DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 w Gryficach ID grupy: 98/22_mf_g2 Opiekun: Elżbieta Grządziel Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: „W świecie liczb” Semestr/rok szkolny: II semestr /rok szkolny 2010/2011

W PREZENTACJI… Fascynująca historia odkrycia liczb. Ciekawe zadania arytmetyczne o charakterze łamigłówek. Liczby występujące w "przyrodzie”. Liczby olbrzymy. Liczba PI(π) i jej własności. Liczby pierwsze. Ciekawe ciągi liczbowe. Liczby magiczne: kwadraty magiczne. Gry i triki z liczbami.

sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. „Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią”.

JAKIE BYŁY LICZBY NA POCZĄTKU Dawniej ludzie rozróżniali jedynie dwie liczby: jeden, dwa . Na więcej mówili po prostu wiele. Zatem jeden jak i dwa są bezsprzecznie pierwszymi pojęciami numerycznymi zrozumiałymi dla istoty ludzkiej.

Pierwsze liczby Wiele języków i pism, starożytnych i współczesnych nosi ślady tych pierwotnych rozróżnień. Można to zauważyć zwłaszcza w gramatyce gdzie istnieje rozróżnienie pomiędzy liczbą pojedynczą, podwójną i mnogą. Np. w języku polskim rónież istniała liczba podwójna. Dowodami na to są oboczności typu: rękoma - rękami, uszami - uszyma, oczami - oczyma.

Pierwsze Sposoby liczenia Pierwsza metoda liczenia wykorzystywała metodę odpowiedniości jeden - jeden, która pozwala w bardzo prosty sposób porównywać dwa zbiory istot, czy przedmiotów tej samej lub różnej natury bez pomocy liczenia abstrakcyjnego.

Pierwsze sposoby liczenia Ludzie z różnych stron świata używali muszli, paciorków, twardych owoców, kości, patyków, zębów słonia, orzechów kokosowych, kulek glinianych, ziaren kakao. Układali te przedmioty w stosy lub rzędy w ilości odpowiedniej ilości istot lub przedmiotów, które chcieli policzyć. Znaczyli też kreski na piasku lub robili węzełki na sznurkach, przesuwali muszle lub paciorki nawleczone na wzór różańca.

Cielesna technika liczenia Do liczenia zaczęto również wykorzystywać ciało: dotyka się kolejno palców prawej ręki, począwszy od małego, potem nadgarstka, łokcia, ramienia, ucha i oka prawego, następnie nosa i ust, potem oka, ucha, ramienia, łokcia i nadgarstka lewego i kończy się na małym palcu lewej ręki. W ten sposób dochodzi się do liczby 22. Jeśli to nie wystarcza, dodaje się brodawki piersi, biodra, części płciowe, potem kolana, kostki i palce u nóg, najpierw z lewej a potem z prawej strony. To pozwala dojść do 41.

Cielesna technika liczenia W cielesnej technice liczenia posługiwanie się palcami ręki odegrało decydującą rolę. Cała ludzkość nauczyła się liczyć abstrakcyjnie do pięciu na palcach jednej ręki, a potem przedłużać ciąg liczb na palcach drugiej przez symetrię aż do dziesięciu. Ręka ludzka ma niezliczone zastosowania materialne. Jest jakby naturalnym narzędziem, szczególnie w uświadamianiu sobie liczb od 1 do 10 i w nauce elementarnej arytmetyki.

ŁAMIGŁÓWKI (Zadania przy których się załamiesz) Mamy do dyspozycji 2 naczynia: 5 litrowe, 3 litrowe i nieograniczoną ilość wody. Jak za ich pomocą odmierzyć 4 litry wody ? Rozwiązanie: Nalewamy do pełna naczynie 5-litrowe. Odlewamy z niego część wody do naczynia 3-litrowego, tak, by je napełnić w całości. Opróżniamy pojemnik trzylitrowy i napełniamy go zawartością pięciolitrowego, czyli dwoma litrami. Następnie napełniamy ponownie naczynie pięciolitrowe i przelewamy część jego zawartości do trzylitrowego, w którym są już dwa litry, więc może się zmieścić jeszcze tylko jeden. Jeżeli z pięciolitrowego naczynia odlejemy ten jeden litr, zostaną cztery.

Łamigłówki - NASZA ULUBIONA Jeżeli pies kosztuje 12 złotych, kot kosztuje 9 złotych, a niedźwiedź 30 złotych, to ile kosztuje dydelf? Rozwiązanie: Jeśli podzielimy ilość liter w imionach zwierząt przez ich cenę otrzymamy 3 zł za literkę. Dydelf kosztuje więc 18 zł.

łamigłówki Chłop musi przewieźć na drugi brzeg rzeki kozę, wilka i kapustę. Niestety, posiada łódkę, która może pomieścić tylko jego i jedno z trzech (kozę, wilka albo kapustę). Na jednym brzegu nie mogą zostać bez opieki chłopa: wilk z kozą (bo wilk zje kozę), ani koza z kapustą (bo koza zje kapustę). Pytanie: Co ma zrobić chłop?

