Wykład 15 5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności 5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego 5.5.2 Twierdzenie Steinera 5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej 5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej 5.6.2 Główne osie bezwładności 2008-11-25 Reinhard Kulessa

5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności Rotujące ciało sztywne charakteryzuje się tym, że wszystkie jego części poruszają się ze stałą prędkością kątową wokół osi obrotu. Weźmy płytę płaskorównoległą i rozważmy jej obrót dookoła osi prostopadłej.  rj mj Pamiętamy, że . Pamiętamy, że dla każdego układu cząstek definicja momentu pędu jest następująca: 2008-11-25 Reinhard Kulessa

czyli . Drugi składnik równania jest z oczywistych względów równy zeru. Mamy więc (5.12) . (5.13) Współczynnik I definiuje moment bezwładności dla płyty z ostatniego rysunku względem wybranej osi. 2008-11-25 Reinhard Kulessa

5.5.1 Moment pędu ciała rotacyjnie symetrycznego ri r’i S Ri  mi m’ i Mamy więc: , co uwzględnia wkład od obydwu mi mas do momentu pędu. Sumując po wszystkich Elementach mas, mamy: (5.14) 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Masa walca jest równa M = r02 l. 5.5.2 Twierdzenie Steinera W ogólnym przypadku ciągłego rozkładu masy, moment bezwładności musimy liczyć przechodząc od sumowania do całkowania. 5.15) . Obliczmy dla przykładu moment bezwładności pełnego walca względem jego osi. r0 l dr Masa walca jest równa M = r02 l. 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Zależność podaje twierdzenie Steinera. Moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy ciała jest związany z momentem bezwładności względem dowolnej osi. Zależność podaje twierdzenie Steinera. O S h Ri RiS (5.16) Sprawdźmy, czy tak rzeczywiście jest. . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

. Środkowe równanie znika ze względu na definicję środka masy w układzie środka masy. 2008-11-25 Reinhard Kulessa

5.6 Dynamika ruchu bryły sztywnej Pamiętamy z wzoru (5.3), że moment pędu może zostać zmieniony tylko przez działanie zewnętrznego momentu siły. . (5.17) W przypadku braku sił zewnętrznych Li = Lf i wtedy . Rozważmy sobie jako przykład wahadło fizyczne. 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Dla małych wychyleń sin   , wtedy r Mg O S  rsin Mamy więc równanie . Dla małych wychyleń sin   , wtedy otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego z 2=Mgr/I, z rozwiązaniem . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Nazywamy zredukowaną długością wahadła fizycznego. (5.18) 2008-11-25 Reinhard Kulessa

5.6.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej Wyprowadźmy jeszcze wyrażenie na energię bryły sztywnej. Da się ona rozłożyć na energię ruchu postępowego środka masy i energię ruchu obrotowego wokół środka masy. Dla i-tego elementu masy danego ciała możemy napisać; Sumując po wszystkich punktach otrzymujemy; (5.18) . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Ostatnie równanie możemy również zapisać jako; . Jeśli bryła wykonuje równocześnie ruch postępowy i obrotowy, to energia kinetyczna tej bryły jest równa; . Równanie to możemy sobie łatwo wyprowadzić RS ri S riS mi . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Spełnione są następujące zależności; Dalej otrzymujemy, . Spełnione są następujące zależności; , więc (5.20) . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

5.6.2 Główne osie bezwładności Dotychczas określaliśmy moment bezwładności ciała dookoła bliżej nieokreślonych osi obrotu. Istnieją osie obrotu, dla których moment bezwładności przyjmuje wartości ekstremalne. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty bezwładności, głównymi momentami bezwładności. Do tej pory rozważaliśmy zawsze takie przypadki, że r  , . Dla ogólnego przypadku możemy napisać; . (5.21) 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Dla ciągłych rozkładów mas otrzymamy; Rozważmy postać wyrażenia na energię kinetyczną w układzie kartezjańskim umieszczonym w środku masy bryły. W układzie tym ciało spoczywa. Jeśli zauważymy, że , 2008-11-25 Reinhard Kulessa

to znajdziemy, że energię kinetyczną możemy napisać jako; oraz , to znajdziemy, że energię kinetyczną możemy napisać jako; . Przy czym . (5.22) 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Dla nieciągłego rozkładu masy, całki zastępujemy przez sumy. itd. Wyrażenia Ixx, Iyy, Izz są to momenty bezwładności dla rotacji względem osi układu współrzędnych x, y i z . Wielkości Ixy, Ixz, Iyz nazywamy momentami zboczenia. Widać, że Możemy więc powiedzieć, że moment bezwładności względem środka masy jest tensorem o następujących składowych . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

W ogólnym przypadku moment bezwładności ma złożoną strukturę. Jeśli za układ współrzędnych obierzemy główne osie bezwładności, I1, I2 i I3 , to znikają momenty zboczenia, i energia kinetyczna staje się równa; . (5.23) Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla momentu pędu. Pamiętamy, że; . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

W rozdziale (5.5) podaliśmy to wyrażenie dla pręta wirującego dookoła osi prostopadłej do pręta W oparciu o poprzednie równanie otrzymujemy; . W przypadku rotującego pręta druga część wzoru znikała. Rozpiszmy obecnie pełne równanie na składowe. 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Zapisując powyższe równania wektorowo mamy; Pamiętając poprzednie oznaczenia (wzór (5.22) ) możemy ostatni układ równań zapisać jako: (5.24) . Zapisując powyższe równania wektorowo mamy; . Inaczej . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Rozważmy ogólny przypadek. Tylko w przypadku rotacji względem osi głównych momentu bezwładności   L . Rozważmy ogólny przypadek. r  oś     Pamiętamy, że . Zachodzi więc; , . 2008-11-25 Reinhard Kulessa

Moment bezwładności względem osi równoległej do osi do dysku jest równy , gdzie r jest promieniem dysku, a względem osi do niej prostopadłej, czyli leżącej wzdłuż średnicy dysku .     I   I L Widzimy, że przy obrocie względem dowolnej osi moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej. 2008-11-25 Reinhard Kulessa