12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 11 Elementy Kombinatoryki

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK2 Problem

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK3 Funkcje Problem Dane są dwa zbiory X i Y skończone, X= {x 1,...,x n }, Y={y 1,...,y m }. Ile jest funkcji całkowitych f : X Y? Pudełko nr. 1Pudełko nr. 2Pudełko nr. 3Pudełko nr. 4Pudełko nr. 5 n=7, m= 5 X: a, b, c, d, e, f, g Y: abc de f g Jeśli |X|=n i |Y|=m, to |{f: X Y}| = m n.

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK4 Przykład 1 Na ile sposobów można wylosować pięć kart (ze zwracaniem) z talii zawierającej 52 karty ? Inaczej mówiąc : ile jest 5elementowych ciągów, w których każdy element to jedna 52 kart? Odp.: 52 5 lub Ile jest funkcji ze zbioru {1,2,3,4,5} w zbiór 52 elementowy? lub Na ile sposobów można włożyć liczby 1,2,3,4,5 do 52 pudełek?

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK5 Przykład 2 Na ile sposobów można pokolorować graf o n wierzchołkach, jeśli dysponujemy k kolorami? Inaczej: Ile jest różnych funkcji całkowitych postaci Kolor : Wierzchołki Zbiór_kolorów Wierzchołki pomalowane na żółto Wierzchołki pomalowane na niebiesko Wierzchołki pomalowane na czerwono ODP.: k n

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK6 Przykład 3 Ile różnych liczb można zapisać w n elementowym rejestrze bitowym? Ile jest n elementowych ciągów, których wyrazami jest zero lub jeden? Ile jest różnych funkcji ze zbioru n elementowego i o wartościach w zbiorze{0,1}? Odpowiedź : 2 n

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK7 Funkcje różnowartościowe A co, jeśli wymagamy aby każde pudełko zawierało co najwyżej jeden obiekt? Pytanie Ile jest funkcji całkowitych różnowartościowych f : X Y ? Oczywiście pierwszy element możemy włożyć do dowolnego pudełka. Y: Jeśli x 1 włożyliśmy do pudełka y 1, to x1x1 nie możemy tam włożyć już innych elementów! Czyli x 2 możemy włożyć tylko do jednego z pozostałych pudełek. Odpowiedź: m * (m-1) * (m-2)... * (m-n+1)

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK8 Wariacje Definicja Ciąg n różnych elementów ze zbioru m elementowego nazywa się wariacją n wyrazową ze zbioru m- elementowego bez powtórzeń. f : X Y n y i1 y i2 y i3... y in Przykład Niech A={1,2,3,4}. Wszystkie trzy-wyrazowe wariacje ze zbioru A to: 1,2,3 1,2,4 1,3,2 1,3,4 1,4,2 1,4,3 2,1,3 2,1,4 2,3,1 2,3,4 2,4,1 2,4,3 3,1,2 3,1,4 3,2,1 3,2,4 3,4,1 3,4,2 4,1,2 4,1,3 4,2,1 4,2,3 4,3,1 4,3,2 Wniosek Liczba tych wariacji wynosi m(m-1)...(m-n+1). 1-1 Różne elementy zbioru Y

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK9 Przykład Jaka jest liczba możliwych słów 5cio literowych, jeśli litery w słowie nie mogą się powtarzać i dysponujemy alfabetem 24 literowym? Ile można utworzyć ciągów 5 elementowych, bez powtórzeń, jeśli elementami ciągu są litery z 24elementowego zbioru? Ile jest różnowartościowych funkcji odwzorowujących zbiór {1,2,3,4,5} w 24-ro literowy alfabet? Ile jest wariacji 5-wyrazowych ze zbioru 24elementowego? ODP.: 24* 23*22*21*20

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK10 Rozmieszczenia uporządkowane Rozważmy sytuację, w której rozmieszczamy n obiektów w m pudełkach, ale pudełka zawierają teraz ciągi, a nie zbiory elementów. Ile jest różnych możliwych rozmieszczeń uporządkowanych n obiektów w m pudełkach? 1szy element na m sposobów, 2gi elememet na (m+1) sposobów. i-ty element można umieścić w pudełku k o i k -elementach na i k +1- sposobów. Czyli razem, ity element wkładamy na m+i-1 sposobów. a, bc Pudełko 1 Pudełko 2 Pudełko Pudełko m d i1i1 i2i2 i3i3 imim Odp.: m(m+1)...(m+n-1)