ŁAMIGŁÓWKI - Jak nam to szło…

łamigłówki Rozwiązanie: 1. Przewozimy kozę na drugi brzeg 2. Wracamy po wilka i przewozimy wilka 3. Zabieramy kozę spowrotem na pierwszy brzeg 4. Zabieramy kapustę 5. Wracamy po kozę i przewozimy kozę

LICZBY BLIŹNIACZE Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady takich liczb to: 3 i 5 11 i 13 71 i 73 Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele.

„Jeżeli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb”. C. F. Gauss

LICZBY DOSKONAŁE Liczba doskonała to liczba naturalna, to taka która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6 ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 bo 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1, a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ... Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest liczba, która ma 25 956 377 cyfr. Obecnie znamy 31 liczb doskonałych, wszystkie parzyste. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją.

LICZBY LUSTRZANE Liczby lustrzane to pary liczb, które czytane od tyłu wyglądają tak samo jak liczba z pary czytana normalnie. Na przykład: 28 i 82, 17 i 71, 25 i 52, …  LICZBY PALINDROMICZNE Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także symetrycznymi. Przykłady liczb palindromicznych: 55, 626, 494, 30703, 414, 5115... Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

LICZBY OLBRZYMIE Nazwy bardzo dużych liczb, których zapis jest w postaci dziesiętnej oraz w postaci potęgi liczby 10. jeden 1 100 tysiąc 1 000 103 milion 1 000 000 106 miliard 1 000 000 000 109 bilion 1 000 000 000 000 1012 biliard 1 000 000 000 000 000 1015 trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018 tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 kwadrylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 kwadryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1027 kwintylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1030

LICZBA Pi (π) - LUDOLFINA Liczba π – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1. Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena.

Niewymierność liczby pi : Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

Liczba PI z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196... Ciekawostki : W roku 2010 obliczono 2 000 000 000 000 000 cyfrę liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni.

LICZBY PIERWSZE Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez samą siebie i jedynkę. Na przykład: 7, 13, 29. 1 nie jest liczbą pierwszą ani nie jest liczbą złożoną.

Liczby Pierwsze Aby sprawdzić czy liczba jest pierwsza nie musimy dzielić przez wszystkie liczby mniejsze od danej liczby. Wystarczy, że sprawdzimy czy nie ma podzielników wśród liczb mniejszych od

Rodzaje liczb pierwszych Liczby pierwsze izolowane Liczba pierwsza jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4. Przykłady: 7, 11, 13, 17,…, 89, 157, 173,… Liczby względnie pierwsze Liczby, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników nazywa się względnie pierwszymi. Przykłady : 7 i 11.

Sito Erastotenesa – Sposób Wyszukiwania Liczb pierwszych Najpierw wykreślamy z liczb te, które są podzielne przez 2, następnie te które dzielą się przez 3, a potem przez 5 i przez 7. Te które pozostały są liczbami pierwszymi.

LICZBY ZŁOŻONE Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1 nie będąca liczbą pierwszą czyli mająca co najmniej jeden naturalny dzielnik różny od jedności i niej samej. Aby rozpoznać liczby złożone należy stosować cechy podzielności.

Liczby w przyrodzie „Królestwo roślin i świat matematyki są na ogół postrzegane jako nie mające ze sobą nic wspólnego. Doskonałość rozwoju roślin, ich nieskończona wielorakość form i różnorodność wzorów nie wydają sie poddawać matematycznym równaniom. A jednak za tym pozornym zamętem stale ukryta jest matematyka…” Roger V. Jean

Ciąg fibonacciego Wyobraźmy sobie, że hodujemy króliki. Zasady naszego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. W miesiąc po urodzeniu królik może przystąpić do reprodukcji. Jak w takiej sytuacji, będzie wyglądał rozwój naszej farmy, ile par królików będzie liczyła po jednym roku?

Ciąg fibonacciego W łatwy sposób można obliczyć, że liczebności w kolejnych miesiącach będą wynosić: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... Widzimy w jaki sposób można rozszyfrować ten ciąg: kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych np. 21 = 13 + 8. Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę ciągu Fibonacciego.

CIĄG FIBONACCIEGO Pełna sekwencja Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 itd. Ciąg liczbowy ma tę własność matematyczną, że każda wartość (od drugiej włącznie) równa jest sumie dwóch poprzednich. Przy użyciu tej metody możemy wydłużać ciąg w nieskończoność.

