Wykład 10 8. Materia w polu elektrycznym cd. pol Zastanówmy się nad faktem wzrostu pojemności kondensatora, do wnętrza którego włożyliśmy dielektryk. Jak wytłumaczyć fakt zmniejszenia się natężenia pola elektrycznego wewnątrz kondensatora. Według prawa Gaussa strumień natężenia pola elektrycznego jest bezpośrednio związany z ładunkiem wewnątrz powierzchni A dla której ten strumień liczymy. Zmniejszenie się natężenia pola oznacza że wypadkowy ładunek wewnątrz powierzchni A jest mniejszy niż wtedy gdy nie ma tam dielektryka. Wynika stąd, że na powierzchni dielektryka wewnątrz powierzchni A muszą być ładunki ujemne. A + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – E0 E pol + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – Reinhard Kulessa

Również w tym przypadku zaobserwujemy wzrost pojemności kondensatora. Ładunków jest mniej niż dodatnich, gdyż pole nie znika zupełnie. Na drugiej powierzchni izolatora wytwarza się ładunek dodatni. Ładunek pojawiający się na izolatorze umieszczonym w polu elektrycznym nazywamy ładunkiem polaryzacyjnym. Pojawianie się tego ładunku związane jest z indukowaniem się i uszeregowaniem dipoli elektrycznych w dielektryku, lub tylko uszeregowaniem istniejących dipoli. Gdybyśmy pomiędzy okładki kondensatora włożyli przewodnik, to ładunek polaryzacyjny byłby identyczny jak ten na okładkach. Pole wewnątrz przewodnika byłoby równe 0. Pole istniałoby tylko w małych szczelinach między okładkami a przewodnikiem. + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – Również w tym przypadku zaobserwujemy wzrost pojemności kondensatora. E0 E + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – Reinhard Kulessa

8.1 Wektor polaryzacji P W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników ładunki nie mogą się swobodnie poruszać. Jednak w atomach i cząsteczkach może nastąpić przemieszczenie się ładunku pod wpływem pola elektrycznego. Na wskutek działania pola nastąpiło przesunięcie ładunków o . E - - - - - - - - - - - - -  + - - - - + - - - - Pod wpływem pola elektrycznego następuje również przesunięcie jonów w kryształach. Istnieją również cząsteczki posiadające moment dipolowy wynikający z ich struktury. Dipole te polaryzują się pod wpływem pola E. Reinhard Kulessa

Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np. CO, SO2, H2O, HCl, NH3, C2H5OH. H+ H+ Cl- 1050 pe =3.4·10-30 C·m H+ pe =6.2·10-30 C·m Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek przesunie się o , to moment dipolowy będzie równy p = q . Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów które mogą polaryzować, to moment dipolowy na jednostkę objętości (8.1) Reinhard Kulessa

Wektor P nazywamy wektorem polaryzacji. promień a -Ze +Ze Zastanówmy się od czego ten wektor zależy. Przesunięty o  ładunek Ze oddziaływuje tylko z częścią chmury elektronowej o promieniu . F2 F1 E  Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku polaryzacyjnego ma wartość: Ze jest ładunkiem całej kuli o promieniu a. Reinhard Kulessa

Równowaga nastąpi wtedy gdy . Oznacza to, że Widać więc, że moment dipolowy jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola polaryzującego. Jest tak przynajmniej dla niedużych pól. 8.2 Ładunek polaryzacyjny Wewnątrz dielektryka wprowadzonego do kondensatora pojawi się ładunek polaryzacyjny. Rozważmy płytkę dielektryka umieszczoną w jednorodnym polu elektrycznym Reinhard Kulessa

E + + + + + + + + + + + - ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± P – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + - ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± P – – – – – – – – – – Pole powierzchni A  Widzimy, że na wskutek polaryzacji dielektryka w polu elektrycznym następuje przesuniecie się ładunku. Na powierzchni A pojawia się ładunek . Reinhard Kulessa

