optoelectronics Podstawy fotoniki wykład 3 EM opis zjawisk świetlnych

optoelectronics Teoria promieniowania E-M James Clark MAXWELL ( ) promieniowanie EM propaguje się w postaci dwóch sprzężonych fal wektorowych E H, oba pola są do kierunku propagacji mamy: E x, E y, E z, H x, H y, H z światło jest zjawiskiem elektromagnetycznym

pierwszy kondensator zbudowany przez Cunaeusa i Musschenbroeka zwany butelką Lejdejską (Leyden jar) dielektrykiem 1837 Faraday studiował materiał izolacyjny, który nazwał dielektrykiem Połowa lat 1860-tych - teoria elektromagnetyzmu Maxwella = n 2 = n Hertz 1897 Drude 1847 Mossotti 1879 Clausius Lorentz-Lorentz pole wewnętrzne 1912 Debye moment dipolowy optoelectronics Historia; EM w dielektrykach

optoelectronics Teoria promieniowania E-M j = gęstość prądu [A/m 2 ] = gęstość ładunku [C/m 3 ] 0 = N A -2 tzw. równania materiałowe D - wektor indukcji elektrycznej B - wektor indukcji magnetycznej

5 Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska W regionach opisanych równaniami Maxwella zakłada się, że pola są: jednoznaczne ograniczone ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi Środowisko jest liniowe jeżeli σ, i μ są niezależne od E i H. Jest jednorodne jeśli σ, i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych. Jest izotropowe jeśli σ, i μ są niezależne od kierunku. Relacje konstytutywne

optoelectronics Teoria promieniowania E-M

optoelectronics Laplasjan - skalar operator nabla - wektor Operatory różniczkowe

8 Równania Maxwella optoelectronics James Clerk Maxwell ( )

9 Równania Maxwella Równania Maxwella w postaci różniczkowej i całkowej. + równania materiałowe. Postać różniczkowa Postać całkowa Nazwa odpow. prawa I II III IV Prawo Ampera Prawo indukcji Faradaya Prawo Coulomba Prawo Gaussa (E) Prawo Gaussa dla Pola magn. optoelectronics

10 Warunki graniczne Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ 1, 1, μ 1 ) and (σ 2, 2,μ 2 ) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwella. Oznaczmy: a n12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

11 Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy. Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku S na powierzchni granicznej. Oto te równania: Na granicy

12 Przekształcając równania Maxwella i korzystając z równań materiałowych można uzyskać równanie falowe dla fali E-M Załóżmy, że mamy ośrodek jednorodny i izotropowy, oraz że nie zawiera on ładunków. Oznacza to że,, =const. i = 0. Cztery równania Maxwella mają wtedy w układzie SI następującą postać: optoelectronics Równanie falowe

13 Wykonajmy kolejno zaznaczone po prawej stronie równań I i II (prawo Ampera i Faradaya) operacje. = 0 optoelectronics Otrzymamy wtedy następujące równania: Równanie falowe

14 Eliminując z tych równań wyrażenia oraz oraz mnożąc wynik obustronnie przez 1/ 0 otrzymujemy, dla ośrodka dielektrycznego i przy założeniu rozwiązań postaci równania dla E:, optoelectronics Równanie falowe

15 Rozkład kątowy energii emitowanej przez drgający dipol jest przedstawiony na następnym rysunku. Atom jako oscylator wzbudzany promieniowaniem EM optoelectronics

16 ośrodek E WE P WY natura ośrodka wyraża się poprzez związek między jego polaryzacją P, a natężeniem pola E. Pod wpływem przyłożonego pola w ośrodku powstaje polaryzacja (odpowiedź) – to podatność elektryczna ośrodka – skalar Makroskopowo polaryzacja jest sumą elektrycznych momentów dipolowych (atomów, cząsteczek) indukowanych polem elektrycznym

17 Polaryzacja jest proporcjonalna do natężenia pola. Współczynnik proporcjonalności jest zwany podatnością elektryczną. gdzie jest przenikalnością elektryczną. Zwana również stałą dielektryczną, gdyż nie zależy od natężenia pola. Zależy natomiast od częstotliwości przyłożonego pola, od temperatury, od gęstości (lub ciśnienia) oraz składu chemicznego systemu. Dla bardzo wysokich natężeń pola proporcjonalność nie jest dalej prawdziwa saturacja dielektryka i efekty nieliniowe optoelectronics

