Algorytmy genetyczne - plan wykładu Wstęp Standardowy algorytm genetyczny Matematyczne podstawy algorytmów genetycznych Techniki poprawiające efektywność algorytmów genetycznych Genetyczne systemy uczące się (GBML) Programowanie genetyczne

Algorytmy genetyczne - literatura John Holland, Adaptation in natural and artificial systems, The University of Michigan Press, 1975 David E. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1995 Jarosław Arabas, Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT, Warszawa 2001 Robert Schaefer, Podstawy genetycznej optymalizacji globalnej, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2002

Definicje Algorytmy genetyczne – algorytmy poszukiwania oparte na mechanizmach doboru naturalnego oraz łączenia cech rozwiązań Uczenie się systemu - każda autonomiczna zmiana w systemie zachodząca na podstawie doświadczeń, która prowadzi do poprawy jakości jego działania. Rodzaje uczenia: Z nauczycielem Z krytykiem Samoorganizacja

Cele badań nad algorytmami genetycznymi Wyjaśnienie procesów adaptacyjnych występujących w przyrodzie Zastosowanie w zadaniach optymalizacji i uczenia

Równoważność algorytmów optymalizacji Reguła „nie ma nic za darmo” (ang. no free lunch theory): efektywność różnych typowych algorytmów szukania uśredniona po wszystkich wszystkich możliwych problemach optymalizacyjnych jest taka sama Typowe algorytmy szukania (optymalizacji): metoda enumeracyjna (wyliczeniowa) szukanie gradientowe symulowane wyżarzanie strategie ewolucyjne algorytmy genetyczne metody wyspecjalizowane (wykorzystujące szczegółową wiedzę o problemie)

Terminy genetyczne i ich odpowiedniki w sztucznych systemach genetycznych fenotyp rozwiązanie w postaci zbioru parametrów - x genotyp zakodowana postać rozwiązania (fenotypu) chromosom ciąg kodowy składający się z genów - cech allel wariant (wartość) cechy locus pozycja genu w chromosomie przystosowanie funkcja f(x) przypisująca każdemu rozwiązaniu liczbę rzeczywistą odzwierciedlającą jego wartość

Terminy genetyczne - schemat fenotyp: genotyp: 1 1 1 gen x allel(gen x) = 1 zbiór alleli (gen x) = {0,1} locus(gen x) = 3

Standardowy algorytm genetyczny – ogólny schemat Generowanie populacji potomnej: Reprodukcja Krzyżowanie Mutacja Start Losowa generacja populacji osobników Ocena populacji osobników Tak Czy koniec ewolucji? Nie Koniec

Funkcje podstawowych operatorów genetycznych Reprodukcja – wybór najlepiej przystosowanych osobników (rozwiązań) do następnego pokolenia Krzyżowanie – szukanie rozwiązań zawierających cechy wielu dobrych rozwiązań Mutacja – dostarczanie nowego materiału genetycznego

Czynności związane z realizacją algorytmu genetycznego Wybór metody kodowania - reprezentacji fenotypu (rozwiązania) Wybór operatorów genetycznych w zależności od problemu i przyjętego sposobu kodowania Dobór wartości parametrów ewolucji

Typy reprodukcji Ruletkowa – proporcjonalna do wartości funkcji przystosowania - konieczność skalowania Rangowa – zależna od rangi – numeru na liście posortowanej względem przystosowania Turniejowa – wielokrotny wybór najlepszego osobnika z losowo wybieranej podpopulacji aż do skompletowania populacji potomnej

Reprodukcja ruletkowa Przykład: optymalizacja funkcji Nr Ciąg kodowy Przystosowanie % całości 1 01101 169 14,4 2 11000 576 49,2 3 01000 64 5,5 4 10011 361 30,9 Łącznie 1170 100,0 Koło ruletki:

Reprodukcja rangowa Metody wyznaczania prawdopodobieństwa reprodukcji: Liniowa: Potęgowa: gdzie: r(X) – ranga rozwiązania X, rmax – ranga maksymalna, a,b,k – stałe spełniające warunki:

Reprodukcja rangowa - przykład Wyznaczanie prawdopodobieństwa reprodukcji metodą liniową dla funkcji przystosowania Nr Ciąg kodowy Przystosowanie Ranga r(X) p(X) dla k=2/3 i a=0 1 01101 169 3 0,25 0,17 2 11000 576 0,75 0,50 01000 64 4 10011 361 0,33 Łącznie 1170 1,5 1,0

