Geometria obrazu Wykład 2 Rozpoznawanie wielokątów 1. Dualizacja liniowa Problem prostej przecinającej 2. Transformata Hougha 3. Transformata Radona 4. Inne transformaty

Dualizacja liniowa. Definicja. Dualizacją liniową nazywamy przekształ-cenie D : R2  R2 przyporządkowujące punktowi (a,b) prostą o równaniu y = ax-b. Przestrzeń obrazów nazywamy przetrzenią dualną. Podobnie możemy zdefiniować przekształ-cenie prostych (niepionowych) w zbiór punktów płaszczyzny. Przykład. Obrazem dualnym punktu p należącego do paraboli y = 0,5x2 jest styczna do tej para-boli w punkcie p.

Własności dualizacji liniowej: - Przekształcenie D jest wzajemnie jedno-znaczne, tzn. D(D(x)) = x, gdzie x jest punktem lub prostą (różną od pionowej) oraz rozróżniamy przestrzeń pierwotną i dualną (gdybyśmy traktowali obie prze-strzenie jako R2, to np. podwójne złożenie przekształcałoby punkt w pęk prostych). - Punkty są przekształcane na proste a pro-ste na punkty. - Punkt p należy do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy punkt D(k) należy do prostej D(p). - Punkty pi należą do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy proste D(pi) przecinają się w punkcie D(k) (tworzą pęk prostych) - Jeśli punkt p leży powyżej prostej k, to prosta D(p) leży poniżej punktu D(k) i vice versa.

Problem prostej przecinającej (stabbing line) w R2. Definicja. Dany jest zbiór n odcinków na płaszczyźnie. Problem: Czy istnieje prosta przecinająca wszystkie odcinki ? Jeśli tak, to określ zbiór prostych przecinających.

Fakt. Zbiór prostych przecinających odcinek ab w przestrzeni dualnej przyjmuje postać pod-wójnego klina, którego ramiona są wyzna-czane przez proste D(a) i D(b). Wniosek. Aby rozwiązać problem wystarczy określić w przestrzeni dualnej część wspólną klinów odpowiadających danym odcinkom. Część wspólna n podwójnych klinów od-powiadających danym odcinkom może mieć co najwyżej n spójnych składowych (utożsa-miając punkty w nieskończoności, otrzymu-jemy jedną składową mniej). Składowe są wypukłe (co najwyżej dwie nieskończone).

Lemat. Liczba krawędzi wszystkich składowych jest liniowa. Dowód. Podobny do dowodu twierdzenia strefo-wego. Dzielimy brzeg składowych na co najwyżej cztery zbiory względem punk-tów skrajnych: NE, SE, SW, NW. Roz-patrzmy np. zbiór NE. Analizując skła-dowe od lewej strony stwierdzamy, że poza co najwyżej jedną (pierwszą) kra-wędzią, pozostałe pojawiają się jako pierwsze na odpowiednich prostych. Zatem rozmiar zbioru NE szacuje się przez sumę liczby składowych i prostych, czyli 2n. Stąd liczba krawędzi wszystkich składowych nie przekracza 8n.

Algorytm dziel i rządź podziel zbiór S na małe podzbiory ; znajdź w przestrzeni dualnej części wspólne grup klinów odpowiadających podzbiorom zbioru S ; while nie znaleziono przecięcia wszystkich klinów lub któreś z przecięć jest puste do scalaj parami wyniki czastkowe zamiatając kolejne spójne składowe przecięć dualnych obrazów podzbiorów S ; return przecięcie wszystkich klinów ;

Lemat. Część wspólną przecięć dwóch grup stożków można znaleźć w czasie proporcjonalnym do sumy rozmiarów danych przecięć. Dowód. Stożki są monotoniczne względem osi x-ów, więc ich przecięcia również. Dlatego łatwo możemy określić porządek wierzchołków przecięć wzdłuż osi x-ów, czyli strukturę zdarzeń. Do struktury stanu należeć będą aktu-alnie przecinane przez miotłę krawędzie danych przecięć. Zatem rozmiar struktury stanu jest stały. Sprawdzenie, czy aktywne krawędzie krzyżują się wymaga czasu stałego. Zatem algorytm będzie działać w czasie liniowym względem rozmiaru danych wejściowych. Problem prostej przecinającej można rozwiązać w czasie O(n log n).