18 Polaryzacja deformacyjna: Pole elektryczne Polaryzacja orientacyjna: -e +e Pole elektryczne Pole elektryczne próbuje uporządkować trwałe dipole optoelectronics

19 Oscylatorowy model materii; Model Drudego-Lorenza

20 Oscylatorowy model materii; Model Drudego-Lorenza

21 Oscylatorowy model materii; Model Drudego-Lorenza Materia przeźroczysta zbudowana jest z atomów w których elektrony są sprężyście związane z jądrami tomowymi. Każdy elektron = oscylatorowi zmuszonymi do drgań pod wpływem fali EM e+ e- x moment dipolowy =-ex gdzie x – przemieszczenie ładunku Fala padająca o częstotliwości ( ), częstotliwości własne oscylatorów i ( i ), zgodnie z równaniami Maxwella, w wyniku wzbudzenia, każdy z drgających dipoli wysyła falę o częstotliwości i, te fale nakładają się na falę padającą. ( ) W rezonansie ( = 0 ) Electric field at atom Electron cloud Emitted field

22 Rozpatrujemy elektron na sprężynie x e (t), wzbudzany falą świetlną, E 0 exp(-i t) : Rozwiązanie: Tak więc elektron oscyluje z częstotliwością fali ( ), lecz z amplitudą zależną od różnicy częstotliwości, jest stałą tłumienia drgań. Jeżeli mamy cały zbiór oscylatorów (makroskopowo) ośrodek zareaguje poprzez zmianę polaryzacji P( )= ( ) E( ) gdzie jest podatnością elektryczną ośrodka - zespoloną gdzie jest współczynnikiem absorpcji, a n jest współczynnikiem załamania" Oscylatorowy model materii; Model Drudego-Lorenza

23 Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych Współczynnik załamanie światła jest zdefiniowany jako; Wiemy, że prędkość fazowa. Stąd znajdziemy związek pomiędzy optycznymi a elektrycznymi stałymi materiałowymi. Dla izolatorów =1. Dyspersja światła w pryzmacie wskazuje na to, że współczynnik załamania światła n zależy od długości fali, czyli również ( ). Odpowiednie zależności można znaleźć w oparciu o model rozpraszania światła na atomach (elektronach) optoelectronics

24 Padająca fala o częstości indukuje wtórny moment dipolowy w atomie. Moment ten uzyskuje dla pewnej częstości wartość maksymalną. W oparciu o takie rozważania otrzymujemy na współczynnik załamania wyrażenie; gdzie N oznacza liczbę atomów/cm 3, e - ładunek elektronu, m – masę elektronu, 0 – częstość rezonansową, a Współczynnik załamania przyjmuje więc postać n 0 ( ) przedstawia rzeczywisty współczynnik załamania odpowiedzialny za rozszczepienie światła, optoelectronics Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych

25 ( ) jest odpowiedzialny za tłumienie amplitudy fali. Prawo absorpcji fali elektromagnetycznej ma postać:. optoelectronics

26 Ośrodek można scharakteryzować zespoloną wartością współczynnika załamania dyspersja absorpcja Częstotliwościowo zależne składniki absorpcyjne i dyspersyjne łączy zależność Kramersa-Kroniga optoelectronics Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych

27 częstotliwość absorption n R 1 0 szerokość n typowo10 9 Hz (poszerzenie Dopplera) optoelectronics częstotliwość Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych

28 optoelectronics Absorpcja i dyspersja są ze sobą związane Dyspersja i absorbcja fal elektromagnetycznych

cd. wspólczynnik załamania n prędkość ś. w wolnej przestrzeni prędkość światła w ośrodku n

30 Dla nie izotropowych dielektryków, takich jak większość kryształów, ciekłych kryształów podatność elektryczna skalarna musi być zastąpiona wielkością tensorową. Tak więc musi też być zastąpione tensorem: optoelectronics