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK11 Przykład Przypuśćmy, że zajmujemy się układaniem rozkładu zajęć. Jedno z zadań z tym związanych to przypisanie zajęć(grup) do sal. Oczywiście o tej samej godzinie nie możemy umieścić w tej samej sali różnych zajęć. Przypuśćmy, że dysponujemy 7 salami i mamy 40 rożnych zajęć. Ile różnych rozkładów zajęć można utworzyć? Czyli: Ile jest różnych rozmieszczeń uporządkowanych 40 obiektów w siedmiu pudełkach? Odp.: 7 * 8 * 9 *... * (7+40-1)

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK12 Permutacje Definicja n wyrazowe wariacje ze zbioru n elementowego nazywamy permutacjami. Inaczej: permutacje to funkcje całkowite, różnowartościowe ze zbioru X w zbiór X. Liczba permutacji P(n) zbioru n elementowego wynosi n*(n-1)...*2 *1, tzn. n! Dowód tw. przez indukcje ze względu na n. Krok 1. Liczba permutacji w zb. 1-elementowym wynosi 1. P(1)=1!=1 Założenie Ind.: P(k)=k! dla pewnego k >0. Teza: P(k+1)= (k+1)! Dowód. Element (k+1)szy umieszczamy na wszystkich możliwych pozycjach (tzn. k+1 pozycjach ) we wszystkich k-elementowych permutacjach. Zatem P(k+1)= P(k) * (k+1)= (k+1)!

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK13 Oszacowanie Oszacowanie 1. n! n n Dzięki wzorowi Stirlinga mamy : n! = (2 n) (n/e) n (1+ (1/n)) 2. n! = O(n n ) 3. lg n! = (n lg n)

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK14 Przykład Rozważmy permutacje zbioru {1,2,3,4}. 1,2,3,4 1,2,4,3 1,3,2,4 1,3,4,2 1,4,2,3 1,4,3,2 2,1,3,4 2,1,4,3 2,3,1,4 2,3,4,1 itd 1,2,3,4 2,1,3,4 1,3,2,4 3,1,2,4 2,3,1,4 3,2,1,4 1,2,4,3 2,1,4,3 1,4,2,3 4,1,2,3itd * 1,2,3,4 2,1,3,4 2,3,1,4 2,3,4,1 3,2,4,1 3,2,1,4 3,1,2,4 1,3,2,4 1,3,4,2 3,1,4,2itd *

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK15 Interpretacja Ten ciąg permutacji odpowiada drodze Hamiltona w grafie

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK16 Generowanie permutacji Generowanie wszystkich permutacji przez minimalną liczbę transpozycji sąsiednich elementów. Procedure ANTYLEX(m) begin if m=1 then wypisz_permutację P(1:n) else for i :=1 to m do ANTYLEX(m-1); if i<m then zamień(P(i), P(m)); odwróć(m-1); fi; od; fi end; Początkowo P(i)=i dla i=1...n

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK17 Symbol dwumianowy Liczbę wszystkich podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznaczamy przez (n nad k) i nazywamy symbolem dwumianowym Newtona. Jeśli X ma n elementów, to liczba wszystkich podzbiorów zbioru X wynosi 2 n. Kombinacje bez powtórzeń Lemat (n nad k)=0 gdy k>n (n nad k)= n!/ (k! (n-k)!) Ciągów różnowartościowych długości k w zbiorze n elem. jest n (n-1)... (n-k+1) Ale ciągów o różniących się kolejnością elementów jest k! Stąd (n nad k)= n (n-1)... (n-k+1)/k! ( x+y) n = (n nad i) x i y n-i

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK18 Trójkąt Pascala (n nad i) : i=0...n} = 2 n (n nad k) = (n nad n-k) (n nad k) = (n-1 nad k ) + (n-1 nad k-1)

12 grudnia 2001Matematyka Dyskretna, Elementy Kombinatoryki G.Mirkowska, PJWSTK19 Przykłady 1. Ile jest ciągów zero-jedynkowych o długości n, w których 1 występuje dokładnie k razy? Uwaga Ciąg ( ) można traktować jako funkcję charakterystyczną zbioru. Zatem odpowiedź : (n nad k) 2. Niech będzie graf pełny G (bez pętli) o n wierzchołkach. Ile taki graf ma krawędzi m? Uwaga Każda krawędź wyznacza 2 elementowy podzbiór i każdy 2 elementowy podzbiór zbioru wierzchołków wyznacza krawędź. Zatem odpowiedź : (n nad 2)