DANE INFORMACYJNE : Nazwa szkoły: Gimnazjum nr. 2 im. Władysława Sikorskiego w Złocieńcu ID grupy: 98/58_mf_g1 Opiekun: Agnieszka Włodarczyk Kompetencja: Matematyczno- Fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne są ok. Semestr/rok szkolny: II / 2010-2011

Liczby wymierne To liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego.

Spis Treści : I – Zaokrąglenia (Natalia Rozpłoch) II – Rachunki z ułamkami (Daria Bońkowska, Gosia Sobieszczyk) III – System rzymski (Tobiasz Kurzajczyk, Szymon Zdrojewski) IV – Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne (Daniel Wójcik, Grzegorz Gessel) V – Szacowanie wartości (Monika Krysiak, Patrycja Radzimska) VI – Obliczenia w praktyce (Paulina Leżak, Angelika Maciejewska) VII– Oś liczbowa i jej „mieszkańcy” (Hubert Nowakowski, Alicja Udycz)

I. ZAOKRĄGLENIA ≈

Co to jest ? Głównie liczby niewymierne, ale także inne często zaokrąglamy, to znaczy odrzucamy część cyfr końcowych (lub zastępujemy zerami). Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 0,1,2,3,4, to ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeżeli odrzucaną cyfrą (zastępowaną zerem) jest 5,6,7,8,9, to ostatnia zachowana cyfra jest zwiększana o 1. ≈ Przy zaokrąglaniu znak równości zmienia się na znak zaokrąglenia

Zastosowanie w praktyce   Zaokrągleń używamy w życiu codziennym. Dla przykładu jeżeli cena towaru wynosi 12 zł 02 gr, często powiemy, że coś kosztuje po prostu 12 złotych, uznając 2 grosze za mało istotne. Zaokrąglenia stosujemy w księgowości, kiedy musimy prawidłowo wyrazić kwotę w pełnych złotych, lub złotych i groszach, a kalkulator wynik działania podaje z dokładnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. W tych i wielu innych przypadkach stosujemy ściśle określone metody zaokrąglania liczb.

Można przybliżać do … Dziesiątek: 12345 ≈ 12350 Setek: 12345 ≈ 12300 Tysięcy: 12345 ≈12300 Jedności: 12345,6 ≈12346

Przykłady 482,45 ≈ 482,5 ≈ 483 ≈ 480 ≈ 500 12,8992 ≈ 12,899 ≈ 12,9 ≈ 13 ≈ 10 (pogrubioną czcionką jest przypadek, gdy ostatnią zachowaną cyfrą jest 9. Wówczas zachowana cyfra staje się zerem, a zwiększamy o jeden przedostatnią pozostałą cyfrę) 19,99 ≈ 20 178,9899 ≈ 178,99 ≈ 179 ≈ 180 ≈ 200 9.999 ≈ 10

ZAOKRĄGLENIA – ZADANIA A może trochę zaokrąglimy ?

Zadanie 1 . Zaokrąglij do : a) km 35km 35m ≈ 35km 870m ≈ 1km b) m 7dm ≈ 1m 21m50cm ≈ 22m

Zadanie 2. Ola kupiła 19 długopisów za 3,9 zł. Czy starczy jej 80 zł Zadanie 2. Ola kupiła 19 długopisów za 3,9 zł. Czy starczy jej 80 zł ? 3,9 ≈ 4 19 ≈ 20 4 * 20 = 80 Odp.: Zaokrągliliśmy w górę, więc oznacza to, że mimo równego wyniku zostanie jej reszta.

Zadanie 3.  Uzupełnij wpisując  zaokrąglenia  do dziesiątek : 273 ≈ 270 962 ≈ 960 Uzupełnij wpisując zaokrąglenia do setek : 1407 ≈ 1400 23907 ≈ 23900 Uzupełnij wpisując zaokrąglenia do części : 971,948 ≈ 971,9 854,637 ≈ 854,6

II. RACHUNKI Z UŁAMKAMI

W sklepie było 110 kilogramów jabłek W sklepie było 110 kilogramów jabłek. Pierwszego dnia sprzedano a drugiego o mniej. Ile kilogramów jabłek zostało? Rozwiązanie: kg - kg = kg kg - kg = 69 kg Odpowiedź: Zostało 69 kg jabłek.

