Wykład 11 Analiza wariancji (ANOVA) Sposób analizy danych gdy mamy więcej niż dwa zabiegi lub populacje. Omówimy ANOV-ę w najprostszej postaci. Te same podstawowe założenia/ograniczenia co przy teście Studenta W każdej populacji badana cecha ma rozkład normalny Obserwacje są niezależne i losowe Będziemy testowali hipotezy o średnich w populacjach i Założenie – standardowe odchylenia badanej cechy w każdej populacji są sobie równe (podobne) więc możemy użyć uśrednionego SE

Uwaga: ANOVA może być stosowana także gdy próby nie są niezależne Np. W układzie zrandomizowanym blokowym (zasada podobna do testu Studenta dla powiązanych par) Nie będziemy tego omawiać. Omówimy tylko układy zupełne zrandomizowane. Cel: Testujemy hipotezy postaci: H0: 1 = 2 = 3 = … = k HA: nie wszystkie średnie są równe

Dlaczego nie stosujemy wielu testów Studenta? Wielokrotne porównania P-stwo błędu pierwszego rodzaju (p - stwo odrzucenia prawdziwej hipotezy) jest trudne do kontrolowania)

Korekta Bonferoniego Prosta ale na ogół konserwatywna (p-stwo błędu pierwszego rodzaju mniejsze niż założone – strata mocy).

Estymacja błędu standardowego ANOVA wykorzystuje informację zawartą we wszystkich obserwacjach: zwykle daje większą precyzję

Notacja: k = 3 zabiegi (próby, grupy) 1 48 40 39 2 30 3 42 44 32 4 43 35 średnia 34 SS 46

SS df MS Between Within Total Trzy rodzaje rachunków: Wewnątrz grup, pomiędzy grupami, całkowite. Liczymy trzy wartości: SS, df, MS SS df MS Between Within Total

Notacja: k = # grup (prób, zabiegów) k = n1, n2, n3, …, nk = rozmiary grup (# obserwacji) n1 = , n2 = , n3 = y1 , y2, … yk = średnie w grupach y1= ,y2 = , y3= = całkowita średnia n* = całkowita liczba obserwacji n* =

Dwa podstawowe typy rachunków: (gdzie konieczne, będziemy używali i do indeksowania grup a j do indeksowania obserwacji w każdej grupie : yij ) Wewnątrz każdej grupy oznacza sumę ``wewnątrz grupy’’

Uwzględniające wszystkie grupy oznacza sumę we wszystkich grupach np. n* = i

UWAGA: Gdy rozmiary prób nie są równe nie jest średnią z k średnich!!! Ale można ją obliczyć jako = (n1y1 + n2y2 + …+n3y3) / n*

Wewnątrz grup (wypełniamy drugi rząd w tabeli) Suma kwadratów wewnątrz grup (SSW) Liczymy SS wewnątrz każdej grupy (itd. - SS2, SS3 , …) SS1 = SS2 = … = 32, SS3 = … = 46

SSW = SS1+SS2+…+SSk= SSW = Stopnie swobody wewnątrz grup: dfw = n* - k dfw = Średnia suma kwadratów wewnątrz grup MSW = SSW / dfw MSW = To samo co uśredniona wariancja Dla przypomnienia dla dwóch prób

Uśrednione standardowe odchylenie sc = Pomiędzy grupami (wypełniamy pierwszy rząd tabeli) Porównujemy średnie grupowe do średniej całkowitej Ważone przez rozmiar grupy Suma kwadratów pomiędzy grupami (SSB) SSB =

Stopnie swobody pomiędzy grupami (dfb) dfb = k – 1 dfb = Średnia suma kwadratów pomiędzy grupami (MSB) MSB = SSB/dfb MSB = Całkowite Całkowita suma kwadratów (SST) SST= SST=82+12+22+…+82+52=348

