Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Wykład 10 Systemy algebraiczne 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Struktury danych Co to jest ? Zbiór + operacje + relacje Zachowanie tego progamu zależy od tego w jakiej strukturze go wykonujemy Niepusty zbiór obiektów (danych). Jakieś zależności między danymi. Jakieś metody modyfikowania tych danych (Czy zupełnie dowolne?) Zbiór + operacje + relacje (x) (y) (r(f(x),y)  s(x,y)) y:=1; s,k:= 1; while k<n do y := op1(y,2); s := op2(s,y); k := op3(k,1) od; Prawdziwość tej formuły zależy od tego w jakiej strukturze ją analizujemy 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Operacje operacja całkowita operacja częściowa Definicja Operacją n-argumentową w A nazywamy dowolną funkcję o przekształcającą An w A. operacja całkowita operacja częściowa Jeżeli dla wszystkich a1,...an  A , f(a1,...an ) A to o jest operacją całkowitą. Jeśli nie, to jest to operacja częściowa. A= Ai Ai zbiór elementów typu itego. Przykłady operacji : dzielenie w R, dzielenie w N, lg w R. F(s)=s’ wttw s’ jest starostą grupy, do której należy student s. Oczywiście zbiór A nie musi być jednorodny (wszystkie elementy tego samego typu). 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK System algebraiczny Definicja Systemem algebraicznym nazywamy układ < A, o1, o2, ... on, r1, r2,... rm> Uniwersum Relacje w A Operacje w A (t1, t2, ... tn, t’1, t’2, ..., t’m ) typy operacji i relacji Sygnatura O zbiorze A’ mówimy, że jest zamknięty ze względu na operacje w A, jeśli dla dowolnych argumentów wziętych z A’ wynik każdej z operacji o1, o2, ... on należy do A’. Algebra podalgebra podsystem 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

podalgebry < N, * > Przykłady algebr N P 1. < N, * > (a) < P, * > (b) < {2i : i N}, * > (c) < {3i : i N}, * > podalgebry < N, * > 2. < Z, +,*> algebra i < N, +,*> jej podalgebra Ale < NP, +,*> nie jest podalgebrą algebry < Z, +,*> 3. <{0,1},, ,  ,1,0> dwuelementowa algebra Boole’a Lemat Przecięcie dowolnego zbioru podalgebr danej algebry, o ile jest niepuste, to jest też podalgebrą . 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Przykłady < Stosy  Elementy, push, pop, top, empty > push : Stosy  Elementy  Stosy pop : Stosy  Stosy top : Stosy  Elementy empty  Stosy stos Struktura stosów < Kolejki  Elementy, in, out, first, empty > in : Kolejki  Elementy  Kolejki out : Kolejki  Kolejki first : Kolejki  Elementy empty  Kolejki kolejka Struktura kolejek 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Generatory Zbiór generatorów = zbiór elementów tworzących. Definicja Niepusty podzbiór A0 zbioru A jest zbiorem generatorów algebry <A, o1, o2, ..., on > wttw gdy najmniejszą podalgebrą zawierającą A0 jest sama algebra <A, o1, o2, ..., on > . Zbiór generatorów = zbiór elementów tworzących. Bo, każdą liczbę naturalną można otrzymać z 0 i 1 za pomocą operacji + i * Przykład < N,+,*> zbiór generatorów {0,1} < Z, +, * > zbiór generatorów {-1} STOSY zbiór generatorów {empty  Elementy} 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Homomorfizm Niech będą dwa systemy algebraiczne A i B o takiej samej sygnaturze: A =<A, o1, o2, ...,on, r1, r2,... rm >, B=<B, o’1, o’2,..., o’n, r’1, r’2,...,r’m >, gdzie oi i o’i oraz rj i r’j są odpowiadającymi sobie operacjami i relacjami. O takich systemach mówimy, że są podobne Definicja Homomorfizmem systemu A w system podobny B nazywamy przekształcenie h: A  B takie, że h( o(a1,...an))= o’(h(a1),...,h(an)) r(b1,...,bm) wttw r’(h(b1),...,h(bn)) dla dowolnej operacji n-arg o (relacji m-arg. r) w A i odpowiadającej jej operacji o’ (relacji r’)w B oraz dla dowolnych a1,...,an b1,....,bm z