Turysta przebył 480 km. Pierwszy etap, stanowiący całej drogi, przebył pociągiem, potem całej drogi przebył statkiem, a resztę pieszo. Ile kilometrów przebył pieszo ? Rozwiązanie: Pociąg : * 480 = 280 kg Statek : * 480 = 192 kg Pieszo:480 – 280 – 192 = 8 km Odpowiedź: Przebył 8 km pieszo.

III. SYSTEM RZYMSKI

System Rzymski Co to jest ? Jak się go używa ? Do czego można go użyć ? Przykłady i Zadania.

1. Co to jest System Rzymski ? System liczb polegający na dodawaniu do siebie poszczególnych znaków w szczególny sposób tak, aby powstała dana liczba. Używa siedmiu znaków: Pochodzi od cyfr które zostały przerobione w Rzymie, a wymyślone przez starożytnych Etrusków. Rzymianie zwykli dodawać znaki, a ich odejmowanie stało się powszechne dopiero w średniowieczu. Ciekawostki :

2. Odczyt Znaków Rzymskich Najważniejsze jest sprawdzanie wartości poszczególnych znaków. Większa liczba musi być zawsze przed mniejszą, na przykład: VI = 5+1 = 6 XX = 10+10 = 20 LXXVII = 50+10+10+5+1+1 = 77 MDCCLVII = 1000+500+100+100+50+5+1+1 = 1757 Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

Większa liczba jest po mniejszej Większa liczba jest po mniejszej. W tym momencie odejmuje się większą liczbę od poprzednej liczb, na przykład: XIV = 10+5-1 = 14 XIIIV = 10+5-3 = 12 MXXLI = 1020–50+1 = 991 MMLD = 2050–500 = 1550 Legenda : Czerwony – większy znak Zielony – Mniejszy znak Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

Dla liczb większych od 1000 (M) znaki nie istnieją, jednak Rzymianie zwykli dodawać nad lub obok znaków kreski : |XXX| = 30 razy 100 = 3000 = 1022 razy 1000 = 1022000 = Ściąga Kliknij aby zobaczyć I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000

I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000 Ściąga Kliknij aby zobaczyć * Ułamki Ułamki tworzy się w inny sposób, bowiem istnieją tylko dwa znaki: Ł = 0,1 S = 0,5 Przykład: SŁŁ = 0,7 (dodawanie) ŁŁS = 0,3 (odejmowanie) Legenda : Czerwony – większy znak Zielony – Mniejszy znak Ciekawostka : Znak Ł nie czytało się jako polskie „Ł” tylko jako przekreślone L

**Głębsze ułamki Przykłady: Głębsze ułamki tworzy się tak: SŁŁ|ŁŁ = 0,7 razy 0,2= 0,14 W tym przypadku po kresce, Ł oznacza razy 0,1 Ściąga i przykłady Kliknij aby zobaczyć S – 0,5 Ł – 0,1 Przykłady: SŁŁŁ|SŁŁŁ = 0,8 * 0,8 = 0,64 SSSSŁŁ|SŁŁŁ = 0,22 * 0,8 = 0,176 ŁŁŁSSSS|ŁŁ = 0,17 * 0,2 = 0,034

Do czego używa się Systemu Rzymskiego ? System Rzymski używany jest najczęściej: Jako liczby porządkowe (pierwszy, drugi, trzeci itd.). Do oznaczania miesięcy w roku. Do oznaczania rozdziałów w książkach, tomów dzieł, roku wydania książki. Do oznaczenia roku (np. MMX = 2010), wieków (XX w.) Do zapisu numerów liceów (ale nie podstawówek i gimnazjów) W imionach władców i papieży (Benedykt XVI). W nazwach wydarzeń historycznych (II Wojna Światowa). W numeracji klas, pięter w budynku, rok powstania budowli oraz wydziałów w instytucjach. W numerach lat studiów oraz różnych grup klasyfikacyjnych. Liczenie w tym systemie wypadło z użytku dlatego, że jest niepraktyczne i nie da się dzięki niemu szybko określać wyników.

