Wykład 10 14.1 Podstawowe informacje doświadczalne cd. 14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego 14.2.1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem. 14.2.2 Prawo Ampera w postaci różniczkowej 14.2.3 Potencjał wektorowy 14.3 Pola magnetyczne wybranych konfiguracji przewodników 14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąder 14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i Biota-Savarta Reinhard Kulessa

Ziemia posiada również własne pole magnetyczne Ziemia posiada również własne pole magnetyczne. Bieguny magnetyczne nie pokrywają się z biegunami geograficznymi. Geograficzna Północ Ziemskie pole magnetyczne Magnetyczne Południe Ziemskie pole magnetyczne Magnetyczna Północ Geograficzne Południe Reinhard Kulessa

Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwarzane jest również przez wszelkiego rodzaju prądy elektryczne. Pole magnetyczne wpływa na poruszające się ładunki elektryczne, działając na nie siłą. Wprowadzone w tabelce na stronie 34 Wykładu 9 natężenie pola magnetycznego jest wielkością, którą uwzględnia się ze względów historycznych podobnie jak wektor przesunięcia w elektrostatyce. Drugą wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest wektor indukcji magnetycznej B. (14.2) Okazało się, że właściwe pole magnetyczne opisane jest przez wektor indukcji magnetycznej B, a wektor natężenia pola magnetycznego opisuje tą część pola, która jest wytwarzana Reinhard Kulessa

przez makroskopowe prądy elektryczne o natężeniu I, dipoli atomowych i prądów okrężnych ośrodka materialnego. Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, oraz indukcji magnetycznej B w układzie SI są odpowiednio: W podanym kształcie równanie (14.2) ogranicza się do próżni. Będziemy również rozważali zachowanie się tych pól w obecności materii. Wróćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji siły, którą pole indukcji magnetycznej wywiera na poruszające się ładunki. Reinhard Kulessa

Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące Oddziaływania pola indukcji magnetycznej na poruszające się elektrony: a). Poruszające się elektrony są odchylane , b). Działająca na ładunki siła F jest ⊥ do kierunku wskazywanego przez igłę magnetyczną, czyli do kierunku wektora B, c). Siła F ⊥ do prędkości ładunku v, d). Siła F ∝ | v |, e). Wartość siły F ∝ q. Wszystkie te wyniki doświadczalne zebrał Hendrik Lorentz(1853-1928) definiując siłę nazwaną obecnie siłą Lorentza (14.3) W układzie SI stała proporcjonalności (k* =1). Reinhard Kulessa

Równanie (14.3) jest równocześnie definicją wektora indukcji magnetycznej B przez znane wielkości, siłę F, ładunek q, oraz prędkość v. W ogólnym przypadku na cząstkę o ładunku q poruszającą się w jakimś układzie współrzędnych działa siła: (14.4) Zauważając, że przewodnik z prądem zawiera poruszające się ładunki, możemy rozszerzyć prawo Lorentza (14.3) I dl B Reinhard Kulessa

Otrzymujemy wyrażenie na siłę działającą na element przewodu dl, przez który płynie prąd I. Jest to siła Biota – Savarta. (14.5) Analogicznie do strumienia pola elektrycznego możemy zdefiniować strumień wektora indukcji magnetycznej . dA B (14.6) Ze względu na to, że linie pola indukcji magnetycznej są zamknięte zgodnie z prawem Gaussa zachodzi: Reinhard Kulessa

(14.7) Rezultat ten jest niezależny od tego, czy powierzchnia A zawiera przewodniki, izolatory, ładunki, natężenia prądu, czy magnesy. Powierzchnia A z Ponieważ nie istnieją monopole magnetyczne, strumień pola indukcji magnetycznej przez powierzchnie A musi być równy zero. B N x S y Reinhard Kulessa

W oparciu o twierdzenie Ostrogradzkiego-Gaussa możemy napisać; (14.8) Równanie to jest spełnione dla każdej objętości , a więc również dla objętości d. Otrzymujemy więc; (14.9) Równanie (14.9) opisuje fundamentalną własność pola indukcji magnetycznej. Jest to pole bezźródłowe. Linie pola B nie mają ani początku ani końca. Tworzą one więc wiry. Dla natężenia pola elektrycznego zgodnie z równaniem (5.7) Reinhard Kulessa