Uwaga: SST = SSW+SSB 348 = 120 + 228 Zwykle nie trzeba liczyć SST z definicji Całkowita liczba stopni swobody (dft) dft = n* – 1 dft = Uwaga: dft = dfb+dfw 10 = 2 + 8

Tablica ANOV-y SS df MS Between Within Total

Ta tabela będzie dostępna na kolokwium i egzaminie: SS df MS Pomiędzy SSB= dfb = k – 1 SSB/dfb Wewnątrz SSW= dfw = n* – k SSW/dfw Całkowite SST= dft = n* – 1

Test F Dane dla k  2 populacji lub zabiegów są niezależne Dane w każdej populacji mają rozkład normalny ze średnią i dla populacji i, i tym samym odchyleniem standardowym 

Testujemy H0: 1 = 2 = 3 = … = k (wszystkie średnie są sobie równe) vs. HA: nie wszystkie średnie są sobie równe (HA jest niekierunkowa ale obszar odrzuceń będzie jednostronny) Kroki: Obliczenie tabeli ANOV-y Testowanie

Jak opisać F test Zdefinować wszystkie  H0 podać za pomocą wzoru i słownie HA tylko słownie Statystyka testowa Fs = MSB/MSW przy H0, Fs ma rozkład Snedecora z dfb, dfw stopniami swobody Na kolejnych slajdach podane są wartości krytyczne z książki D.S. Moore i G. P. McCabe ``Introduction to the Practice of Statistics’’ "numerator df" = dfb i "denominator df" = dfw.

Odrzucamy H0 gdy zaobserwowane Fs > Fkrytyczne Przykładowy wniosek - Na poziomie istotności α (nie) mamy przesłanki aby twierdzić, że grupy różnią się poziomem badanej cechy.

Przykład: Losową próbę 15 zdrowych mężczyzn podzielono losowo na 3 grupy składające się z 5 mężczyzn. Przez tydzień otrzymywali oni lekarstwo Paxil w dawkach 0, 20 i 40 mg dziennie. Po tym czasie zmierzono im poziom serotoniny. Czy Paxil wpływa na poziom serotoniny u zdrowych, młodych mężczyzn ? Niech 1 będzie średnim poziomem serotoniny u mężczyzn przyjmujących 0 mg Paxilu. Niech 2 będzie średnim poziomem serotoniny u mężczyzn przyjmujących 20 mg Paxilu. Niech 3 będzie średnim poziomem serotoniny u mężczyzn przyjmujących 40 mg Paxilu.

H0: 1 = 2 = 3 ; średni poziom serotoniny nie zależy od dawki Paxilu HA: średni poziom serotoniny nie jest ten sam we wszystkich grupach (albo średni poziom serotoniny zależy od dawki Paxilu). Zastosujemy F-Test

Fs = MSB / MSW przy H0 ma rozkład Testujemy na poziomie istotności  = 0.05. Wartość krytyczna F.05 = . Obserwujemy Fs = Wniosek:

Na jakiej zasadzie to działa ? Dla przypomnienia: Test Studenta patrzy na różnicę między średnimi (y1-y2) Dzieli ją przez miarę rozrzutu tej różnicy (SEy1-y2 ) Jeżeli (y1-y2) jest duże w porównaniu do błędu standardowego to statystyka testu Studenta jest duża i odrzucamy H0.

Dla testu F, Liczymy ``uśredniony kwadrat różnicy między średnimi’’ (MSB) Dzielimy go przez oszacowanie zróżnicowania w próbie (MSW) Jeżeli MSB jest duże w porównaniu do MSW wówczas statystyka testu F jest duża i odrzucamy H0. Test F jest analogiczny do testu Studenta ale umożliwia jednoczesne porównanie kilku średnich.

Test F można stosować również gdy mamy tylko dwie próby Statystyka testu F dla dwóch prób jest równa kwadratowi statystyki testu Studenta Decyzje i p-wartości są dokładnie takie same dla obu testów.