ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIORY Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych Zbiór liczb niewymiernych Zagadki Od autora

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH Liczby rzeczywiste to jeden z najważniejszych zbiorów w całej matematyce. Intuicyjnie ich definicja jest dość prosta - liczbę rzeczywistą utożsamiamy z odległością na prostej. Zbiór liczb rzeczywistych (R) to zbiór będący sumą zbiorów liczb wymiernych (W) i niewymiernych (NW). N ⊂ C ⊂ W ⊂ R ⊃ NW Oznaczenia: R - liczby rzeczywiste NW – liczby niewymierne W – liczby wymierne C – liczby całkowite N – liczby naturalne W Liczby wymierne Liczby wymierne można ustawić w ciąg nieskończony. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C, do którego należą wszystkie liczby dające się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. R C NW N

ZBIÓR LICZB NATURALNYCH 1, 2, 3, 4, 5, 6... I tak w nieskończoność. Te liczby nazwano naturalnymi, bo pełno ich wokół - dwie dziurki w nosie, cztery strony świata, pięć palców, 12 uderzeń zegara o północy... Czy zero jest liczbą naturalną? To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną (cóż może być bardziej naturalnego od niczego!), a czasem zaczynają od 1. My przyjmujemy, że zero należy do zbioru liczb naturalnych. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy wielką literą N, a jego elementy małą literą n. n∊ N n = 0,1,2,3… N = {0,1,2,3,4…} Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb całkowitych. N ⊂ C Cechy podzielności liczb przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10 liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 2, jak jej cyfra jedności. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 3, jak suma jej cyfr. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 4, jak liczba a1×10+a0. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 5, jak jej cyfra jedności. aby obliczyć resztę z dzielania x przez 7, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 7. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 8, jak liczba a2×100+a1×10+a0. . liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, jak suma jej cyfr. liczba naturalna x daje taką samą resztę z dzielenia przez 10, jak jej cyfra jedności. 11, jak różnica sumy jej cyfr z rzędów parzystych i sumy jej cyfr z rzędów nieparzystych aby obliczyć resztę z dzielrnia x przez 13, trzeba - zaczynając od rzędu jedności - mnożyć jej cyfry przez wyrazy ciągu okresowego 1,-3,-4,-1,3,4,1,-3,-2,-1,3,4,1,..., dodać do siebie obliczone iloczyny i obliczyć resztę z dzielenia tak otrzymanej liczby przez 13 C N

ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej, która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej, np. 3-5. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była mniej więcej postawa uczonych w starożytnej Grecji. Jeszcze wielki Pascal uważał, że "liczba mniejsza od 0" nie może istnieć. Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych. Liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi tworzą zbiór liczb całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności: ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... Liczby całkowite są podzbiorem liczb wymiernych. C ⊂ W W C N

ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH Już dziecko wie, że liczby całkowite to jeszcze nie wszystko. Pierwsze spotkanie z ułamkami następuje najczęściej w czasie urodzin, kiedy okazuje się, że trzeba się podzielić torcikiem... Liczby, które można zapisać w postaci ułamka zwykłego (przy czym zarówno w liczniku, jak w mianowniku są liczby całkowite, bez zera!), nazywa się liczbami wymiernymi. W ich skład wchodzą również wszystkie liczby całkowite (bo każdą liczbę całkowitą można zapisać w takiej postaci, np. 4 to 4/1, 8/2 itd.). Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe, np. 0,4 ; 12,(3). Liczby wymierne są podzbiorem liczb rzeczywistych R i nadzbiorem liczb całkowitych C. N ⊂ C ⊂ W ⊂ R W C R N

ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Liczb niewymiernych nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego: p/q, gdzie p ∊ C, q ∊ N \ {0} Przykłady liczb niewymiernych: π = 3,141592… ,√2,√3/5. Liczby niewymierne NW są podzbiorem liczb rzeczywistych R. NW ⊂ R NW R

ZAGADKI Czy liczba 14,097 jest liczbą całkowitą? Czy zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem liczb wymiernych? Czy liczba -4 jest liczbą naturalną? Czy zbiór liczb niewymiernych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych? Czy liczba 0,023(25) jest liczbą wymierną?

OD AUTORA Prezentacja przeznaczona jest do wykorzystania na zajęciach matematyki. Zastrzegam sobie prawo do zmian. Jeśli masz jakieś uwagi, to napisz do mnie: a_tusinski@op.pl Aktualizacja - 20.10.2007r.