Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 40 w Zespole szkól nr 5 w Poznaniu ID grupy: 98/13_MF_G1 Opiekun: Hanna Rój-Pytel Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne. Semestr II/rok szkolny 2010/2011

Liczby wymierne są ok-poradnik dla ucznia KOLEGO, KOLEŻANKO! Przygotowaliśmy dla ciebie poradnik na temat wykonywania działań na liczbach wymiernych. Mamy nadzieję , że spodoba się wam nasza prezentacja!

DEFINICJA LICZBY WYMIERNEJ Liczby wymierne to takie, które można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, innymi słowy są to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego: gdzie m i n są liczbami całkowitymi i n ≠ 0. PRZYKŁADY LICZB WYMIERNYCH:

Co to jest liczba wymierna? Przykłady różnych zapisów liczb wymiernych:

Ułamek jako część całości . Ułamki zwykłe Ułamek jako część całości Ułamek zwykły jest inną formą zapisu ilorazu dwu liczb   Przykłady: a) 7 min to b) 37 cm to Dzielna staje się licznikiem, a dzielnik mianownikiem. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

rozszerz ułamki Rozszerzanie ułamków Skracanie ułamków Aby skrócić ułamek należy jego licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: Aby rozszerzyć ułamek, należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera. Przykład: rozszerz ułamki do mianownika 60 Po rozszerzaniu wartość ułamków nie zmienia się

Ułamki niewłaściwe i ułamki mieszane Ułamek niewłaściwy to taki w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi. Ułamek mieszany to ułamek zapisany liczbą naturalną i ułamkiem właściwym. Zmiana ułamków niewłaściwych na ułamki mieszane Zmiana ułamków mieszanych na ułamki niewłaściwe

DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH DODATNICH KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ Działania na liczbach wykonujemy w następującej kolejności: Działania w nawiasach (zaczynamy od „najmniejszych” czyli (…) ). Potęgowanie i pierwiastkowanie. Mnożenie i dzielenie. Dodawanie i odejmowanie. W podpunkcie 3 i 4 działania wykonujemy według kolejności występowania od lewej do prawej.

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach + = + =

DODAWANIE UŁAMKÓW O JEDNAKOWYCH MIANOWNIKACH Przykłady:

ODEJMOWANIE UŁAMKÓW O JEDNAKOWYCH MIANOWNIKACH odejmujemy liczniki a mianownik pozostawiamy bez zmian

Przykłady: 1 całość odjemnej (pozostaje mi 13 całych) zamieniam na ułamek

Mnożenie ułamka przez ułamek Pamiętaj! Przed wykonaniem mnożenia liczby mieszane zamień na ułamki niewłaściwe Przed wykonaniem mnożenia skracam mianownik pierwszego ułamka i licznik drugiego ułamka dzieląc przez 7

Obliczanie ułamka danej liczby Mnożenie ułamków przez liczby naturalne

DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH PRZEZ LICZBY NATURALNE Aby podzielić ułamek przez liczbę naturalną, należy ułamek ten pomnożyć przez odwrotność tej liczby. : 2 = Po zamianie dzielenia na mnożenie możemy skracać licznik z mianownikiem

Dzielenie liczb naturalnych przez ułamki Aby podzielić liczbę naturalną przez ułamek, należy tę liczbę pomnożyć przez odwrotność tego ułamka. Pamiętaj! Dzieląc liczbę naturalną przez liczbę mieszaną najpierw liczbę mieszaną zamieniamy na ułamek niewłaściwy

Dzielenie ułamków przez ułamki Aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pierwszy ułamek pomnożyć przez odwrotność drugiego ułamka Drugi odwracamy Liczby mieszane najpierw zamieniamy na ułamki niewłaściwe Pierwszy ułamek przepisujemy 1 1 Po zamianie na mnożenie pamiętamy o skracaniu : 2 4

DODAWANIE I ODEJMOWANIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH SPOSOBEM PISEMNYM Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym zapisujemy je tak, aby przecinek stał pod przecinkiem 2,49 +0,046 2,536 3,71 -0,4 3,31 1,11 +0,46 1,57

, MNOŻENIE PISEMNE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH 0,18 • 0,4 0,072 0,182 • 0,36 • 0,4 0,072 0,182 • 0,36 1 0 9 2 + 5 4 6 0, 0 6 5 5 2 W iloczynie jest tyle miejsc po przecinku, ile jest razem cyfr po przecinku w obu czynnikach zakaz wstawiania przecinka 2 miejsca po przecinku , 1 miejsce po przecinku Razem 3 miejsca po przecinku

Przy mnożeniu (dzieleniu) liczby dziesiętnej przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek tej liczby w prawo (lewo) o tyle miejsc, ile zer ma liczba, przez którą mnożymy (dzielimy). 52 : 10 = 5,2 123,4 : 100 = 1,234 0,87 : 1000 =0,00087 3,005 : 10 = 0,3005 0,1257 • 100 = 12, 57 3,4 • 100 = 340 1,387 • 1000 =1387 3,005 • 10 = 30,05

Dzielenie pisemne ułamków dziesiętnych przez liczbę naturalną 0,3 1,2 : 4 -12 = = w ilorazie przecinek stawiamy nad przecinkiem dzielnej

DZIELENIE PISEMNE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH 0,3 0,12 : 0,4 = 1,2 : 4 -1 2 = = Pozbywamy się przecinka w dzielniku mnożąc obie liczby przez 10, 100, 1000 itd., aby dzielnik był liczbą naturalną 15 : 0 , 5 Zakaz dzielenia przez liczbę z przecinkiem

W niektórych zadaniach spotkasz równocześnie ułamki zwykłe i dziesiętne i konieczna będzie zamiana jednych na drugie. Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe jest bardzo prosta!