Zgodnie z twierdzeniem Stokes’a możemy zdefiniować strumień Równanie (14.9) mówi nam, że nie ma rozdzielonych „ładunków” magnetycznych. Z bezźródłowości pola indukcji magnetycznej, którą inaczej nazywamy solenoidalnością wynika, że pole to charakteryzuje się pewnym potencjałem wektorowym A. Zakładamy, że potencjał ten też jest bezźródłowy, oraz że znika w nieskończoności . Definiujemy go następującym wzorem. (14.10) Zgodnie z twierdzeniem Stokes’a możemy zdefiniować strumień indukcji pola magnetycznego jako krążenie(cyrkulację) potencjału wektorowego A. (14.11) Reinhard Kulessa

14.2 Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego Rozważmy element przewodnika o długości dl, przekroju A, w którym płynie prąd, którego nośniki o ładunku q i o liczbie N w jednostce objętości, mają średnią prędkość v. Gęstość prądu j=Nqv, a natężenie prądu ma wartość I=Aj. Zakładamy, że ładunki poruszają się równolegle do przewodnika. P r  A dl I Jeśli w przewodniku znajduje się n nośników,to wytwarzają one pole Reinhard Kulessa

Wiemy, że n = N·d = N·A·dl,wobec tego Ponieważ zachodzi, że nqv=Idl, stąd; (14.10) Jest to prawo Biota-Savarta. Reinhard Kulessa

Chcemy znaleźć pole indukcji w punkcie 14.2.1 Pole indukcji magnetycznej pochodzące od nieskończenie długiego przewodnika z prądem. r = r0/sin Chcemy znaleźć pole indukcji w punkcie P oddalonym o r0 od przewodnika. P r0 I r Przyjmując, że przewodnik leży na osi x, mamy x/r0 = ctg  ⇒ dx = dl = -r0/sin2  ·d r = r0/sin  E od nieskończenie dl x Reinhard Kulessa

Po podstawieniach otrzymamy: Wektor indukcji w odległości r0 od przewodnika wynosi więc: Reinhard Kulessa

być prostopadły zarówno do dl jak i I. Policzyliśmy wartość wektora indukcji. Jaki zaś będzie jego kierunek? Musi on być prostopadły zarówno do dl jak i I. Ze względu na symetrię cylindryczną i fakt, że div B = 0, (muszą to być zamknięte linie), jedyną możliwością są koncentryczne okręgi wokół przewodnika. Stosuje się śruby regułę prawej tak jak na rysunku powyżej. r0 B(r0) 1. Policzmy cyrkulację wektora B po podanym okręgu. I d  Reinhard Kulessa

2. Policzmy cyrkulację dla dowolnej krzywej przestrzennej. Wynik ten nie zależy od wartości r0. Wartość indukcji B(r0) jest więc równa: . 2. Policzmy cyrkulację dla dowolnej krzywej przestrzennej. Rozkładamy element krzywej d. na składowe db, dz i dr. Do cyrkulacji przyczynek będzie pochodził tylko od elementu db, gdyż dz i dr są prostopadłe do B. Położenie pętli nie odgrywa więc żadnej roli. d db dz dr  I Reinhard Kulessa

Pętla  może obejmować wiele przepływających prądów. Zawsze wtedy jest słuszny wzór: I1 I2 I3 I IN  (14.11) Wzór (14.11) przedstawia prawo Ampera. Z prawa Ampera wynika, że prądy poza pętlą nie dają żadnego przyczynku do liczonej cyrkulacji. Należy również przyjąć negatywną wartość dla prądu IN, pamiętając o stosowaniu reguły prawej śruby. Reinhard Kulessa

Poniżej przedstawione są dwa przykłady dla innych konfiguracji przewodników.  I1 I2  I n Reinhard Kulessa

14.2.2 Prawo Ampera w postaci różniczkowej Zdefiniujmy sobie dowolne pole wektorów gęstości prądu j(r). Rozważmy pewną powierzchnię A ograniczoną pętlą . Należy przy tym zaznaczyć, że dla pętli  istnieje dowolnie wiele powierzchni A. Obliczając natężenie prądu przepływającego przez tą powierzchnię I, mamy: A dA d j(r)  Stosując znane nam prawo Stokes’a, możemy całkę krzywoliniową zamienić na całkę powierzchniową. Reinhard Kulessa