Gęstość powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego wynosi więc: . (8.2) Jest to dokładnie bezwzględna wartość wektora polaryzacji | |P| , (patrz r. (8.1)), czyli (8.3) Widzimy więc, że gęstość powierzchniowa ładunku na powierzchni dielektryka jest równa wartości wektora polaryzacji w jego wnętrzu. Rozważmy jeszcze raz naładowany kondensator wypełniony dielektrykiem. Reinhard Kulessa

A + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – pol swob – – – – – – – – – – pol swob + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – W celu znalezienia wypadkowego natężenia pola elektrycznego, zastosujmy do zaznaczonej czerwonej powierzchni Prawo Gaussa . Reinhard Kulessa

Korzystając z równania (8.3) otrzymujemy: (8.4) Pamiętamy, że wektor polaryzacji dielektryka P zależy od natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E. Tą zależność zapisuje się zwykle w postaci: (8.5) Wielkość  nazywamy podatnością elektryczną dielektryka. Podatność elektryczna nie zawsze musi być liczbą.W wielu przypadkach jest wielkością tensorową. Gdy mamy cząsteczkę o wyróżnionej osi symetrii ( nie sferę), to można się spodziewać się innego przesunięcia ładunku wzdłuż osi Reinhard Kulessa

Wzór (8.4) możemy napisać następująco: E E P Cząsteczki niż w kierunku prostopadłym do niej. Zachodzi to np. dla cząsteczki CO2. O O C Może być tak, że:   Widzimy więc, że wektor polaryzacji może nie być równoległy do wektora pola elektrycznego. Wzór (8.4) możemy napisać następująco: E E P P E|| P|| Reinhard Kulessa

Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn. Gdzie, Element xz oznacza, że składowa Ex natężenia pola elektrycznego daje przyczynek do składowej Pz wektora polaryzacji, itp.. Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn. xy = yx, xz = zx , zy = yz . Reinhard Kulessa

Tensor ten jest więc opisany przez sześć elementów. Można znaleźć układ współrzędnych w którym  jest tensorem diagonalnym. Po tych uwagach wróćmy do wzorów (8.4) i (8.5). W oparciu o te wzory możemy napisać: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: (8.6) Widzimy więc, że E < Eswob. Wielkość (8.7) Wielkość  nazywamy stałą dielektryczną lub przenikalnością elektryczną ośrodka. Reinhard Kulessa

8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji Korzystając z wzoru (8.6) możemy napisać wyrażenie na pojemność kondensatora płaskiego wypełnionego dielektrykiem. 8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji Niejednorodna polaryzacja zachodzi wtedy, gdy polaryzacja zmienia się od miejsca do miejsca, czyli. Należy więc oczekiwać, że wewnątrz dielektryka pojawi się jakaś gęstość ładunku 0, gdyż przez część powierzchni ograniczającej obszar o małej objętości może wejść więcej ładunku niż wyjść przez drugą jej część. Reinhard Kulessa

Ilość ładunku przechodzącego przez powierzchnię jest maksymalna gdy wektor polaryzacji P do powierzchni a minimalna, gdy jest on równoległy do powierzchni. Możemy to napisać w następujący sposób: (8.8) Wektor n jest wektorem prostopadłym do powierzchni ograniczającej objętość, który rozważamy. Ładunek przesunięty na zewnątrz obszaru o objętości  pozostawia w środku ładunek przeciwnego znaku Z drugiej strony ładunek Qpol możemy przypisać przestrzennemu ładunkowi polaryzacyjnemu o gęstości pol Reinhard Kulessa

Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej otrzymujemy: Jeśli tak się zdarzy, to w przypadku niezerowej gęstości ładunku polaryzacyjnego można powiązać tą gęstość z wektorem polaryzacji przez Prawo Gaussa. Otrzymujemy wtedy: (8.9) dA = n dA jest wektorem reprezentującym powierzchnię w której zawiera się ładunek polaryzacyjny. Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej otrzymujemy: Z tych dwóch równań mamy, że (8.10) Równanie (8.10) przedstawia różniczkową postać Prawa Gaussa dla dielektryków. Reinhard Kulessa