Zad. 1. Zamień znaki rzymskie na liczby : XII - …………………….. DVIII - …………………. MCCDLIII - …………… 12 508 753 Zad. 2. Zamień liczby na znaki rzymskie : 3000 - …………….. lub ….………… 207 - ………………………………….. 5678 - …………………………………. 18600 - …………………………………. MMM |XXX| CCVII MMMMMDCLXXVIII |CLXXXVI| Zad. 3 – dodatkowe Odkryj hasło zamieniając liczbę MCMXCV na znak rzymski : Windows ……… I – 1 II – 2 III – 3 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M – 1000 1995 Klikaj aby zobaczyć odpowiedzi

IV. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. 0,65

Budowa ułamka zwykłego. Licznik ułamka wskazuje ile wzięto jednakowych części. Mianownik ułamka wskazuje na ile równych części podzielono całość. 3 4 licznik kreska ułamkowa mianownik

Budowa ułamka dziesiętnego. Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne. 0,534 całości Części dziesiętne Części tysięczne Części setne

Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, więc możemy zapisać ułamek zwykły jako dzielenie 3:4= = 0,75

Jak sama nazwa wskazuje, trzy dziesiąte to 3 równe części z 10 Jak sama nazwa wskazuje, trzy dziesiąte to 3 równe części z 10. Mówi się też tak na ułamek dziesiętny ale inaczej się go zapisuje. 0,3

Przykłady zamian

V. SZACOWANIE WARTOŚCI Szacowanie to przybliżone określanie wartości jakiejś wielkości przy posiadaniu niepełnych danych. Zaokrąglanie liczb to przydatna umiejętność, gdy chcemy oszacować w pamięci wynik działania. Oto przykłady jak można szacować wyniki mnożenia.

Przykład 1 Czy wystarczy 15 zł, aby kupić 3 długopisy Rozwiązanie : po 4,99 zł za sztukę? Rozwiązanie : 4,99 = 5  Cenę zaokrągliliśmy w górę, do jedności, więc 3×4,99= 15. Odp.: Czyli 15 zł wystarczy na zakup 3 długopisów.

Przykład 2 A co by było, gdyby długopis kosztował 5,10 zł ? Rozwiązanie : 5,10 = 5  Cenę zaokrągliliśmy w dół, więc 3×5,10 > 3×5= 15. Odp.: Tym razem 15 zł to za mało by zakupić 3 długopisy.

Zadanie 1 Pan Błoński przez rok zarobił 35 487 zł, a pan Wroński przez siedem miesięcy 21 275 zł. Oszacuj, który z nich miał wyższy średni miesięczny zarobek.

Rozwiązanie Pan Błoński przez rok zarobił 35 487 zł, dzielę przez 12, aby dowiedzieć się ile zarabiał na miesiąc : 35487:12=2957,25 zł Pan Wroński przez siedem miesięcy zarobił 21 275 zł. Więc dzielę przez 7 aby dowiedzieć się ile zarabia miesięcznie: 21 275:7=3039 ; 2193:7zł≈3039,29 zł Odp. Pan Wroński ma wyższy miesięczny zarobek.

Zadanie 2 W nowym opakowaniu było 3,6 kg proszku do prania. W miarce mieści się 148g proszku. Zakładając, że na jedno pranie zużywa się jedną miarkę, a pranie wykonuje się co 3 dni, oszacuj, czy proszku wystarczy na dwa miesiące ?

Rozwiązanie 2 miesiące  30+30=60 dni 60:3= 20 prań 3,6 kg  3600g proszku w opakowaniu Miarka  148g 3600g : 148g  w przybliżeniu 24 miarki 24 miarki 24 prania Odp. Proszku wystarczy na 2 miesiące.

SZACOWANIE Cena: 4zł 60 gr  prawie 5zł Cena: 2zł 55gr  prawie 3zł

VI. OBLICZENIA W PRAKTYCE

Procenty

Do czego służą procenty? W życiu codziennym za pomocą procentów wyraża się różne wielkości. Z tym wyrażeniem matematycznym spotykamy się na co dzień w sklepach, bankach, sondażach, na etykietach produktów…

Co to jest procent? Procent jest to setna część całości, czyli ułamek o mianowniku 100 ( ). Ciekawostki : Nazwa procent pochodzi od łacińskich słów „pro centum’’, co dosłownie oznacza „na sto’’. Pochodzenie symbolu procentu nie jest do dziś jasna. Spotkać się można z wyjaśnieniem, że włoscy bankierzy wyraz „cento” skracali do „cto”, co przy szybkim pisaniu upodobniło się do „o/o”, a w następstwie do „%”.

