Dane INFoRMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Marii Konopnickiej w Zespole Szkół w Krzykosach ID grupy: 98/69_MF_G1 Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Od pierwiastków Teodorosa do złotego cięcia. Semestr/rok szkolny: IV / 2011/2012

Informacje o projekcie Projekt jest współfinansowany przez Unię Europejską ma na celu: Rozwinięcie zainteresowań matematyczno-fizycznych. Rozwój kompetencji w zakresie matematyki, fizyki i przedsiębiorczości. Zastosowanie w praktyce zdobytej wiedzy. Nabycie umiejętności pracy zespołowej. Poszerzanie wiedzy merytorycznej dotyczącej realizowanego tematu. Kształcenie umiejętności samodzielnego korzystania z różnych źródeł informacji. Rozwijanie własnych zainteresowań.

SKŁAD ZESPOŁU: Patryk Błaszczyk Mariusz Droździk Krystian Głowacki Agnieszka Hetmańczyk Weronika Kosmowska Karolina Kuźniak Ania Potrzebowska Agnieszka Rogacka Tomasz Roszak Karolina Spychalska Dawid Szymanek Anna Szymankiewicz Opiekun: mgr Anna Zimoch

historia Już w starożytnym Egipcie wykorzystywano w obliczeniach „ pierwiastki kwadratowe”. Z papirusu berlińskiego (ok. 1300 p.n.e. ) wynika, że starożytni Egipcjanie potrafili rozwiązywać równania kwadratowe. Geometryczny sens pierwiastka pojawia się w słynnym dialogu greckiego filozofa Platona „Menon”.

MENoN SOKRATES. Powiedz mi, chłopcze, ty wiesz, że tak wygląda czworobok? CHŁOPAK. Tak, wiem. SOKRATES. Więc to jest czworobok, który ma te wszystkie boki równe, a jest ich cztery? CHŁOPAK. Tak jest. SOKRATES. A czy i te linie przez środek biegnące nie są w nim równe? CHŁOPAK. Tak. SOKRATES. Więc gdyby ten bok miał dwie stopy i ten dwie, to ile stóp miałaby całość? Tak sobie to rozpatrz: gdyby ten miał dwie stopy, a tamten tylko jedną stopę, to prawda, że powierzchnia wynosiłaby: raz dwie stopy. SOKRATES. A skoro ma dwie stopy i tędy też, to nic innego, tylko całość będzie miała dwa razy po dwie stopy? CHŁOPAK. Będzie miała. SOKRATES. A więc dwa razy po dwie stopy? SOKRATES. A ile to jest dwa razy po dwie stopy? Porachuj sobie i powiedz! CHŁOPAK. Cztery, Sokratesie. SOKRATES. Nieprawdaż, mogłaby też istnieć powierzchnia inna, dwa razy większa od tej, a zresztą taka sama, o czterech równych bokach, jak ta tutaj? SOKRATES. A ile będzie miała stóp? CHŁOPAK. Osiem. SOKRATES. Proszę cię więc, spróbuj mi powiedzieć, jak też długi będzie każdy bok takiej powierzchni? Bo tej tutaj bok ma dwie stopy. Jakiż będzie bok tamtej, podwójnej? CHŁOPAK. Widać przecież, Sokratesie, że to będzie bok dwa razy tak długi. SOKRATES. Widzisz, Menonie, że ja go nic nie uczę, tylko pytam go o wszystko. I jemu się teraz zdaje, że wie, na jak długim boku stanie powierzchnia ośmiostopowa.

historia Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al- Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową) oznaczającego „korzeń”.

historia Wielu, w tym Leonhard Euler wierzy, że symbol pierwiastka pochodzi od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne. Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

historia Już starożytni pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka  (takie jak np.  , czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą.

historia Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między 800 a 500 rokiem p.n.e. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch. Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie.

Teodoros Teodor(os) z Cyreny, gr. Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος (460 p.n.e.-399 p.n.e.) - grecki matematyk, geometra i nauczyciel Teajtetosa z Aten, przyjaciel Sokratesa. Platon przypisywał Teodorowi z Cyreny podanie pierwszego dowodu na niewymierność pierwiastków kwadratowych z 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 i 17. Oprócz tego przypisuje mu się odkrycie metody wyznaczenia odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby, ta konstrukcja geometryczna nazywana jest ślimakiem Teodorosa.

Ślimak Teodorosa Naukowcy od zawsze zastanawiali się w jaki sposób narysować odcinek o długości np.: √3 Teodoros postanowił do konstrukcji takich odcinków, wykorzystać twierdzenie Pitagorasa. Dzięki czemu powstał tzw. Ślimak Teodorosa, który jest wykorzystywany do konstrukcji odcinków o długości: √2, √3, √5 itd.