Typy krzyżowania - 1/2 Ze względu na sposób kojarzenia osobników: Kojarzenie losowe - jednakowe prawdopodobieństwo dla wszystkich par Kojarzenie krewniacze (endogamia) - wśród osobników pokrewnych Kojarzenie według linii - szczególnie wartościowy osobnik jest kojarzony ze wszystkimi członkami populacji Kojarzenie selektywne dodatnie - kojarzenie osobników podobnych np. w sensie odległości Hamminga Kojarzenie selektywnie ujemne - kojarzenie osobników niepodobnych

Typy krzyżowania - 2/2 Ze względu na liczbę przecięć: Jednopunktowe Wielopunktowe Ze względu na liczbę osobników: Dwuosobnicze Wieloosobnicze W przypadku rzeczywistoliczbowej reprezentacji genotypu: Przez wymianę wartości genów Przez uśrednienie wartości genów

Krzyżowanie proste - schemat

Symulacja algorytmu genetycznego optymalizującego funkcję f(x) = x2

Metody kodowania Ze względu na typ wartości genu - allelu: Binarne np. 1000110 Całkowitoliczbowe O wartościach rzeczywistych (fenotypowe)

Kodowanie binarne Kodowanie pozycyjne: gdzie x - parametr rozwiązania, pozycyjny kod Graya liczba Kodowanie pozycyjne: 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000 gdzie x - parametr rozwiązania, - element ciągu kodowego Kodowanie Graya:

Kodowanie fenotypowe Wybrane operatory fenotypowe: - mutacja fenotypowa normalna: - krzyżowanie fenotypowe: - wektor parametrów fenotypu

Metody kodowania Ze względu na sposób reprezentowania cech: Klasyczne - każda cecha fenotypu jest kodowana przez wartość odpowiedniego genu niezależnie od jego umiejscowienia Permutacyjne - cechy kodowane są przez pozycje genów (locus) Mieszane - cechy kodowane zarówno przez pozycje jak i umiejscowienie genów

Problem komiwojażera – przykład kodowania permutacyjnego Założenia: każde miasto jest przypisane do jednego z genów o kolejności odwiedzin każdego z miast decyduje jego umiejscowienie w ciągu kodowym Przykład: ciąg kodowy: 2 5 1 3 4 7 6 4 2 rozwiązanie: 3 5 1 6 7

Metody kodowania - cd Ze względu na strukturę genotypu: Za pomocą ciągów Za pomocą innych struktur np. drzew, grafów, sieci

Dobór wartości parametrów algorytmu genetycznego Typy doboru: arbitralny – stałe wartości heurystyczny ewolucyjny Sposoby doboru ewolucyjnego ze względu na metodę reprezentowania parametrów: z podziałem na podpopulacje z parametrami zakodowanymi we wspólnym genotypie

Algorytm z podziałem na podpopulacje podpopulacja 1 parametry AG-1 AG-1 podpopulacja 2 parametry AG-2 AG-2 podpopulacja K parametry AG-K AG-K ... parametry zakodowane AG-1 parametry zakodowane AG-2 parametry zakodowane AG-K Meta - AG

Algorytm z podziałem na podpopulacje Założenia: Algorytm działa dwufazowo: najpierw uruchamiane są algorytmy dla poszczególnych podpopulacji a następnie uruchamiany jest metaalgorytm (z reguły dużo rzadziej), którego osobnikami są zbiory parametrów algorytmów genetycznych Poszczególne podpopulacje mogą być kopiowane lub usuwane w ramach reprodukcji dla metaalgorytmu

Algorytm z parametrami zakodowanymi we wspólnym genotypie Przykładowy genotyp (jeden chromosom): 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 informacja o dominowaniu Zakodowany fenotyp sposób kodowania prawd. mutacji prawd. krzyżowania

Model elitarny Najlepsze osobniki w populacji przechodzą do następnego pokolenia bez jakichkolwiek zmian. Zadanie: Podaj zalety i wady takiego modelu. zaleta - zachowanie najlepszych znanych rozwiązań wada - nadmierne skupienie populacji w obszarach wybranych rozwiązań

Zalety i wady algorytmów genetycznych Odporność - unikanie ekstremów lokalnych, prawdopodobieństwo znalezienia dobrych rozwiązań jest w dużym stopniu niezależne od wyboru punktów początkowych Wydajność – duża liczba przetwarzanych schematów - ok. m3, gdzie m - liczba osobników w populacji Łatwość zastosowania w niemal każdym zadaniu optymalizacji Wady: Brak gwarancji zbieżności do optymalnego rozwiązania

