Wykład 15 5.4 Spin i orbitalny moment pędu 5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności 5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego 5.5.2 Twierdzenie Steinera 5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej Reinhard Kulessa

5.4 Spin i orbitalny moment pędu Istnieje wiele systemów charakteryzujących się dwoma różnymi momentami pędu. Przykładem może być elektron w atomie wodoru, czy też Ziemia w ruchu dookoła Słońca. LO LS p (5.11) Pamiętamy, że ogólnie . Przyjmijmy początek laboratoryjnego układu współrzędnych w punkcie O, oraz odpowiedni układ środka masy w punkcie S. Reinhard Kulessa

Równanie (5.11) możemy więc napisać jako; Wiemy, że O S mi rS ri riS . Równanie (5.11) możemy więc napisać jako; . W drugim składniku dolnego wzoru . Reinhard Kulessa

Z kolei w trzecim składniku . Obydwa wyrazy zerują się ze względu na definicję środka masy. Można więc napisać, że całkowity moment pędu jest równy . (5.11a) Przy braku sił zewnętrznych , wtedy . Reinhard Kulessa

5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności Rotujące ciało sztywne charakteryzuje się tym, że wszystkie jego części poruszają się ze stałą prędkością kątową wokół osi obrotu. Weźmy płytę płaskorównoległą i rozważmy jej obrót dookoła osi prostopadłej.  rj mj Pamiętamy, że . Pamiętamy, że dla każdego układu cząstek definicja momentu pędu jest następująca: Reinhard Kulessa

czyli . Drugi składnik równania jest z oczywistych względów równy zeru. Mamy więc (5.12) . (5.13) Współczynnik I definiuje moment bezwładności dla płyty z ostatniego rysunku względem wybranej osi. Reinhard Kulessa

5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego ri r’i S Ri  mi m’ i Mamy więc: , co stanowi udział obydwu mas do momentu pędu Sumując po wszystkich Elementach mas, mamy: (5.14) Reinhard Kulessa

Masa walca jest równa M = r02 l. 5.5.2 Twierdzenie Steinera W ogólnym przypadku moment bezwładności musimy liczyć przechodząc do całkowania. 5.15) . Obliczmy dla przykładu moment bezwładności pełnego walca względem jego osi. r0 l dr Masa walca jest równa M = r02 l. Reinhard Kulessa

Zależność podaje twierdzenie Steinera. Moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy ciała jest związany z momentem bezwładności względem dowolnej osi. Zależność podaje twierdzenie Steinera. O S h Ri RiS (5.16) Sprawdźmy, czy tak rzeczywiście jest. . Reinhard Kulessa

. Środkowe równanie znika ze względu na definicję środka masy w układzie środka masy. Reinhard Kulessa

5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej Pamiętamy z wzoru (5.3), że moment pędu może zostać zmieniony tylko przy działaniu zewnętrznego momentu siły. . (5.17) W przypadku braku sił zewnętrznych Li = Lf i wtedy . Rozważmy sobie jako przykład wahadło fizyczne. Reinhard Kulessa

Dla małych wychyleń sin   , wtedy r Mg O S  rsin Mamy więc równanie . Dla małych wychyleń sin   , wtedy otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego z 2=Mgr/I, z rozwiązaniem . Reinhard Kulessa

Nazywamy zredukowaną długością wahadła fizycznego. (5.18) Reinhard Kulessa