8.4 Równania elektrostatyki w dielektrykach Prawo Gaussa w formie całkowej ma następującą postać: (8.11) Można to również zapisać tak: (8.12) Forma różniczkowa Prawa Gaussa wygląda następująco: (8.13) . Reinhard Kulessa

Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy: (8.14) W oparciu o wzór (8.7) otrzymujemy: , (8.15) oraz (8.16) . Reinhard Kulessa

Należy pamiętać, że  i  są tensorami. 8.5 Wektor przesunięcia D Ze względów historycznych przyjęło się wprowadzać wektor D zwany wektorem przesunięcia zdefiniowany następująco: (8.17) Wprowadzając do tego wzoru wyrażenie na polaryzację z wzoru (8.5) możemy napisać: (8.19) Współczynnik  ( (1+)) nazywamy względną przenikalnością dielektryczną ośrodka. Należy pamiętać, że  i  są tensorami. Reinhard Kulessa

Wszystkie dotychczasowe rozważania nie wpływają na zachowawczość pola E . Dalej słuszne jest równanie rot E = 0. Równanie to razem z prawem Gaussa w formie różniczkowej pozwala wyznaczyć pole E z dokładnością do stałej addytywnej. Równania (8.15) i (8.16) po wprowadzeniu wektora D przechodzą odpowiednio w: (8.20) Reinhard Kulessa

8.6 Dielektryk z trwałymi momentami dipolowymi W rozdziałach (5.7.4) i (5.9) omówiliśmy własności dipola i jego oddziaływanie z polem elektromagnetycznym. Przyłożone pole elektryczne może uszeregować dipole. To porządkujące działanie pola jest niszczone przez ruchy termiczne. Można więc przypuszczać, że stopień uporządkowania dielektryka polarnego będzie określony przez relację pomiędzy energią potencjalną uzyskiwaną przez działania zewnętrznego pola o natężeniu E, a energią kinetyczna ruchu termicznego. W równaniu (5.32) stwierdziliśmy, że energia potencjalna dipola umieszczonego w polu o natężeniu E jest dane przez : Reinhard Kulessa

W oparciu o mechanikę statystyczną, w stanie równowagi termicznej liczba cząstek o energii potencjalnej Ep jest proporcjonalna do , gdzie T jest temperaturą w skali bezwzględnej, a k- jest stałą Bolzmana. Okazuje się, że w polarnym dielektryku, w jednostkowym kącie bryłowym d liczba cząsteczek n() odchylonych o kąt  od kierunku pola elektrycznego E jest równa: Dla zwykłych temperatur i pól wykładnik ten jest mały. Można więc eksponentę rozwinąć w szereg. (8.21) Reinhard Kulessa

W oparciu o powyższy wzór całkowita liczba cząsteczek w rozważanej objętości jest równa: bo całka z cos() po całej objętości jest równa zero. Z równania (8.21) wynika, że więcej cząstek będzie miało ustawione momenty dipolowe równolegle do pola zewnętrznego E niż antyrównolegle . W materiale pojawi się więc pewien wypadkowy moment dipolowy. Wypadkowa polaryzacja |P| będzie więc równa: Reinhard Kulessa

Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie , otrzymamy, Pamiętając od czego zależy n() , całkowitą polaryzację otrzymamy całkując po kątowej zależności elementu objętości d, czyli po sin d d. Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie , otrzymamy, Korzystając z całki otrzymujemy: Reinhard Kulessa

Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=), otrzymujemy, że: (8.22) Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=), otrzymujemy, że: (8.23) . Polaryzacja dielektryka polarnego jest proporcjonalna do przyłożonego natężenia pola elektrycznego i odwrotnie proporcjonalna do temperatury. Zależność polaryzacji od 1/T nazywamy prawem Curie. Widzimy również, że dla dielektryków polarnych podatność dielektryczna czy też stała dielektryczna jest malejącą funkcją temperatury T. Reinhard Kulessa

Ten kąt jest miarą polaryzacji, gdyż  Ten kąt jest miarą polaryzacji, gdyż 1 1/T Pomiar  dla różnych temperatur pozwala ustalić czy mamy do czynienia z dielektrykiem polarnym czy nie. Reinhard Kulessa