Ułamki zwykłe możesz zamienić na dziesiętne na dwa sposoby: . I - rozszerzyć mianownik ułamka do 10, 100, 1000 itd. II - podzielić licznik przez mianownik

Wygodną i często stosowaną postacią liczby wymiernej jest jej rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne liczby - otrzymuje się wykonując dzielenie licznika przez mianownik 0,5 0,75 -1 0 = - 2 8 2 0 Warto zapamiętać! -2 0 = Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej może być skończone (po przecinku może występować skończenie wiele cyfr)-jak powyżej

Rozwinięcie dziesiętne liczby może też być nieskończone (po przecinku występuje nieskończenie wiele cyfr). Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Innych rozwinięć dziesiętnych liczby wymierne nie mają. Wówczas jednak zawsze od pewnego miejsca powtarza się jakaś cyfra lub grupa cyfr, zwana okresem

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH. Dodając lub odejmując liczby wymierne należy postępować według następujących zasad: Aby dodać dwie liczby o różnych znakach należy: zapisać znak stojący przy większej liczbie od większej liczby odjąć mniejszą (działając tak, jakby obie były dodatnie) Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Odejmowanie liczb ujemnych można zamienić na dodawanie po przez opuszczenie lub wstawienie nawiasu.

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH. Przykłady działań na liczbach całkowitych dodatnich i ujemnych: 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 -3 + 5 = 2 -4 + (-7) = -11 -5 – (-12) = -5 + 12 = 7 Dodając liczby o przeciwnych znakach od większej odejmujemy mniejszą i zapisujemy znak, który stał przy większej. Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Po opuszczeniu nawiasu odejmowanie zamienia się na dodawanie.

PRZYKŁADY Dodając lub odejmując liczby wymierne należy postępować według następujących zasad: Suma liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Dodając liczby o przeciwnych znakach od większej odejmujemy mniejszą i zapisujemy znak, który stał przy większej.

PRZYKŁADY Odejmowanie liczb ujemnych można zamienić na dodawanie po przez opuszczenie lub wstawienie nawiasu.

MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB WYMIERNYCH W przypadku mnożenia i dzielenia liczb wymiernych określanie znaku jest bardzo proste: Iloczyn/iloraz dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią. „-” · „-” → „+” „+” · „+” → „+” „-” : „-” → „+” „+” : „+” → „+” Iloczyn/iloraz dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną „-” ·„+” →„-” „+” · „-” →„-” „-” : „+” →„-” „+” : „-” →„-”

PRZYKŁADY 2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10 „+” · „-” →„-” „-” · „-” → „+” „-” : „-” → „+” 2,5 : (-0,25) = -(250 : 25) = -10 „+” : „-” →„-”

Przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności na osi liczbowej Przykład 1 Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające warunek: x>2, co czytamy x jest większe od 2 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od 2. Liczba 2 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności. Przykład 2 Zaznaczmy na osi liczbowej liczby spełniające warunek: x<4, co czytamy x jest mniejsze od 4 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od 4. Liczba 4 zaznaczona na osi pustym kółkiem nie spełnia tej nierówności.

Przykład 2 Zaznaczmy na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: x ≥ -3, co czytamy x jest większe lub równe od -3 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba większa od -3 lub równa -3. Liczba -3 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność. Przykład 4 Zaznaczmy na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: x ≤ -1, co czytamy x jest mniejsze lub równe od -1 Rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba mniejsza od -1 lub równa -1. Liczba -1 zaznaczona na osi zamalowanym kółkiem spełnia tę nierówność (należy do zbioru rozwiązań).

Dlaczego posługujemy się Zaokrąglanie liczb Dlaczego posługujemy się zaokrągleniami liczb? Gdybyśmy zapytali konstruktora samochodu Ford Focus, jaką długość ma ten samochód, odpowiedziałby, że 4,465 m. Gdyby to samo pytanie zadać właścicielowi takiego samochodu, odpowiedziałby zapewne, że jego wóz ma około 4,5 m długości.

