Metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 3. Przekształcenie w zagadnienie programowania zadaniowego (PZ) (Goal Programming - GP) Programowanie zadaniowe zaistniało jako efekt wysiłków poświęconych uzyskaniu zadowalającej i racjonalnej reprezentacji funkcji preferencji decydenta Pamiętajmy zawsze: jakakolwiek reprezentacja uznawana za najlepszą jest zawsze funkcją czyjegoś osobistego spojrzenia na problem

 archimedesowe PZ, zwane też ważonym PZ Istnieje wiele rodzajów sformułowań programów zadaniowych, a każde z nich jest wyrazem nieco odmiennej filozofii podejścia w odniesieniu do tego jak mierzyć ,,dobroć” rozwiązania dla  problemu zawierającego wiele, przeciwstawnych celów Trzema najbardziej popularnymi (a także najbardziej praktycznymi) formami PZ są  archimedesowe PZ, zwane też ważonym PZ  nie-archimedesowe PZ zwane też leksykograficznym PZ  czebyszewskie PZ, znane w dwóch odmianach, jako minimaksowe PZ i rozmyte PZ

Sformułowanie oryginalne (WCPL) gdzie

Kroki prowadzące do uzyskania modelu PZ  przekształcenie wszystkich celów w zadania z określeniem (przez D) oczekiwanego poziomu ich realizacji – poziomu aspiracji  wprowadzenie zmiennych określających możliwe odchylenia od oczekiwanego poziomu realizacji zadań  zdefiniowanie funkcji osiągania określającej miarę bliskości opcji decyzyjnej od osiągnięcia określonych poziomów zadań – poziomów aspiracji

Przekształcenie celów w zadania Stosujemy następujące zasady * funkcje celu maksymalizowane są przekształcane w nierówności typu większościowego , nazywane też nierównościami II, poprzez ustalenie i włączenie prawej strony (wartości poziomu aspiracji) * funkcje celu minimalizowane są przekształcane w nierówności typu mniejszościowego , nazywane też nierównościami I, poprzez ustalenie i włączenie prawej strony (wartości poziomu aspiracji)

Użycie poziomów aspiracji do przekształcenia celów (które mają być optymalizowane) w zadania (które mają być osiągnięte) jest znane jako koncepcja ,,uzyskiwania zadowolenia/satysfakcji” Uzyskiwanie zadowolenia, z kolei, jest pragmatycznym podejściem opartym na sposobie w jaki większość organizacji i osób, podchodzi do podejmowania decyzji Oznacza ono że, zamiast próbowania osiągnięcia optymalności rozwiązania (co w rzeczywistości jest sensowne dla problemów statycznych, deterministycznych, bez zakłóceń i z jedną funkcją celu) dąży się do znalezienia rozwiązania, które zbliża się ,,tak blisko jak to możliwe” do spełnienia określonych zadań

Obrazowy przykład Aby przekształcić nasz problem w model PZ, musimy najpierw ustalić poziomy aspiracji dla każdego z celów. Poziomy te są wartościami, które mamy nadzieję osiągnąć w końcowym rozwiązaniu, lub które przedstawiają ,,akceptowalne” poziomy całkowitego zysku i udziałów na rynku Przykładowo, jeżeli aktualny (nieoptymalizowany) program produkcji przynosi 40 jednostek zysku i daje 50 jednostek udziału na rynku, możemy realistycznie oczekiwać wzrostu każdej z tych wartości o 10% lub być może o 20%. Wszelako należy unikać nierealistycznie wysokich wartości w przypadku maksymalizacji i nierealistycznie małych wartości w przypadku minimalizacji

Przyjmijmy w naszym przykładzie, że D ustalił poziomy aspiracji na 50 jednostek zysku i 80 jednostek udziału na rynku. Nasze dwa cele zmieniają się w następujące zadania ( zadanie dla zysku) ( zadanie dla udziału na rynku) Możemy wówczas sformułować model zawierający jedynie zadania

takie, które spełniają: Znaleźć wartości i takie, które spełniają: (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Graficzna ilustracja Brak rozróżnienia w traktowaniu celów i ograniczeń – matematycznie występują tylko ograniczenia - zadania

