Stabilne rozkłady Lévy'ego (Lévy Flights) Marek W. Gutowski Instytut Fizyki PAN, Warszawa Instytut Fizyki Politechniki Warszawskiej, 26 listopada 2007 r.
Plan: Będzie o matematyce, fizyce, biologii i kilku innych naukach, które starają się opisać otaczającą nas rzeczywistość. Będę mówił o materii ożywionej i nieożywionej, a także (niewiele) o rzeczywistości tworzonej przez człowieka. Spoiwem będzie narzędzie matematyczne stworzone przez Paula Lévy'ego, wymienione w tytule.
Benoit Mandelbrot, ur. 1924 Being a language, mathematics may be used not only to inform but also, among other things, to seduce. Fractals : Form, chance and dimension (San Francisco, 1977)
http://www-history. mcs. st-andrews. ac http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Levy_Paul.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Levy_Paul.html Paul Lévy, 1886 - 1971 Wykład: Notions of calculus of probabilities and the role of Gaussian law in the theory of errors (1919), Książki: Calcul des probabilités (1925), Processus stochastiques et mouvement brownien (1948)
Botanik Robert Brown opisał w r. 1827 dziwne zachowanie pyłków roślin umieszczonych w wodzie, Phil. Mag. 4, 161-173, 1828 Opis matematyczno-fizyczny zjawiska podał znacznie później Albert Einstein, Ann. Phys. 17, 549, 1905 Rejestracja położenia co 30s Rozmiar cząstek 0.53 mikrometra Oczko siatki 3.2 mikrometra J. B. Perrin, "Mouvement brownien et réalité moléculaire," Ann. de Chimie et de Physique (VIII) 18, 5-114 (1909)
Ważna dygresja Rozkład sumy dwóch zmiennych losowych jest splotem ich rozkładów, nie ich sumą!
beta = 1.99
beta = 1.99
beta = 1.99
beta = 1.99
O ile trasy lotów albatrosów możemy nazywać przelotami Lévy'ego, W praktyce próbujemy wyznaczać z danych eksperymentalnych właśnie indeks rozkładu, używając do tego celu danych z jego grubego albo ciężkiego ogona, przybliżając go asymptotycznym prawem potęgowym. O ile trasy lotów albatrosów możemy nazywać przelotami Lévy'ego, (Lévy flights, beta < 1), to wędrówki małp są częściej spacerami (Lévy walks, beta > 1).
G. Ramos-Fernandez et all, Levy walk patterns in the foraging movements of spider mokeys (Ateles geoffroyi), physics/0301019 rejestracja co 5 minut miejsce: Yukatan, Meksyk beta(grupa) = 1.12 beta(solo) = 0.50
Huragan Andrew, 1992
Komputerowe generatory rozkładów stabilnych Imitacja !!
Komputerowe generatory rozkładów stabilnych
Dygresja: liczba Gamma ! funkcja Gamma !
Anna Piekart Obserwacja zachowania pewnego algorytmu ewolucyjnego Szkoła Nauk Ścisłych, praca licencjacka, 2004
Komputerowe generatory rozkładów stabilnych
Komputerowe generatory rozkładów stabilnych
Komputerowe generatory rozkładów stabilnych Chambers et al., 1976
Błądzenie przypadkowe, o długości kroku sterowanej przez omawiane stabilne rozkłady prawdopodobieństwa, nadaje się do natychmiastowego zastosowania do losowych metod optymalizacyjnych. Z ostatniej chwili ... Jak pokazał Ilya Pavlyukevich (cond-mat/0701653 oraz cond-mat/0701651) możliwe jest znaczące przyspieszenie metody symulowanego wygrzewania. Gwarancję sukcesu mamy, gdy obniżanie „temperatury” odbywa się według zależności potęgowej od czasu, przy czym wykładnik potęgi powinien być równy odwrotności indeksu beta. W metodzie simulated annealing (SA) mamy: T ~ 1/ln t. Jeszcze większe możliwości – w postaci znajdowania nie tylko globalnego minimum, ale także wybranych minimów lokalnych - uzyskuje się poprzez manipulacje indeksem rozkładu w trakcie obliczeń.
George Marsaglia - Professor Emeritus of Pure and Applied Mathematics and Computer Science at Washington State University and Professor Emeritus of Statistics at Florida State University, Boeing Scientific Research Laboratories, Seattle, Washington Diehard tests The diehard tests are a battery of statistical tests for measuring the quality of a set of random numbers. They were developed by George Marsaglia over several years and first published in 1995 on a CD-ROM of random numbers. Rozprawa doktorska: Ohio State University, 1951 Uniform Random Number Generators, with M. Donald MacLaren, 1965 One-line random number generators and their use in combinations, with T. A. Bray, 1968 Note on proposed test for random number generators, 1985 Normal (Gaussian) random variable for supercomputers, 1991 Some portable very-long-period random number generators, with Arif Zaman, 1994 The Monty Python method for generating random variables, with Wai Wan Tsang, 1998 A simple method for generating gamma variables, with Wai Wan Tsang, 2000 Technical opinion: Seeds for random number generators, 2003
Dziękuję za uwagę
Physics is like sex: sure, it may give some practical results, but it's not why we do it. - Richard Feynmann