Metody poszukiwań - porównanie

Różnice pomiędzy algorytmami genetycznymi a tradycyjnymi metodami szukania Algorytmy genetyczne przetwarzają zakodowaną postać parametrów zadania (ciąg kodowy) a nie same parametry Poszukiwania prowadzone są w obrębie całej populacji rozwiązań (osobników) a nie pojedynczego rozwiązania Wykorzystywana jest tylko funkcja celu (uczenie z krytykiem) bez żadnej dodatkowej informacji naprowadzającej np. pochodnej funkcji celu Stosowane są probabilistyczne a nie deterministyczne reguły wyboru

Schematy 1/5 Schemat (H) - ciąg złożony z symboli alfabetu ciągu kodowego i symbolu specjalnego -”*” reprezentującego dowolny symbol alfabetu ciągu kodowego W przypadku kodowania binarnego schemat składa się z symboli alfabetu V+={0,1, *} Przykładowo ciąg kodowy 0110100 jest reprezentantem schematu H=*11***0 o długości l=7 Gdy alfabet ciągu kodowego składa się z k symboli, można określić (k+1)l schematów. Rząd schematu o(H) - liczba pozycji ustalonych (zer i jedynek w przypadku binarnym), np. o(011*1**) = 4 Rozpiętość schematu (H) - odległość pomiędzy dwiema skrajnymi pozycjami ustalonymi, np. (011*1**) = 5-1 = 4

Schematy 2/5 Przyjmijmy standardowy algorytm genetyczny z kodowaniem binarnym, reprodukcją ruletkową, krzyżowaniem prostym losowym i losową mutacją jednopozycyjną Niech w chwili t w populacji znajduje się m(H,t) reprezentantów schematu H. Oczekiwana liczba schematów w populacji potomnej wyniesie wówczas: f(H) - średnie przystosowanie wszystkich ciągów reprezentujących schemat H w chwili t fi - przystosowanie i-tego ciągu w chwili t

Schematy 3/5 Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o , gdzie c jest stałą. W efekcie otrzymujemy: Zaczynając natomiast od t=0 otrzymujemy: co świadczy o wykładniczym tempie rozprzestrzeniania się schematów o lepszym niż przeciętne przystosowaniu za sprawą samej reprodukcji.

Schematy 4/5 Uwzględniając krzyżowanie i mutację otrzymujemy dolne oszacowanie oczekiwanej liczby schematów w pokoleniu potomnym: gdzie pc i pm oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwa krzyżowania osobnika i mutacji genu

Schematy 5/5 Wnioski: Krzyżowanie przyczynia się do niszczenia schematów o dużych rozpiętościach Schematy o wysokim przystosowaniu i małej rozpiętości rozprzestrzeniają się w wykładniczym tempie - hipoteza schematów-cegiełek mogących łączyć się w struktury o wysokim przystosowaniu

Minimalny problem zwodniczy 1/3 Wybierzmy 4 schematy rzędu 2 o następujących średnich przystosowaniach: ***0*****0* f(00) ***0*****1* f(01) ***1*****0* f(10) ***1*****1* f(11) Załóżmy, że f(11) jest globalnym maksimum. Można wyróżnić dwa typy problemów zwodniczych: Typ 1: f(01)>f(00) i f(10)<f(00) lub f(01)<f(00) i f(10)>f(00) Typ 2: f(01)<f(00) i f(10)<f(00) Oba wiążą się z pozycyjną epistazą - zmiana w lepszym kierunku może pogorszyć przystosowanie

Minimalny problem zwodniczy 2/3 Typ 1 Typ 2

Minimalny problem zwodniczy 2/3 Jeśli w przypadku typu 2 f(00)+f(01) > f(10)+f(11), to proces szukania w zależności od początkowej liczności schematów może być rozbieżny (problem AG-trudny) Typ 2

Wady standardowego algorytmu genetycznego Nieefektywność w przypadku problemów epistatycznie nieliniowych - przy braku dobrych schematów Spadek różnorodności małej populacji w końcowej fazie ewolucji związana z tzw. dryfem genetycznym - odchylenia liczby osobników przy podobnych wartościach funkcji przystosowania Nieefektywność w przypadku niestacjonarności środowiska