Ślimak Teodorosa

Konstrukcja Ślimaka 1. Budujemy równoramienny trójkąt prostokątny o ramieniu równym 1. Przeciwprostokątna trójkąta daje √2. 2. Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jednym z ramion jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a drugie ramię ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość √3. 3. Kontynuujemy konstrukcję tworząc kolejny trójkąt prostokątny, którego jeden z boków jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego punktu, a drugi bok ma długość 1.

NASZE KONSTRUKCJE

Drzewo pitagorejskie Bardzo ciekawe konstrukcje geometryczne były tworzone przez matematyków szukających pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych. Kolejną po przedstawionej już konstrukcji tzw. spirali pierwiastków kwadratowych będzie drzewo pitagorejskie.

Drzewo pitagorejskie Drzewo pitagorejskie to konstrukcja geometryczna, która składa się z trójkątów prostokątnych i kwadratów, zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego.

Drzewo pitagorejskie Proces powstawania drzewa ilustruje rysunek poniżej.

Poniżej zamieszczamy zdjęcie drzewa w wersji roboczej.

NASZE KONSTRUKCJE

FRAKTALE Drzewa pitagorejskie są przykładem wprowadzenia nowych narzędzi badawczych do nauk przyrodniczych. Dzięki niewielkim modyfikacjom możemy stworzyć zadziwiające konstrukcje przypominające twory natury.

FRAKTALE Od czasów Pitagorejczyków i Platona badano tylko figury idealne i za ich pomocą opisywano rzeczywistość. Fraktale umożliwiły opis obiektów, które dotychczas nie chciały poddać się modelowaniu. Jak opisać kształt chmury, dymu z komina, korony drzewa czy linii brzegowej między lądem a morzem? Za pomocą fraktali stało się to możliwe. Fraktale pomogły też uchwycić zjawiska chaotyczne, na przykład zachowanie giełdy czy zmiany pogody. Nie ma jednoznacznej definicji fraktala. Można jednak przyjąć, że fraktale - to zbiory o bardzo skomplikowanej budowie i niezależnie od tego jak mały ich fragment będziemy oglądać – będzie on równie skomplikowany jak całość. Fraktale mają pewną interesującą właściwość: dowolnie mały fragment, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały wyjściowy zbiór lub jego część. Jest to tak zwana cecha „nieskończonego samopodobieństwa”. Jednak ich opis i konstrukcja są bardzo proste. Otrzymuje się je przez iteracyjne powtarzanie jednej i tej samej operacji. Geometryczny wymiar fraktala nie musi być liczbą całkowitą.

Przykłady FRAKTALi

Ułamkowe proporcje w przyrodzie W przyrodzie obserwujemy wiele przykładów proporcji. Najsłynniejsza z nich to „divina proportio” – „boska proporcja”. Tak nazwali starożytni i średniowieczni matematycy złoty podział albo złote cięcie. Złoty podział, złote cięcie (łacińskie sectio aurea) to podział odcinka na dwie części, których długości są względem siebie w proporcji harmonicznej. Zasada ta znana była od starożytności: znali ją pitagorejczycy, opisywał Platon w dialogu Timajos, pierwsze sformułowanie matematyczne podał Euklides.

Złoty podział Wprowadzenie nazwy "złota proporcja" przypisuje się Leonardo Da Vinci, a określenie "boska proporcja, Luce Pacioli, który opisał ją w swym dziele De Divina proportionae do której rysunki wykonał Leonardo Da Vinci. Siła złotego podziału w tworzeniu harmonii leży w jego unikalnej zdolności do łączenia różnych części całości w taki sposób, że każda z nich zachowuje własny charakter, a jednocześnie wtapia się w szerszy kontekst pojedynczej całości. - György Doczi

Złoty podział „Boska proporcja” jest najczęściej spotykaną w przyrodzie. Podpatrzona przez człowieka, jest ideałem odtwarzanym w dziełach sztuki. W ciele ludzkim zarówno wymiary całej postaci, jak i poszczególnych jej części podlegają prawom złotego podziału. Przeprowadziliśmy doświadczenie dotyczące wyznaczania proporcji w naszych ciałach. Zadanie brzmiało: podziel sobie swój wzrost przez odległość od stóp do twego pępka. Okazało się, że nasze wyniki oscylowały wokół wartości fi = 1, 618.

Złote proporcje głowy i ręki Podział głowy z profilu na części charakterystyczne daje cały szereg stosunków bardzo bliskich podziałowi złotemu. To samo obserwujemy u ręki i dłoni.

Apollo belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.) Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

Złote cięcie w przyrodzie Złota proporcja w rozkładzie liści na gałązce: Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

Złote cięcie w ARCHITEKTURZE Na złotym podziale wzorowali się, od najwcześniejszych wieków, architekci ówczesnych cywilizacji. Podpatrując naturę tworzyli „cuda” współczesnego im świata. Niektóre zachowały się po dziś dzień. Piramida meksykańska Piramida egipska

Złote cięcie w ARCHITEKTURZE Parthenon na Akropolu

Złoty podział a b a + b a + b a b Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami. a b a + b a + b a b

Jak narysować złoty podział odcinka? Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okręgów. Linia niebieska to złoty podział odcinka...