Zamiana liczby na % Gdy chcemy zamienić liczbę na procent, musimy ją pomnożyć przez sto, a następnie dopisać do wyniku znak %. Przykłady : 0,2 = 0,2 100% = 20% = 1,75 100% = 175%

Zamiana procentu na liczbę… A oto kilka powszechnie używanych i znanych przeliczników : 100% - to całość, czyli 1 50% - to połowa, czyli 25%- to ćwierć, czyli 10%- to dziesiąta część całości, czyli 150%- to półtora, czyli 1

Krzyżówka edukacyjna - procenty     Poziomo : B     20 % liczby 500 C     liczba 50 zmniejszona o 10% D     liczba 60 zwiększona o 5% G     o 9 więcej od 90% z 1000 J      liczba, której 50% wynosi 32 K     3% z 900 L     50% z połowy liczby 1000 Pionowo : A     150% liczby 20 C     liczba 22 zwiększona o 100% E     liczba 50 zmniejszona 0 30% F      o 1 więcej od 1% z 10 000 H     liczba, której 25% wynosi 4 I       liczba 100 zmniejszona o 33% M     dziesięć plus 25% liczby 160    

Diagramy procentowe… Diagram - jest to graficzne przedstawienie danych. Może mieć on różne formy. Wyróżniamy diagramy kołowe, słupkowe i w formie tabeli. Każdy diagram powinien zawierać tytuł i legendę objaśniającą znaczenie poszczególnych części diagramu.

Jakiego artykułu zakupiono najwięcej, a jakiego najmniej? Zadanie. Do sklepiku szkolnego na początku września zakupiono podstawowe artykuły szkolne: zeszyty, notesy, gumki, ołówki. W ciągu miesiąca sprzedano wiele z nich. Jakiego artykułu zakupiono najwięcej, a jakiego najmniej? Odp. : Do sklepiku szkolnego zakupiono najwięcej zeszytów, a najmniej ołówków Jakiego artykułu sprzedano najwięcej, a jakiego najmniej ? Odp. : Sprzedano najwięcej zeszytów, a najmniej notesów.

Zadanie. Korzystając z diagramu oblicz ile osób otrzymało ocenę celującą i ocenę bardzo dobrą wiedząc, że w klasie jest 25 osób. OBLICZENIA : ocena celująca – 8 % 0,08 ∙ 25 = 2 ocena bardzo dobra – 12% 0,12 ∙ 15 = 3 Razem : 5 osób Odp.: Ocenę celującą i bardzo dobrą otrzymało 5 osób.

Równania

Ile to waży…? Kiedy mama wraca ze sklepu, woli nieść dwie lżejsze siatki niż jedną cięższą. Oszczędza wtedy kręgosłup, obciążając go równomiernie. Rozłożenie ciężaru na dwie ręce sprzyja zachowaniu równowagi. Szalki wagi znajdują się w równowadze, gdy na nich nic nie leży lub, gdy po jednej i po drugiej stronie są jednakowo ciężkie przedmioty.

Równanie… 3x + 6 = - 2x + 4 | + 2x |do obu stron równania dodajemy 2x 5x + 6 = 4 | - 6 |od obu stron równania odejmujemy 6 5x = -2 |:5 |obie strony równania dzielimy przez 5 x = - | rozwiązaniem równania jest liczba - Zagadkę zapisaną w takiej postaci ( 3x + 6 = - 2x + 4 ) nazywamy równaniem. Liczba ukrywająca się w równaniu pod literą nosi nazwę niewiadomej. Poszukiwanie tej liczby nazywamy rozwiązaniem równania.

Równanie jako zagadka… Odpowiedź.: Cała cegła waży 2 kilogramy.

Ciekawostka Równania rozwiązywano już 5000 lat temu w Egipcie i Babilonii. Zarówno równanie, jak i obliczenia prowadzące do jednego rozwiązania zapisywano wówczas – i przez wiele następnych stuleci – słowami. W III w. n.e grecki matematyk Diofantos zaczął jako pierwszy używać na oznaczenie szukanej liczby specjalnego skrótu. Dopiero w roku 1637 filozof i matematyk francuski René Descartes, zwany Kartezjuszem, zastosował litery: x, y, z do oznaczenia niewiadomej w równaniu.