Wprowadzenie zmiennych określających odchylenia od wskazanych zadań Model programowania zadaniowego umożliwia wprowadzenie do sformułowania modelu problemu decyzyjnego nowego elementu - miękkich i twardych zadań (ograniczeń) Najpierw wprowadzamy  ujemne odchylenia , które będziemy dodawać do lewej strony zadań (ograniczeń);  spełniają warunki nieujemności  dodatnie odchylenia , które będziemy odejmować od lewej strony zadań (ograniczeń);  spełniają warunki nieujemności

Każdemu z tak wprowadzonych odchyleń można przypisać jedną z dwóch cech * odchylenie jest dopuszczalne, jeżeli jego niezerowa wartość nie oznacza naruszenia ograniczenia w jego pierwotnej postaci * odchylenie jest niepożądane, jeżeli jego niezerowa wartość oznacza naruszenie ograniczenia w jego pierwotnej postaci; będziemy je oznaczali podwójnym podkreśleniem

Obrazowy przykład pierwsze zadanie w pierwotnej postaci pierwsze zadanie w postaci ze zmiennymi odchyleń pierwsze zadanie w postaci ze zmiennymi odchyleń i zaznaczeniem odchylenia niepożądanego pierwsze ograniczenie w pierwotnej postaci pierwsze ograniczenie w postaci ze zmiennymi odchyleń pierwsze ograniczenie w postaci ze zmiennymi odchyleń i zaznaczeniem odchylenia niepożądanego

Odchylenie niepożądane = 0 Odchylenie niepożądane ≥ 0 Z pomocą pojęcia odchylenia niepożądanego można wprowadzić rozróżnienie na ograniczenia twarde i miękkie Ograniczenie będziemy nazywali twardym, jeżeli warunek Odchylenie niepożądane = 0 musi być spełniony Ograniczenie będziemy nazywali miękkim, jeżeli warunek Odchylenie niepożądane = 0 może być niespełniony, to znaczy może zachodzić Odchylenie niepożądane ≥ 0

Moglibyśmy teraz zadanie rozważane w obrazowym przykładzie zapisać Znaleźć wartości i takie, które minimalizują w określony sposób niepożądane odchylenia, spełniając: (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) (warunki niejednoczesnej dodatniości)

Zdefiniowanie funkcji osiągania Uzyskany model wyrażony jest w kategoriach zadań/ograniczeń (z których jedne mogą być miękkie a inne twarde) Potrzebna jest funkcja za pomocą której można by mierzyć osiąganie minimalizacji niepożądanych odchyleń zadań i ograniczeń. Funkcja taka nazywana jest funkcją osiągania programowania zadaniowego Jej postać zależy od modelu preferencji D - musimy posiadać podejście - filozofię, zgodnie z którą tworzona byłaby taka funkcja Różne postacie modeli PZ są wyrazem różnych podejść do tworzenia funkcji osiągania

Archimedesowe (ważone) PZ W podejściu archimedesowym nazywanym też ważonym PZ, funkcja osiągania jest funkcją wektorową dwuelementową (dwuskładnikową) Każdemu z elementów przypisuje się priorytet  Pierwszy składnik, któremu nadaje się priorytet k = 1, przedstawia ważoną sumę wszystkich niepożądanych odchyleń dla tych zadań, które uznane zostały za twarde (tzn. dla sztywnych ograniczeń)  Drugi składnik, któremu nadaje się priorytet k = 2, jest sumą ważoną sumą wszystkich niepożądanych odchyleń dla zadań, które uznane zostały za miękkie (tzn. dla miekkich ograniczeń

Zwykle: * do grupy twardych ograniczeń zalicza się ograniczenia pierwotnego sformułowania problemu decyzyjnego * do grupy miękkich ograniczeń zalicza się zadania powstałe z transformacji pierwotnych funkcji celu W ważonym programowaniu zadaniowym poszukuje się rozwiązania dającego leksykograficzne minimum funkcji osiągania

Zatem w ważonym PZ poszukujemy leksykograficznego minimum funkcji osiągania - wektorowa funkcja osiągania - wektor ujemnych niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2) - wektor dodatnich niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2) - wektor wag dla ujemnych niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2) - wektor wag dla dodatnich niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2)

O doborze wag: wszystkie wagi są nieujemne niezerowe wartości nadaje się tylko tym wagom, które związane są z niepożądanymi odchyleniami (tzn. tymi, które mają być minimalizowane) wagom dla niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu 1 zwykle nadawana jest wartość jeden (tj. nie ma zwykle potrzeby różnicowania ,,ważności” tych odchyleń, ponieważ jakiekolwiek odchylenia są niedozwolone dla sztywnych zadań) wartości wag dla niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu 2, są ustalane w drodze subiektywnego procesu i ich wartości mogą być zmieniane w wyniku analizy po-optymalizacyjnej