REGUŁY ZAOKRĄGLANIA LICZB Gdy zaokrąglamy do dziesiątek, o wyniku zaokrąglenia decyduje cyfra jedności. Jeśli cyfra jedności jest równa 5 lub większa od 5 to zaokrąglamy w górę. Jeśli cyfra jedności jest mniejsza od 5, to zaokrąglamy w dół. Cyfra jedności jest mniejsza od 5 Zaokrąglamy w dół ! znak: „równe w przybliżeniu” ! Cyfra jedności jest większa od 5 Zaokrąglamy w górę

Reguły zaokrąglania liczb Jeżeli chcemy zaokrąglić do pełnych dziesiątek, setek, tysięcy i tak dalej, zaokrąglamy tak, aby otrzymać liczby całkowite o minimum o 1, 2, 3, ... zerach "na końcu" po zaokrągleniu. Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części dziesiątych, pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu), setnych części - 2 cyfry po przecinku, tysięcznych części - 3 i tak dalej. Zaokrąglenia do setnych części: 246,445 ≈ 246,45 0,(64) =0,646464 ...≈ 0,65 154,0005 ≈ 154 0,0191 ≈ 0,02 Gdy zaokrąglamy do setek, o wyniku zaokrąglenia decyduje cyfra dziesiątek, gdy zaokrąglamy do tysięcy – decyduje cyfra setek, itd. Zaokrąglenia do tysięcy: 1234 ≈ 1000 8999 ≈ 9000 127635 ≈ 128000 78896 ≈ 79000

Zadanie 1. Dane są liczby: Podaj ich zaokrąglenia: Do części setnych: 1214,54 374,04 989,60=989,6 Do części dziesiętnych: 1214,5 374,0=374 989,6 Do jedności: Leci samo 1215 374 990 Do setek: 1200 400 1000

Zadanie 2. Na osi zaznaczono kropkami liczby, których zaokrąglenia do części setnych są następujące: Wpisz pod kropkami odpowiednie litery. c d a b e f 7 7,01 Leci samo

Szacowanie Zadanie .Działka rekreacyjna państwa Wrońskich ma kształt prostokąta p wymiarach 39,7m na 19,9 , a działka państwa Krukowskich ma kształt kwadratu o boku długości 30,3 . Oszacuj , która z tych działek większa . 600m² < 900m² Odp: Działka państwa Krukowskich jest większa niż działka Państwa Wrońskich. Wrońscy: 39,7m (w przybliżeniu)≈ 40 m 19,9 ( w przybliżeniu)≈ 20 m działka: 40m*20m =600m² Krukowscy: 30,3m ( w przybliżeniu) ≈30 m Działka: 30m*30m = 900m²

Rzymski system zapisywania liczb Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków, pamiętając przy tym o zasadach: W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. 1. Obok siebie mogą stać co najwyżej trzy znaki spośród: I, X, C lub M. 2. Obok siebie nie mogą stać dwa znaki: V, L, D. 3. Nie może być dwóch znaków oznaczających liczby mniejsze bezpośrednio przed znakiem oznaczającym liczbę większą. 4. Znakami poprzedzającymi znak oznaczający większą liczbę mogą być tylko znaki: I, X, C.

Gdy cyfry w rzymskim zapisie liczby występują w kolejności od największej do najmniejszej, to aby odczytać tą liczbę, dodajemy wartości jej cyfr. XVI 10+5+1=16 Gdy w zapisie rzymskim cyfra mniejsza poprzedza większą, to liczba odpowiadająca tym dwóm cyfrom jest równa ich różnicy. XIV 10+(5-1)=14

Przykłady liczb zapisanych za pomocą znaków rzymskich XC 90 XIX 19 XVI 16 XXXI 31 CMX 910 LXIV 64 LV 55 CL 150 XL 40 CD 400 DCXXX 630 LXX 70 MCL 1150 MMCCII 2202 XCIX 99 CCCXL 340

ciekawostki 1.Do rozwoju i popularyzacji systemu dziesiętnego w Europie przyczynił się włoski matematyk i podróżnik Leonardo Fibonacci. Zafascynowany systemem, w 1202 roku napisał książkę "Liber Abaci" ,w której tłumaczył jak używać arabskich cyfr, jak dodawać, odejmować i wykonywać inne działania w systemie dziesiętnym.

Jak sprawdzić, czy rok jest przestępny? Według kalendarza gregoriańskiego rok jest przestępny jeżeli, jest podzielny przez 4, chyba że... dzieli się przez 100, wtedy nie jest, chyba że... dzieli się przez 400 i wtedy jest. Przykład: Czy rok 2008 jest rokiem przestępnym? Sprawdźmy pierwszy warunek, jest podzielny przez 4 i nie jest podzielny przez 100 Pierwszy warunek jest spełniony, zatem rok 2008 jest rokiem przestępnym. Czy rok 2100 jest rokiem przestępnym? Sprawdźmy pierwszy warunek, jest podzielny przez 4 , ale jest również podzielny przez 100. A więc pierwszy warunek nie jest spełniony. Sprawdźmy zatem drugi warunek, nie jest podzielny przez 400 . Żaden z warunków nie jest spełniony zatem rok 2100 nie jest rokiem przestępnym.

Bibliografia www.medianauka.pl www.megamatma.pl www.math.edu.pl Strony internetowe nauczycieli matematyki

Prezentację wykonali: Marta Głucińska Daria Małek Natalia Stelmaszczyk Patryk Zasadziński Michał Grażyński Romuald Tumach Przemysław Sarnowski Paweł Piechura Piotr Nowacki Marcin Frąckowiak