Pole powierzchni Polem figury nazywamy jej powierzchnię, pokrycie. Powierzchnie danego obiektu mierzymy za pomocą jednostki pola. Najwygodniej za taką jednostkę jest przyjąć kwadrat, którego bok jest równy ustalonej jednostce długości (np. 1 metr, 1 centymetr, 1 kilometr). Taki kwadrat nazywamy jednostką kwadratową pola, ( np. metr kwadratowy, centymetr kwadratowy, kilometr kwadratowy ). Pomiar pola danej figury polega na porównaniu jej z jednostką kwadratową pola.

Schemat zamiany jednostek pola…

Milimetr kwadratowy… 1 mm2 = 0,0001 cm2 1 milimetr kwadratowy (1 mm2) jest polem kwadratu o boku 1 milimetra. 1 mm2 = 0,0001 cm2 0,01cm x 0,01cm

Centymetr kwadratowy… 1 centymetr kwadratowy (1 cm2) jest to pole kwadratu o boku 1 centymetra. 1 cm2 = 1cm 1 cm

Decymetr kwadratowy… 1 decymetr kwadratowy (1 dm2) jest polem kwadratu o boku 1 decymetra. 1 dm 1 dm2 = 100 cm2 1 dm 10 cm x 10 cm

Metr kwadratowy… 1 metr kwadratowy (1 m2) jest jednostką pola. Służy on do wyrażania pola powierzchni. Jest polem kwadratu o boku 1 metra.   1 m2 =10 000 cm2 100cm x 100cm

Kilometr kwadratowy… 1 kilometr kwadratowy (1 km2) jest to pole kwadratu o boku 1 kilometra. 1 km2 = 10 000 a = 100 ha 1 km2 = 1 000 000 m2 1000m x 1000m

Ar 1 a = 100 m2 Ar to pole kwadratu o boku 10 m 10m x 10m

Hektar to kwadrat o boku 100 m. 1 ha = 100 a 1 ha = 100m x 100m = 10 000m2

Podstawowe jednostki pola powierzchni W pigułce… Podstawowe jednostki pola powierzchni Milimetr kwadratowy (mm2) – pole kwadratu o boku długości 1 mm Centymetr kwadratowy (cm2) – pole kwadratu o boku długości 1 cm Decymetr kwadratowy (dm2) – pole kwadratu o boku długości 1 dm Metr kwadratowy (m2) – pole kwadratu o boku długości 1 m Kilometr kwadratowy (km2) – pole kwadratu o boku długości 1 km Ar (a) – pole kwadratu o boku długości 10 m Hektar (ha) – pole kwadratu o boku 100 m

Działania jakie należy wykonać zamieniając jednostkę pola powierzchni… Mnożąc liczbę przez 100, przesuwamy w niej przecinek o dwa miejsca w prawo. Dzieląc liczbę przez100, przesuwamy w niej przecinek o dwa miejsca w lewo.

Procent jaki przeznaczono pod szkółkę leśną: Zadanie 80% gruntu o powierzchni 2000ha stanowią pola uprawne, a resztę łąki. Na łąkach i części pól uprawnych założono szkółkę leśną o powierzchni 1280 ha. Jaki procent pól uprawnych przeznaczono pod szkółkę leśną? Procent jaki przeznaczono pod szkółkę leśną: 880 : 1600 x 100 % = 55% Odp. Pod szkółkę leśna przeznaczono 55%

[stopy amsterdamskie] Zadanie Wymiary żaglowca „Wodnik” podano w tabeli, stosując dawną jednostkę długości – stopę amsterdamską odpowiadającą 284 mm. Oblicz wymiary żaglowca w mm oraz jego modelu w skali 1:100 w mm i cm. Wyniki zapisz w odpowiednich miejscach tabeli z dokładnością do 1 mm. Skala i jed- nostka Wymiar żaglowca (modelu) 1:1 [stopy amsterdamskie] [minimetry] 1:100 [milimetry] [centymetry] długość 86 Obliczenie: 86 x 184 = = 24 424[mm] 24 424 : 100 = 244 [mm] 244 : 10 = 24,4 [cm] szerokość 24 24 x 284 = = 6 816 [mm] 6 816 : 24 = = 68 [mm] 68 : 10 = = 6,8 [cm]