Prostą o równaniu y = ax + b możemy zapisać w postaci Transformata Hougha. Prostą o równaniu y = ax + b możemy zapisać w postaci y = (- cos /sin )x + (r/sin ), gdzie (r, ) są biegunowymi współrzędnymi punktu (x,y) względem punktu (0,0). Zatem r = x cos  + y sin . Przestrzeń, którą tworzą pary (r, ), gdzie r  R{0} i   [0,2), nazywamy przestrzenią Hougha. Gdy ustalimy punkt (x0,y0), przez który przechodzą badane proste otrzymamy równanie r() = Abs(x0 cos  + y0 sin ). Zatem punktowi w przestrzeni Hougha odpowiada funkcja sinusoidalna. Transformatą Hougha rozpoznajemy obrazy binarne. [http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform]

Przykład. [http://en.wikipedia.org/wiki/Hough_transform] Dlaczego przez jaśniejsze punkty przechodzi ciemniejsza prosta ? (ćwiczenia)

Przykład. [http://lapasoft.wordpress.com/2009/11/04/wykrywanie-linii-za-pomoca-transformaty-hougha/]

Twierdzenie. Z pomocą transformaty Hougha można jednoznacznie wyznaczyć położenie dowolnego wielokąta wypukłego (Rozenfeld, Weiss 95). Transformata Hougha nie określa jednoznacznie położenia wielokąta niewypukłego (Milanfar 96). Transformatę Hougha można wykorzystać również do znajdywania np. okręgów o określonym promieniu. Wychodząc z równania (x-a)2 + (y-b)2 = r2 w przestrzeni Hougha odpowiadającej parom (a,b) jaśniejsze będą środki poszukiwanych okręgów i okręgi o tym samym środku i dwa razy większym promieniu (ćwiczenia).

Przykład. [http://members.chello.pl/j.kaprzyk/cw2/Proj02.pdf ]

Transformata Radona. Transformata Radona podaje liczbę pikseli obrazu binarnego w rzucie na prostą umieszczoną pod kątem  względem osi x-ów. Transformacja jest dana wzorem , gdzie . Transformację Radona stosuje się m.in.. w tomografii.

Obraz kwadratu przy transformacji Radona. Przykład. Obraz kwadratu przy transformacji Radona. [http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/images/transfo9.html] Jaki jest obraz dwóch odcinków ((nie)równoległych, (nie)przecinajacych się) ? (ćwiczenia)

Inne transformacje. Transformata Fouriera dla dyskretnego sygnału dwuwymiarowego dana jest wzorem Stosuje się ją m.in. do wyszukiwania elementów podobnych na obrazie. Dyskretna Transformata Cosinusowa ma zastosowanie w kompresji obrazów jpg oraz konwersji mpeg. Para transformat cosinusowych dana jest wzorami

Transformata falkowa (wavelet). Transformata Wignera-Ville’a. Transformata Gabora.

Przykład zastosowania transformaty Gabora. [http://sound.eti.pg.gda.pl/akmuz/index.php/Transformacja_Gabora]

Dziękuję za uwagę.

Ćwiczenia. 1. Dlaczego w przykładzie dla transformaty Hougha przez jaśniejsze punkty przechodzi ciemniejsza prosta ? 2. Dlaczego podczas znajdywania okręgów w przestrzeni Hougha odpowiadającej parom (a,b) jaśniejsze będą środki poszukiwanych okręgów i okręgi o tym samym środku i dwa razy większym promieniu ? 3. Jaki jest obraz dwóch odcinków ((nie)równoległych, (nie)przecinających się) przy transformacji Radona ?