A. Własność zachowywania operacji i relacji Przykład System < R, min, max> jest podobny do < N, +, *> 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Zachowywanie operacji przez homomorhizm B A a1 b1 h a2 b2 an bn a b o(a1,a2,...,an)= a o’(b1,b2,...,bn)= b h(a) = b 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Przykład Funkcja h(X) =1, gdy 1X i h(X)=0, gdy 1X , X N jest homomorfizmem algebry < 2N,  , - > w algebrę < {0,1},   ,  >. Dlaczego? Rozważmy dwa systemy <Stosy  E, push, pop, top, empty> i <N  E, pu,pp,t,0> push((c1,c2...,cn), c)= (c1,c2...,cn,c) pu(n,c)= (n+1)*10+ c pop(c1,c2...,cn) = (c1,c2...,cn-1) o ile n>1 pp(n) = n div 10 - 1 top(c1,c2...,cn) = cn t(n) = n mod 10 Funkcja h określona następująco ustala homomorfizm między tymi systemami: h(empty)= 0 h(c) = c h(c1,c2...,cn) = pu(pu(....pu(pu(0,c1),c2),...),cn ) 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Izomorfizm Jeżeli h jest homomorfizmem odwzorowującym system A w system podobny B oraz h jest bijekcją, to h nazywamy izomorfizmem. Przykład 1 2 3 4 5 b c d a e 1  b 2  c 3  d 4  a 5  e Te dwa grafy są izomorficzne 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Fakty • Złożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem. • Złożenie dwóch izomorfizmów jest izomorfizmem. • Jeśli h jest homomorfizmem przkształcającym algebrę A w algebrę B to obraz h(A) jest podalgebrą B . Jeśli h jest izomorfizmem, to card(A)=card(B). • Przy homomorfizmie zbiór generatorów przechodzi na zbiór generatorów. 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Twierdzenie o izomorfizmie Jeżeli h jest izomorfizmem odwzorowującym system algebraiczny A na system algebraiczny B o sygnaturze S, to dla dowolnej formuły rachunku predykatów a, w której występują tylko operacje i relacje odpowiadające operacjom z rozważanej sygnatury A|= a wtedy i tylko wtedy gdy B |= a Systemy izomorficzne mają takie same własności 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Kongruencja Niech będzie system algebraiczny A = <A, o1, o2, ...,on, r1, r2,... rm > Definicja Relację równoważności ~ w A nazywamy kongruencją wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych o, r i a1 , a2 , ...,an , jeżeli a1 ~ a’1, a2 ~a’2 , ...,an ~a’n to • o(a1,a2 ...,an ) ~ o(a’1,a’2 ,...,a’n ) • r(a1,a2 ,...,an ) wttw r(a’1,a’2 ,...,a’n ) Przykład Relacja ~ określona w systemie algebraicznym <N,+> jako n ~n’ wttw n mod p = n’ mod p jest kongruencją, bo gdy a ~a’ oraz b~b’ , to a=k*p+c i a’=k’ * p+c oraz b= l * p+d i b’= l’ * p+d. Stąd (a+b)mod p = (a’+b’) mod p . 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK System ilorazowy Definicja Niech będzie system algebraiczny A = <A, o1, o2, ...,on, r1, r2,... rm > i niech będzie ~ kongruencją w A. Wtedy system A/~ = <A/~, o*1, o*2, ...,o*n, r*1, r*2,..., r *m > z operacjami i relacjami o*([ a1], ...,[an]) =df [ o(a1,,...,am)] r*([ a1], ...,[an]) wttw r(a1,,...,am) nazywamy systemem ilorazowym. Lemat System ilorazowy A/~ jest podobny do A oraz odwzorowanie h(a)= df [a] ustala homomorfizm A i A/~ . 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK

Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK Przykład Rozważmy algebrę podzbiorów zbioru N, < 2N,  , - > i kongruencję X ~ Y wttw 1  X Y lub 1  N\( XY) Zbiór klas abstrakcji relacji ~ ma dwie klasy abstrakcji [N] i [ ] . Operacje na tych klasach są określone następująco [N] * [ ] = [N] * [N ] = [] * [N ] = [N] [] * [ ] = [ ] [N] * [ ] = [] * [N ] =[] * [ ] = [ ] [N] * [N ] =[N] -*[N] = [] -*[] =[N] Łatwo zauważyć, że jest to algebra izomorficzna z algebrą Boole’a < {0,1},   ,  >. 5 grudnia 2001 Matematyka Dyskretna, Struktury algebraiczne G.Mirkowska, PJWSTK