Skala mapy Skala mapy (czasem używany jest również termin podziałka mapy) - stosunek wielkości modelu Ziemi dla jakiego opracowano odwzorowanie kartograficzne danej mapy do rzeczywistej wielkości Ziemi. Rodzaje zapisu skal na mapach: skala liczbowa Skala mianowana Skala polowa Podziałka liniowa Podziałka transwersalna Podziałka złożona

Odsetki lub inaczej dochód od kapitału złożonego w banku oblicza wg wzoru : d = ( k ∙ p ∙ t ) : 100 k – kapitał lub kwota wpłacona do banku p – oprocentowanie lokaty t – czas oprocentowania wyrażony w latach

OBLICZANIE OSZCZĘDNOŚCI I KREDYTÓW Wpłacając kwotę 1000zł na lokatę z rocznym oprocentowaniem 5,3% otrzymasz po roku: 5,3% ∙ 1000 = 0,053 ∙ 1000 = 53 zł odsetek Jeśli kwota wpłacona wynosi 4500 zło o oprocentowaniu 6 % wówczas otrzymasz: 6% ∙ 4500 = 0,06 ∙ 4500 = 270zł odsetek

OBLICZENIA ZWIĄZANE Z CZASEM ZEGAR, KALENDARZ…

Zadanie Statek wycieczkowy wypłynął z portu o godzinie 11.25. Po 45 minutowym rejsie miał 20 minutowy postój. Rejs powrotny tego statku trwał 3 kwadranse (15 min). O której godzinie statek wrócił do portu? DANE : Postój – 20 min Rejs – 45 min Rejs powrotny – 45 min OBLICZENIA : 11.25 12.10 12.30 13.15 Statek do portu powróci o godzinie 13.15.

Zadanie Dwa gołębie pocztowe przebyły drogę 250 km w ciągu 120 minut. Z jaką prędkością się poruszały? Dane:                                droga = 250 km                  czas = 120 min = 2 godz. Szukane:  prędkość = ? Wzór: prędkość = droga : czas Obliczenia: prędkość = 250 km : 2 godz. = 125 km/godz. Odpowiedź: Gołębie pocztowe poruszały się z prędkością 125 km/godz. km/h

Zadanie Samochód rajdowy przebył trasę z prędkością 235 km/h w czasie 30 minut. Jaki odcinek drogi pokonał? Dane:                                                  prędkość = 235 km/godz.                 czas = 30 min = 0,5 godz. Szukane:  droga = ? Wzór: prędkość = droga : czas droga = prędkość x czas Obliczenia: droga = 235 km/godz. x 0,5 godz. = 117,5 km Odpowiedź: Samochód pokonał odcinek drogi wynoszący 117,5 km.

VII .Oś liczbowa i jej mieszkańcy

Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt 0 zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy.

do wyróżnionego kierunku; liczbie zero przypisujemy punkt O. Dzięki temu każdej liczbie rzeczywistej dodatniej l, można przypisać dokładnie jeden punkt P osi w ten sposób, że odcinek OP jest skierowany zgodnie z wyróżnionym kierunkiem i ma długość l; każdej liczbie ujemnej l przypisujemy punkt P w ten sposób, że odcinek OP ma długość |l| i jest skierowany przeciwnie do wyróżnionego kierunku; liczbie zero przypisujemy punkt O.

Przygotowanie biuletynu : Liczby wymierne Nasza grupa wykorzystując zdobytą wiedzę przelała ją do biuletynu o Liczbach wymiernych, który został rozpowszechniony i jednocześnie przedstawiony naszym młodszym kolegom i koleżankom z klas V i VI. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ 

Bibliografia: http://www.medianuka.pl/zaokraglenie http://szkola.wi.ps.pl/2003/ulamki/index.html http://pl.wikipedia.org/wiki/U%C5%82amki http://www.google.pl/images?hl=pl&source=imghp&biw=1676&bih=894&q=u%C5%82amki&g bv=2&aq=f&aqi=g4&aql=&oq=&gs_rfai= http://www.math.edu.pl/ http://www.dobreprogramy.pl/GIMP,Program,Windows,13219.html Władysława Poczesna, Krzysztof Mostowski „Matematyka Nowej Ery, Podręcznik dla klasy 1 gimnazjum” NOWA ERA Warszawa 2002 „Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne i astronomiczne” Jan Desselberger, Anna Pielesz wyd. Park 2003