co najmniej dwie krawędzie wielościanów. Dowód. Możemy przesunąć prostą przeszywającą w dowolnym kierunku aż dotknie jednej krawędzi w punkcie p, a następnie obrócić względem punktu p aż osiągnie drugą krawędź.

W ten sposób otrzymujemy następujący algorytm. for każda para krawędzi wielościanów do begin if wybrane krawędzie są równoległe then znajdź przekrój wielościanów płaszczyzną zawierającą wybrane krawędzie i rozwiąż stabbing dwuwymiarowy else przekształć afinicznie przestrzeń tak, aby wybrane krawędzie przeszły w osie rzutowania skośnego; zrzutuj wielościany na ekran; if część wspólna rzutów jest niepusta then punkty części wspólnej i odcinki wyznaczające osie wyznaczają proste przeszywające; end end;

Twierdzenie. Problem stabbingu w R3 można rozwiązać w czasie O(n4 (n) log n). Dowód. Złożoność powyższego algorytmu wynosi: O(n2) x (O(n log n) (rozwiązanie stabbingu planarnego) + O(n) (rzutowanie) + O(n2 (n) log n) (znalezienie części wspólnej z wykorzystaniem ciągów Davenporta- Schinzela) ) = O(n4 (n) log n).

Niepunktowe źródła światła. Definicja. Punkt p znajduje się w cieniu, gdy źródło światła nie jest widoczne z tego punktu. Punkt p znajduje się w półcieniu, gdy źródło światła jest częściowo widoczne z tego punktu. Punkt p znajduje się w antycieniu, gdy całe źródło światła jest widoczne z tego punktu. źródło światła przeszkoda antycień półcień cień półcień antycień

LS(p) = s M(cosout cosin /R2)dS Definicja. Wartość oświetlenia w danym punkcie p opisana jest następującą całką LS(p) = s M(cosout cosin /R2)dS Gdzie M oznacza jasność źródła światła, R jest odległością od źródła światła, a out i in odpowiednio oznaczają kąty między wektorami normalnymi do powierzchni źródła światła i badanego obiektu a odcinkiem łączącym punkt p ze źródłem światła. out R in p

Siatka nieciągłości oświetlenia. Aby realistycznie przedstawić oświetlenie sceny musimy określić granice obszarów, w których oświetlenie zmienia się w sposób jednostajny (siatkę nieciągłości), na tej podstawie określić oświetlenie w konkretnych punktach sceny (siatka nieciągłości pomaga w określeniu rzeczywistego rozmiaru źródła światła oświetlającego dany punkt).

W celu określenia siatki nieciągłości musimy zbadać następujące układy EV – krawędź i wierzchołek przeszkody, EEE – trzy krawędzie przeszkód. W pierwszym przypadku badamy płaszczyzny, w drugim zaś powierzchnie stopnia drugiego. Oczywiście nie trzeba badać wszystkich układów. Tworząc wcześniej podział przestrzeni z pomocą np. drzewa BSP i stosując algorytm podobny do algorytmu malarza jesteśmy w stanie przyspieszyć ten proces.

Gdy określimy siatkę nieciągłości, znacznie łatwiej możemy obliczyć wartość oświetlenia w danym punkcie p, gdyż granice widzialności źródła światła z punktu p wyznaczają krawędzie, których obrazy tworzą brzeg ściany siatki zawierającej punkt p. Należy z punktu p poprowadzić płaszczyzny zawierające odpowiednie krawędzie, aby określić obszary źródeł światła, które oświetlają punkt p i na tej podstawie obliczyć wartość oświetlenia w tym punkcie. Co więcej, możemy wykorzystać informacje, otrzymane w trakcie tworzenia siatki nieciągłości, w postaci zależności wzajemnego zacieniania elementów sceny. Możemy je zapamiętać w postaci grafu, po którym będziemy się przemieszczać w fazie obliczania wartości oświetlenia.

Algorytm obliczania wartości oświetlenia Algorytm obliczania wartości oświetlenia. zacznij od całkowicie oświetlonych elementów sceny; poruszając się po grafie opisującym zależności wzajemnego zacieniania przechodź do obiektów coraz bardziej odległych od źródeł światła; dla odpowiednich ścian siatki nieciągłości oblicz wartości oświetlenia i zsumuj je po wszystkich ścianach zawierających odpowiedni punkt; Złożoność pesymistyczna całego algorytmu wynosi O(n4), ale w praktyce jest znacznie niższa.

Dziękuję za uwagę.

Ćwiczenia. Jaki jest rzut prostych (t,0,0), (t,t,0), (t,t,t) na ekran z = 0 względem prostych (z = 1)(x = 0) oraz (z = 2)(y = 0). Co mogłyby być skośnym rzutem prostej, gdyby ekran nie był równoległy do osi ? Podaj przykład położenia odcinka, którego rzut nie musi być spójny. Podaj przykład spójnego rzutu skośnego wielokąta wypukłego, którego wnętrze nie jest spójne.