LICZBY WYKORZYSTYWANE PRZEZ PRZYRODĘ (LICZBY W PRZYRODZIE) Pomysł ciągu Fibonacciego powstał dzięki idealizacji zjawiska przyrodniczego (rozmnażanie królików), a następnie okazało sie, że tak wymyślone pojecie powraca do przyrody w postaci filotaksji czy kształtu skorupy ślimaka.

filotaksja Pod koniec XVIII wieku Charles Bonnet zainteresował się szczególną symetrią w układzie liści zwaną filotaksją. Badając rozkład liści na gałązkach łatwo można zauważyć, że wszystkie liście leżą jeden na drugim, lecz przeciwnie: liście sąsiednie najczęściej wysuwają się z linii prostej okrążając gałązkę.

filotaksja Przyjrzyjmy się bliżej temu zjawisku na przykładzie ananasa. Ziarenka ananasa przypominające sześciokątne klatki są rozmieszczone w rzędach o różnych kierunkach: 5 równoległych rzędów podnoszących sie łagodnie w prawo, 8 osiem rzędów podnoszących sie nieco bardziej stromo w lewo i 13 rzędów podnoszących sie bardziej stromo w prawo.

filotaksja Gdybyśmy bowiem rozmieszczenie ziarenek na owocu ananasa potraktowali jako rozmieszczenie liści na gałązce, otrzymalibyśmy - filotaksję.

LICZBY W PRZYRODZIE U wielu gatunków roślin, zwłaszcza z rodziny Astemceae (takich jak słoneczniki, stokrotki itp.) ilość płatków każdego kwiatostanu to zwykle liczba Fibonacciego, na przykład 5, 13, 55, a nawet 377, jak u przypołudnika. Łuski szyszki sosny układają się w dwie serie spiral od ogonka w górę - jedna zgodnie z ruchem wskazówek zegara, druga przeciwnie.

LICZBY W PRZYRODZIE Przebadano ponad 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny i stwierdzono, że ponad 98 procent posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą Fibonacciego. Co więcej, liczby te w ciągu leżały obok siebie lub bardzo blisko, to znaczy, na przykład, 8 spiral w jedną stronę, 13 w drugą albo 8 w jedną, 21 w drugą. Łuski owocostanu ananasa wykazują jeszcze mniejszą zmienność w zjawiskach Fibonacciego: z 2000 prób typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły.

Liczby w przyrodzie Skorupa głowonoga łodzika Nautilus obrazuje nam z zadziwiającą perfekcją spiralę Fibonacciego.

Złota liczba Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Obecnie złoty podział jest też często stosowany, na przykład wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału. Wartość złotej liczby można obliczyć na przykład z następującego ułamka łańcuchowego:

Własności złotej liczby Liczba złota ma ciekawe własności: aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Liczbę złotą oznaczamy symbolem fi. Np.

Magiczna siódemka W starożytności niektórym liczbom przypisywano moc magiczną. Mistycyzm liczbowy został zapoczątkowany przez Pitagorasa i jego uczniów. Za ich pośrednictwem rozpowszechnił się po całej Grecji i w szczątkowej postaci przetrwał aż do naszych czasów. Stąd na przykład mamy feralną trzynastkę. Jednak największą moc magiczną przypisywano w starożytności liczbie 7. Wiele faktów historycznych i kulturalnych, wiele dzieł rąk ludzkich powiązano z siódemką. Oto niektóre z nich: Siedem cudów świata starożytnego. Siedem dni w tygodniu. Siedem tonów gamy. Za siedmioma górami, za siedmioma lasami...

GRY LICZBOWE Jaka to liczba? Po dodaniu do niej jej połowy i wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego otrzymujemy jej połowę. Odp. To liczba 6.

Gry Liczbowe 1. Wybierz liczbę od 1-9. 2. Pomnóż tą liczbę razy 9. 3. Jeżeli wyszła ci liczba dwucyfrowa dodaj te cyfry do siebie. 4. Odejmij od liczby która ci powstała po dodaniu 5. 5. Wybierz literę z alfabetu która ma kolejności jest ta co wyszło ci po odjęciu. 6.Na tą literę pomyśl państwo. 7.Na trzecią literę państwa kolor. 8.Na drugą literę koloru kwiat. Czy państwo to Dania ? Kolor niebieski ? A kwiat irys? :D

GRY LICZBOWE - KAKURO Co to jest Kakuro? Kakuro czyli numeryczna krzyżówka. Gra polega na wpisywaniu cyfr od 1 do 9 tak, aby zsumowały się do liczby wskazanej w pionowym lub poziomym bloku. W jednym bloku nie mogą się powtarzać takie same cyfry. Zabawa podobna jest do popularnej gry Sudoku.

Kakuro – nie jest to takie proste…

ZNANI I ZNACZĄCY Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i jednego z najwybitniejszych w całej historii.

Znani i znaczący Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci (1170 - 1240).

Znani i znaczący Sir William Jones (ur. 1675, zm. 3 lipca 1749) – walijski matematyk, członek i wiceprzewodniczący Royal Society. W 1706 w książce Synopsis Palmariorum Mathesos wprowadził symbol π na oznaczenie liczby pi.

Znani i znaczący Euklides z Aleksandrii ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e. – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.

BIBLIOGRAFIA Georges Ifrah „Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku”. Szczepan Jeleński „Śladami Pitagorasa”. www.mathelp.neostrada.pl/FIBONAC.pdf www.math.edu.pl www.serwis-matematyczny.pl www.wikipedia.pl www.open-mind.pl www.matematyka.pl www.liczby-pierwsze.republika.pl www.matma-wetpaint.pl www.fizyczny.net www.forummatematyka.pl