Metody likwidowania ograniczeń standardowego algorytmu genetycznego Ograniczenia Metody przezwyciężenia ograniczeń epistatyczna nieliniowość + nieefektywne kodowanie rekonfiguracja (np. dzięki inwersji) przedwczesna zbieżność zwiększenie mutacji model ze ściskiem, mechanizm preselekcji, metody niszowe niestacjonarność środowiska diploidalność, poliploidalność, w pewnym stopniu metody zachowania różnorodności populacji (zapobiegania przedwczesnej zbieżności)

Rekonfiguracja - zmiana pozycji genów Założenia: Konieczne jest dołączenie informacji o pozycjach poszczególnych genów w trakcie krzyżowania Jeśli parametry AG są kodowane we wspólnym genotypie to informację taką można reprezentować za pomocą dodatkowego chromosomu lub dołączyć bezpośrednio do ciągu kodowego kodującego fenotyp Jeśli informacja o pozycjach poszczególnych genów jest kodowana permutacyjnie to można ją poddać ewolucji stosując np. operację inwersji oraz krzyżowanie ciągów permutacyjnych metodą PMX, OX lub CX

Rekonfiguracja - zmiana pozycji genów Inwersja liniowa: Numerujemy geny w ciągu kodowym, wybieramy losowo 2 punkty przecięcia, obracamy środkowy fragment chromosomu. Przykład dla genów o wartościach binarnych: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 1 1 1 0 1 1 - przed inwersją ^ ^ 1 2 6 5 4 3 7 8 1 0 0 1 1 1 1 1 - po inwersji postać genotypu: 1 2 6 5 4 3 7 8 - ciąg porządkowy g1 g2 g6 g5 g4 g3 g7 g8 - ciąg genów (kodowy)

Typy inwersji Ze względu na liczbę punktów przecięcia: Inwersja liniowa Inwersja liniowo-boczna: z prawdopodobieństwem 0,75 inwersja liniowa, z prawdopodobieństwem 0,125 inwersja boczna dla każdego z końców (zapobiega faworyzowaniu środkowej części chromosomu) Ze względu na wymóg homologiczności (zgodności pozycyjnej) chromosomów przy krzyżowaniu: Inwersja ciągła - niehomologiczne chromosomy w jednej populacji Inwersja masowa - dla każdego uporządkowania genów tworzona jest oddzielna podpopulacja

Metody kojarzenia ciągów kodowych przy inwersji Kojarzenie ściśle homologiczne (w przypadku wylosowania ciągów niehomologicznych krzyżowanie nie zachodzi) Kojarzenie na podstawie żywotności - w przypadku ciągów niehomologicznych do populacji potomnej wchodzą tylko ciągi o odpowiednio dużym zestawie genów Kojarzenie według wzorca - jeden z ciągów jest rekonfigurowany względem drugiego Kojarzenie według wzorca lepiej przystosowanego osobnika

Kojarzenie według wzorca ciąg 1 ciąg 2 pozycja: 1 2 3 5 4 2 4 1 3 5 wartość: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 Po wybraniu wzorca ciągu 1, pozycje ciągu 2 muszą zostać dopasowane do ciągu 1: 2 4 1 3 5 1 2 3 5 4 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 Teraz można dokonać krzyżowania w wybranym losowo punkcie: 1 1 1|1 1 1 1 1 0 1 0 1 0|0 1 0 1 0 1 1 I przekonfigurować ciąg 2 do pierwotnej postaci: 2 4 1 3 5 1 1 0 0 1

Metody krzyżowania przy kodowaniu permutacyjnym PMX (partially matched crossover) OX (order crossover) CX (cycle crossover) Wszystkie z powyższych operacji pozwalają na zachowanie pełnego zestawu genów przy jednoczesnym krzyżowaniu i inwersji

Metoda PMX Zamiana numerów pozycji na podstawie przyporządkowania numerów w środkowym fragmencie ciągu: A = 9 8 4 | 5 6 7 | 1 3 2 10 B = 8 7 1 | 2 3 10 | 9 5 4 6 A’ = 9 8 4 | 2 3 10 | 1 6 5 7 B’ = 8 10 1 | 5 6 7 | 9 2 4 3 Zamieniamy miejscami 5 i 2, 6 i 3 oraz 7 i 10 w obu ciągach