- element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 1 Obrazowy przykład Wektorowa funkcja osiągania - element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 1 - element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 2 Wektor ujemnych niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 1 – nie występuje Wektor dodatnich niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 1

Wektor ujemnych niepożądanych odchyleń i związany z wektor wag na poziomie priorytetu 2 Wektor dodatnich niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 2 - nie występuje Załóżmy, że firma wyraziła przekonanie, iż osiągnięcie odpowiednich udziałów na rynku jest dla niej dwa razy ważniejsze niż osiągnięcie określonego zysku

takie, które zapewniają Odpowiadający takim przekonaniom model archimedesowego PZ rozważanego problemu decyzyjnego ma postać: takie, które zapewniają Znaleźć wartości i (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) (warunki niejednoczesnej dodatniości)

Punkty wierzchołkowe obszaru rozwiązań pożądanych Graficzna ilustracja Punkty wierzchołkowe obszaru rozwiązań pożądanych

Sekwencyjny sposób rozwiązania modelu archimedesowego PZ wykorzystujący posiadane oprogramowanie jednej z metod programowania liniowego: Krok 1: Sformułowanie pierwszego zagadnienia programowania liniowego zapewniającego spełnienie ograniczeń twardych Model ten ma następującą strukturę: Zminimalizować: spełniając: gdzie, - zbiór indeksów ograniczeń twardych (priorytet 1)

Niech optymalne rozwiązanie tego modelu daje wartość Krok 2: Sformułowanie drugiego zagadnienia programowania liniowego zapewniającego spełnienie ograniczeń twardych i miękkich Model ten ma następującą strukturę: gdzie, Zminimalizować: spełniając: - zbiór indeksów ograniczeń twardych (priorytet 1) - zbiór indeksów ograniczeń miękkich (priorytet 2)

Rozwiązanie związane z drugim modelem jest rozwiązaniem archimedesowego sformułowania programowania zadaniowego

takie, które minimalizują Obrazowy przykład Zadanie 1 (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) Znaleźć wartości i takie, które minimalizują spełniając

Otrzymane rozwiązanie Graficzna ilustracja Otrzymane rozwiązanie Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 1

Ilustracja graficzna rozwiązania Zadania 1 Najlepsze wartości odchyleń drugiego poziomu (priorytet2):

Uzyskany pierwszy wektor funkcji osiągania

takie, które minimalizują Zadanie 2 Znaleźć wartości i takie, które minimalizują spełniając (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (warunek uzyskanego poziomu osiągania dla poziomu priorytetu 1) (warunki nieujemności)

Otrzymane rozwiązanie Graficzna ilustracja Otrzymane rozwiązanie Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 2

Ilustracja graficzna rozwiązania Zadania 2 Uzyskany drugi wektor funkcji osiągania zatem rozwiązanie

Uzyskane rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym w sensie porządku Pareto !!! ale jest to rozwiązanie optymalne w sensie porządku leksykograficznego dla niepożądanych odchyleń od wskazanych poziomów aspiracji przy wskazanych priorytetach

Archimedesowe sformułowanie PZ Zalety * Każde zadanie (cel) jest oddzielnie reprezentowane w modelu (tzn. unika się agregacji) a zatem ma się do czynienia tablicą wskaźników działania, zamiast z zastępczym, pojedynczym wskaźnikiem * Można posługiwać się zarówno twardymi jak i miękkimi zadaniami * Decydent jest zmuszony estymować poziom aspiracji dla swoich celów, a to służy wymuszeniu dodatkowego wglądu w rozważany problem decyzyjny * Rozwiązanie archimedesowego PZ jest możliwe za pomocą tradycyjnych metod lub oprogramowania PL

Wady * Zbudowanie modelu wymaga więcej czasu i zastanowienia * Potrzebne jest większe zaangażowanie decydenta w rozwiązywanie problemu decyzyjnego m.in. w ustalanie poziomów aspiracji i wag * Subiektywność odnosząca się do wag nadawanym na poziomie priorytetu 2 * Może być trudne lub czasem niemożliwe zaproponowanie odpowiednich wag na poziomie priorytetu 2 niezbędnych do dodawania odchyleń.