Równanie to jest słuszne dla każdej powierzchni reprezentowanej przez wektor dA, przez którą przepływa wektor gęstości prądu j. Jest więc również słuszna dla samej powierzchni dA. Możemy więc napisać: (14.12) Sformułowaliśmy prawo Ampera w postaci różniczkowej dla wektora indukcji magnetycznej B. W równaniu (14.12) wektor gęstości prądu j może być wywołany przez każdy rodzaj poruszającego się ładunku, gdyż każdy rodzaj prądu powoduje powstanie pola magnetycznego. Reinhard Kulessa

Nie jest więc ono polem zachowawczym. Przy czym jprzew= E, jmolek pochodzi od ruchu elektronów w atomach, a jpol ma swoje źródło w przesunięciu ładunku w dielektrykach na wskutek włączenia pola E. Widzimy tu wyraźnie, że zachodzi korelacja pomiędzy wektorami E i B. Równanie (14.12) mówi również, że pole B nie może być pochodną skalarnego potencjału U, gdyż rot(gradU)=0. Nie jest więc ono polem zachowawczym. Reinhard Kulessa

14.2.3 Potencjał wektorowy Wprowadźmy zdefiniowany w równaniu (14.10) potencjał wektorowy do prawa Ampera. Pamiętamy, że Wektor A jest wektorem solenoidalnym, wobec tego div A = 0. Z dwóch ostatnich równań otrzymujemy więc: (14.13) Reinhard Kulessa

Analogicznego rozwiązania powinniśmy poszukać dla potencjału Każda składowa tego równania jest odpowiednikiem równania Poissona dla potencjału skalarnego, które miało rozwiązanie (5.10) . Analogicznego rozwiązania powinniśmy poszukać dla potencjału wektorowego. Dla potencjału wektorowego otrzymamy; (14.14) Potencjał wektorowy A możemy wykorzystywać zamiast indukcji magnetycznej B, gdyż A ma kierunek prądu. Równanie to możemy też podać dla prądów powierzchniowych, liniowych i pojedynczych ładunków. Reinhard Kulessa

14.3 Pola magnetyczne wybranych konfiguracji przewodników W zależności od geometrii przewodnika do wyznaczania wektora indukcji stosujemy prawo Ampera lub Biota-Savarta. Rozważmy kilka takich konfiguracji. A). Długa cewka o małej średnicy (d<l). d  n zwoi Całka po konturze  ∫ Bl = 0NI. Więc Reinhard Kulessa

Na zewnątrz zwoi toroidu B = 0, bo B). Cewka toroidalna d ’’ ’  I Na zewnątrz zwoi toroidu B = 0, bo Reinhard Kulessa

Zgodnie z prawem Biota-Savarta dB ⊥ ds. oraz dB ⊥ r . C). Pole pętli kołowej Zauważmy, że zielony trójkąt jest prostopadły do pętli kołowej dB ds =a d r a r2=a2+z2  d z dBz Zgodnie z prawem Biota-Savarta dB ⊥ ds. oraz dB ⊥ r . Element prądu (ds, I) wytwarza pole dB. I Reinhard Kulessa

Po podstawieniu tych wartości i całkowaniu po całej pętli mamy: Możemy teraz rozważyć przypadki graniczne. Reinhard Kulessa

Wyrażenie na Bz dla z >> a możemy również napisać następująco: Widzimy więc, że w tym przypadku Bz ~ 1/z3 . Otrzymaliśmy więc taka samą zależność jak w przypadku elektrycznego momentu dipolowego. Wyrażenie na Bz dla z >> a możemy również napisać następująco: , (14.15) gdzie pM definiuje nam dipolowy moment magnetyczny pętli z prądem. S jest wektorem określającym powierzchnię pętli z prądem. S Reinhard Kulessa

14.3.1 Momenty magnetyczne atomów i jąder Rozważmy atom wodoru, w którym wokół dodatnio naładowanego protonu krąży elektron o masie me. + Prąd który płynie jest równy: , v I z r L pM a moment magnetyczny elektronu wynosi: Reinhard Kulessa

Krążący po orbicie elektron posiada moment pędu równy: Możemy więc magnetyczny moment dipolowy napisać jako: (14.16) g = -e/2me nosi nazwę czynnika giromagnetycznego i wynosi g = -0.8794023 1011 C kg-1. Jeśli policzymy w oparciu o wzór (14.16) moment magnetyczny wodoru w stanie podstawowym zdefiniujemy magneton Bohra B=(9.274078 0.00036) 10-24 A m2. Jądra atomowe, które składają się z neutronów i protonów, również posiadają momenty magnetyczne, których jednostką jest magneton jądrowy. J = (5.050824 ± 0.000020) 10-27 A m2. Reinhard Kulessa