Problem komiwojażera - kodowanie permutacyjne fenotypu Założenia: każde miasto jest przypisane do jednego z genów o kolejności odwiedzin każdego z miast decyduje jego umiejscowienie w ciągu kodowym Przykład: ciąg kodowy: 2 5 1 3 4 7 6 4 2 rozwiązanie: 3 5 1 6 7

Metoda PMX - problem komiwojażera Porównanie efektywności algorytmu z PMX z algorytmem wykorzystującym samą inwersję w „ślepej” wersji problemu komiwojażera:

Zapobieganie przedwczesnej zbieżności Sposoby zapobiegania: Zwiększanie prawdopodobieństwa mutacji Mechanizm preselekcji Model ze ściskiem Metody niszowe Duża częstość mutacji często nie gwarantuje opuszczenia optimum lokalnego w przypadku ujednoliconej populacji Mechanizm preselekcji: w ramach reprodukcji osobniki potomne zastępują swoich rodziców (o ile są lepiej przystosowane) Model ze ściskiem: w ramach reprodukcji nowy osobnik zastępuje osobnika podobnego i słabo przystosowanego.

Model ze ściskiem Wersja Goldberga: Tworzymy populację mieszaną o współczynniku wymiany G: 0<G1. Wybieramy m·G nowych osobników np. metodą ruletki. Dla każdego nowego osobnika: Losujemy CF (crowding factor) podpopulacji k-elementowych Z każdej wylosowanej podpopulacji wybieramy po jednym osobniku najgorzej przystosowanym i tworzymy listę (o liczności CF) Z listy wybieramy osobnika najbliższego w stosunku do nowego (np. w sensie odległości Hamminga w przestrzeni ciągów kodowych) Zastępujemy wybranego osobnika nowym.

Metody niszowe 1/6 Przykład funkcji wielomodalnej, o szczególnie szkodliwym wpływie przedwczesnej zbieżności spowodowanej ujednoliceniem populacji:

Metody niszowe 2/6 Problem 2-rękiego bandyty z podziałem wygranej - nagrody wypłacane są nie tylko w zależności od przystosowania ciągu (wybór odpowiedniego ramienia) ale również od liczby osobników o podobnym przystosowaniu Warunek równowagi: gdzie f - średnia wypłata do podziału, m - liczba osobników

Metody niszowe 3/6 Metody kreowania nisz i gatunków (specjacja): Ograniczenie migracji w sensie „geograficznym” np. model wyspowy lub komórkowy Zastosowanie funkcji współudziału (s) obniżającej wartość funkcji przystosowania gdy osobnik znajduje się blisko innych osobników z populacji: gdzie odległość d może być obliczana na poziomie genotypów (np. odległość Hamminga) lub fenotypów (rozwiązań), funkcja s() powinna maleć wraz z d, przy czym s(0) = 1

Metody niszowe 4/6 Bariery reprodukcyjne: Kojarzenie według linii Kojarzenie krewniacze ze sporadycznym krzyżowaniem linii Wzorce skojarzeniowe (mating templates) 11111 00000 Przykład ilustrujący potrzebę stosowania barier reprodukcyjnych: 11000 00111

Metody niszowe 5/6 Wzorce skojarzeniowe – kojarzenie zachodzi tylko wtedy, gdy wzorzec pierwszego osobnika pasuje do części funkcjonalnej drugiego osobnika i/lub na odwrót przykład: <Wzorzec>:<Część funkcjonalna> #10#:1010 #01#:1100 #00#:0000 wersja z wydzielonym identyfikatorem linii (do którego dopasowywany jest wzorzec): <Wzorzec>:<Id>:<Część funkcjonalna> #10#:1010:10001000101110101011 #01#:1100:00101010000111110000 #00#:0000:11100001111000001110

Metody niszowe 6/6 Porównanie rozmieszczeń rozwiązań dla modów o równej i różnej wysokości:

Środowisko - typy Ze względu na element losowości (niezerowej wariancji) w funkcji oceny lub metody selekcji: Deterministyczne Niedeterministyczne Ze względu na zmienność oceny w funkcji czasu: Stacjonarne Niestacjonarne

Metody adaptacji do zmieniającego się środowiska Utrzymanie różnorodności populacji - model ze ściskiem, niszowanie Adoptowalna (lub bardziej elastyczna postać fenotypowa rozwiązań) Wykorzystanie dodatkowych zmiennych lub struktur: Na poziomie populacji - zapisywanie najlepszych osobników w populacji lub całych populacji Na poziomie osobnika - diploidalność i dominowanie