ZŁOTY PROSTOKĄT Gdy wiemy już czym jest złota proporcja, możemy narysować złoty prostokąt. Oto on:

Złoty prostokąt Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem. Złoty prostokąt jako jedyny ma taką oto właściwość, że można podzielić go (przy pomocy kwadratów) na mniejsze prostokąty. Otrzymane, mniejsze prostokąty będą posiadały tę samą proporcję, co prostokąt wyjściowy, niezależnie od tego jak wiele mniejszych prostokątów narysujemy. Oczywiście  rysując coraz mniejsze złote prostokąty na kartce papieru dojdziemy do punktu, w którym nie będziemy w stanie narysować kolejnego prostokąta z powodu jego bardzo małej wielkości. Jednakże posługując się programem komputerowym  możemy rysować bez końca. W tym przypadku, dochodząc do punktu, w którym ograniczyła nas kartka papieru, możemy nasz malutki prostokąt powiększyć  i ciągnąć  naszą zabawę dalej, w nieskończoność...

pentagram pięciokąt foremny gwiaździsty gwiazda pitagorejska godło Bractwa Pitagorejczyków symbol doskonałości według Pitagorejczyków

pentagram Wszystkie ramiona pentagramu przecinają się według Złotej Proporcji (złotego cięcia).

Pentagram Gdy przekroimy w poprzek jabłko, ukaże nam się... pentagram.

Ciąg Fibonacciego 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Ciąg Fibonacciego jest ciągiem addytywnym. Oznacza to, że każdy jego wyraz z wyjątkiem dwóch pierwszych powstaje poprzez dodanie do siebie dwóch wyrazów poprzednich un = un-1 + un-2. Otóż stosunek dwóch kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego w miarę wzrastania ciągu jest coraz bliższy wartości φ. Ciąg Fibonacciego ma liczne odpowiedniki w zjawiskach przyrody, np. w biologii, w botanice; ma je więc także liczba Φ .

Liczby Fibonacciego w przyrodzie Ciąg Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne w świecie flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością na jakiej wyrosły wówczas okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy, że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. Jest również uniwersalna i niezależna od wielkości rośliny.

Liczby Fibonacciego w sztuce Spośród artystów stosujących phi wymienić należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca oraz oczywiście Leonarda da Vinci (warto przyjrzeć się obrazowi „Madonna z dzieciątkiem”). Słynny Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli. W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay pisze o tym, że większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Na pytanie, czy Mozart robił to intuicyjnie czy świadomie (gdyż był zafascynowany matematyką) nie poznamy raczej odpowiedzi. Inni badacze odnajdowali złote proporcje w Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.

Podajemy kilka przykładów ciągu Fibonacciego w przyrodzie i w sztuce.

ananas

słonecznik

Podsumowanie projektu Wytwory naszej pracy zaprezentowaliśmy w holu szkoły, na wystawce zatytułowanej „Od pierwiastków Teodorosa do złotego cięcia”. Imponujące wizerunki ślimaków Teodorosa i pitagorejskiego drzewa przyciągały wzrok naszych kolegów. Większość po raz pierwszy dzięki wystawie poznała omawiane terminy matematyczne. My też byliśmy zadowoleni z efektów naszej pracy.

Przygotowania do wystawy

Wystawa gotowa

Wystawa gotowa

CiekawostkA „Dzień pierwiastka kwadratowego” W każdym stuleciu jest tylko 9 dni, których daty mają taką własność. Poprzedni "dzień pierwiastka kwadratowego" przypadał 2 lutego 2004 r. (02.02.04), kolejne zaś będą obchodzone 4 kwietnia 2016 r. (04.04.16) i 5 maja 2025 r. (05.05.25). - Te dni są jak komety w kalendarzu: długo się na nie czeka, aby na chwilę rozświetliły dzień - Ron Gordon, nauczyciel z Kalifornii, który stara się spopularyzować "dzień pierwiastka kwadratowego".

Kaczor Donald w krainie matematycznej magii... W A R T O Z O B A C Z Y Ć !!!

Wykorzystane źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82oty_podzia%C5%82 http://pl.wikipedia.org/wiki/Historia_matematyki http://www.katedra.uksw.edu.pl/platon/Dialogi%20Platona.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Christoph_Rudolff http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba#Liczby_wymierne http://www.miasto.zgierz.pl/gim1/uczen/witrynka/matma/liczby.html http://wiadomosci.wp.pl/kat,1356,title,Dzien-pierwiastka-kwadratowego- czyli-matematyczna-data,wid,10901264,wiadomosc.html http://www.swietageometria.info/podstawowe-pojecia?start=10

Wykorzystane źródła Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol Księga liczb – John Conway i Richard Guy Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek Złota liczba – M. C. Ghyk

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