14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i Biota-Savarta A). Ładunek w jednorodnym polu indukcji magnetycznej – cyklotron. Zakładamy, że B ⊥ v, oraz że ładunek porusza się w próżni. Nie ma więc zderzeń wpływających na ruch ładunku. v r FL Fo B Siła Lorentza FL = qvB. Siła ta jest prostopadła do prędkości, więc nie wykonuje pracy. Oznacza To, że Jedyny tor po którym może się poruszać ładunek przy stałej sile prostopadłej do prędkości jest okrąg. Reinhard Kulessa

Promień tego okręgu znajdziemy z warunku równowagi sił, siły Lorentza z siłą odśrodkową. (14.17) Promień ten dla stałego B i ładunku q zależy tylko od pędu cząstki. Wyrażenie Br nazywamy sztywnością magnetyczną. Częstość obiegu orbity zwana częstością cyklotronową jest równa: (14.18) Częstość obiegu nie zależy od r tak długo, jak długo promień nie zmienia się relatywistyczna masa. Reinhard Kulessa

B). Efekt Halla Załóżmy, że mamy cienką (małe b) płytkę przewodzącą w polu indukcji magnetycznej , tak jak na poniższym rysunku. + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - I B b a z e- FL vD VH Elektrony przewodnictwa, które poruszają się ze średnią prędkością dryfu vD, są odchylane w kierunku z. Reinhard Kulessa

Z teorii przewodnictwa elekronowego pamiętamy, że Wraz z upływającym czasem wzrasta różnica potencjałów pomiędzy „górną” a „dolną” częścią przewodnika. Pojawia się więc siła wynikająca z tej różnicy potencjałów. Jest ona skierowana przeciwnie do siły Lorentza. Wyrównanie się tych dwóch sił prowadzi do stanu równowagi. Z teorii przewodnictwa elekronowego pamiętamy, że Otrzymujemy więc na różnicę potencjałów generowaną w efekcie Halla (14.19) Reinhard Kulessa

C). Siła działająca pomiędzy równoległymi przewodnikami W miejscu, gdzie znajduje się przewodnik I2 wartość indukcji magnetycznej jest równa I F I1 I2 dF r0 dl B(r0) I F Reinhard Kulessa

Poniżej mamy przedstawiony widok linii indukcji wokół przewodników. x F Silne pole B Rysunki:D. Kasprzak@auckland.ac.nz I1 I2 F Słabe pole B Reinhard Kulessa

Siła działająca na jednostkę długości przewodnika wynosi; Siła działająca na element długości przewodnika I2 wynosi zgodnie z prawem Faraday’a: . Siła działająca na jednostkę długości przewodnika wynosi; (14.19) Na podstawie równania (14.19) stwierdzamy, że gdy w obydwu przewodnikach odległych od siebie o 1 m płynie prąd o natężeniu 1A, działa pomiędzy nimi siła 2·10-7 N/m Reinhard Kulessa

. D). Moment obrotowy pętli z prądem A F+ MD B + B  A B b sin Umieszczamy ramkę z prądem o natężeniu I w polu indukcji magnetycznej skierowanej prostopadle do pokazanej osi ramki. Na odcinki równoległe do osi ramki działa siła Lorentza. Dwie działające siły tworzą parę sił z momentem obrotowym MD. Reinhard Kulessa

Siła działa na odcinki ramki równoległe do osi obrotu i jest ona równa: . Moment obrotowy MD stara się ustawić powierzchnię ramki A równolegle do wektora indukcji magnetycznej B . Iloczyn można przedstawić jako . Ponieważ MD ⊥ A i B możemy napisać: (14.20) Równanie to jest słuszne dla każdej pętli, gdyż zawsze możemy ją rozłożyć na odcinki prostopadłe i równoległe do osi obrotu. Reinhard Kulessa

Ostatni przykład ma bardzo szerokie zastosowania m. in Ostatni przykład ma bardzo szerokie zastosowania m.in. w przyrządach pomiarowych z ruchomą szpulą, silnikach prądu stałego, oraz przy magnetyzowaniu materii. Oddziaływanie pomiędzy poruszającymi się ładunkami a wektorem indukcji magnetycznej ma również zastosowanie w tzw. Kole Barlow’a oraz w pompach elektromagnetycznych. Reinhard Kulessa