Diploidalność i dominowanie 1/12 Diploidalność, poliploidalność - zdwojenie lub zwielokrotnienie (poliploidalność) liczby homologicznych chromosomów, reprezentujących fenotyp (rozwiązanie) Dominowanie - faworyzowanie wariantu dominującego w stosunku do wariantu recesywnego cechy podczas ekspresji Ekspresja - wybór wariantu cechy, który decyduje o postaci fenotypu

Diploidalność i dominowanie 2/12 Przyjmijmy, że podczas ekspresji 2 warianty recesywne dają wariant recesywny (mała litera), a w pozostałych przypadkach otrzymujemy wariant dominujący (duża litera): aa  a, aA  A, Aa  A, AA  A, wówczas operacja ekspresji homologicznych chromosomów wygląda następująco: AbCDe ABCDe aBCde

Diploidalność i dominowanie 3/12 Mechanizm dominowania: Stały (np. model diploidalny prosty) Adaptacyjny - podlegający ewolucji Metody reprezentowania informacji o dominowaniu: Trzeci chromosom – wzorzec dominacji Dodatkowy pole genu (obok allelu) Informacja wbudowana w strukturę chromosomu np. poprzez rozszerzenie alfabetu np. model trialleliczny

Diploidalność i dominowanie 4/12 Przyjmując binarną reprezentację genotypu i następujące oznaczenia: 0d - zero dominujące, 0r - zero recesywne, 1d - jedynka dominująca i 1r - jedynka recesywna, otrzymujemy tablicę ekspresji alleli: 1 - 1d 1r 0d 0r allele chromosomu A allele chromosomu B

Diploidalność i dominowanie 5/12 Metody rozwiązywania konfliktów: Losowanie wariantu genu Wybór według następnego genu Wybór arbitralny np. w modelu triallelicznym Hollstiena - Hollanda: 0 oznacza zero dominujące, 1 - jedynka recesywna, 2 - jedynka dominująca allele chromosomu B allele chromosomu A 1 2 Przykład ekspresji: A: 12022110 B: 21002121 11011110

Diploidalność i dominowanie 6/12 Analiza matematyczna Dolne oszacowanie liczby schematów w pokoleniu potomnym: gdzie He - schemat ujawniony. Średni wskaźnik przystosowania dla schematu całkowicie dominującego: Oczekiwany średni wskaźnik dla schematu zdominowanego: Stąd wniosek, że dzięki przysłanianiu, liczność schematu H w następnym pokoleniu jest z reguły wyższa, niż by to wynikało z jego rzeczywistego przystosowania

Diploidalność i dominowanie 7/12 Przykład krzyżowania w modelu diploidalnym: potomek 1 rodzic 1 chromosom A chromosom B gameta 1A’ gameta 1B’ gameta 1A’ gameta 2A’ potomek 2 rodzic 2 chromosom A chromosom B gameta 2A’ gameta 2B’ gameta 1B’ gameta 2B’ krzyżowanie chromosomów homologicznych wymiana gamet

Diploidalność i dominowanie 8/12 Przykład krzyżowania (wariant II): potomek 1 rodzic 1 chromosom A chromosom B gameta 1A’ gameta 1B’ gameta 1A’ gameta 2B’ potomek 2 rodzic 2 chromosom A chromosom B gameta 2A’ gameta 2B’ gameta 2A’ gameta 1B’ krzyżowanie chromosomów homologicznych wymiana gamet

Diploidalność i dominowanie 9/12 Symulacja - niestacjonarna wersja zagadnienia plecakowego (Godberg i Smith, 1987): , gdzie pod warunkiem, że Warunek więzów zmienia się skokowo co pewien okres czasu, a następnie powraca do postaci pierwotnej.

Diploidalność i dominowanie 10/12 Symulacja - niestacjonarna wersja zagadnienia plecakowego - porównanie średnich wartości rozwiązań dla różnych modeli haploidalnego i diploidalnego prostego (ze stałym wzorcem dominacji):

Diploidalność i dominowanie 11/12 Symulacja - niestacjonarna wersja zagadnienia plecakowego - porównanie średnich wartości rozwiązań dla modeli diploidalnego prostego i triallelicznego:

Diploidalność i dominowanie 12/12 Symulacja - niestacjonarna wersja zagadnienia plecakowego - porównanie najlepszych rozwiązań w pokoleniu dla modeli diploidalnego prostego i triallelicznego: