8.1 Wektor polaryzacji P W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników ładunki nie mogą się swobodnie poruszać. Jednak w atomach i cząsteczkach może nastąpić przemieszczenie się ładunku pod wpływem pola elektrycznego. - +  E Na wskutek działania pola nastąpiło przesunięcie ładunków o . Pod wpływem pola elektrycznego następuje również przesunięcie jonów w kryształach. Istnieją również cząsteczki posiadające moment dipolowy wynikający z ich struktury. Dipole te polaryzują się pod wpływem pola E. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np Przykładem struktur posiadających moment dipolowych są np. CO, SO2, H2O, HCl, NH3, C2H5OH. H+ H+ Cl- 1050 pe =3.4·10-30 C·m H+ pe =6.2·10-30 C·m Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek przesunie się o , to moment dipolowy będzie równy p = q . Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów które mogą się polaryzować, to moment dipolowy na jednostkę objętości (8.1) 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Wektor P nazywamy wektorem polaryzacji. promień a -Ze +Ze Zastanówmy się od czego ten wektor zależy. Przesunięty o  ładunek Ze oddziałuje tylko z częścią chmury elektronowej o promieniu . F2 F1 E  Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku polaryzacyjnego ma wartość: Ze jest ładunkiem całej kuli o promieniu a. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Równowaga nastąpi wtedy gdy . Oznacza to, że Widać więc, że moment dipolowy jest proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola polaryzującego. Jest tak przynajmniej dla niedużych pól. 8.2 Ładunek polaryzacyjny Wewnątrz dielektryka wprowadzonego do kondensatora pojawia się ładunek polaryzacyjny. Rozważmy płytkę dielektryka umieszczoną w jednorodnym polu elektrycznym 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

E + + + + + + + + + + + - ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± P – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + - ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± P – – – – – – – – – – Pole powierzchni A  Widzimy, że na wskutek polaryzacji dielektryka w polu elektrycznym następuje przesuniecie się ładunku. Na powierzchni A pojawia się ładunek . 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Gęstość powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego wynosi więc: . (8.2) Jest to dokładnie bezwzględna wartość wektora polaryzacji |P| , (patrz r. (8.1)), czyli (8.3) Widzimy więc, że gęstość powierzchniowa ładunku na powierzchni dielektryka jest równa wartości wektora polaryzacji w jego wnętrzu. Rozważmy jeszcze raz naładowany kondensator wypełniony dielektrykiem. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

A + + + + + + + + + + + + – – – – – – – – – – pol swob – – – – – – – – – – pol swob + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – W celu znalezienia wypadkowego natężenia pola elektrycznego, zastosujmy do zaznaczonej czerwonej powierzchni Prawo Gaussa . 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Korzystając z równania (8.3) otrzymujemy: (8.4) Pamiętamy, że wektor polaryzacji dielektryka P zależy od natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E. Tą zależność zapisuje się zwykle w postaci: (8.5) Wielkość  nazywamy podatnością elektryczną dielektryka. Podatność elektryczna nie zawsze musi być liczbą.W wielu przypadkach jest wielkością tensorową. Gdy mamy cząsteczkę o wyróżnionej osi symetrii ( nie sferę), to można się spodziewać się innego przesunięcia ładunku wzdłuż osi 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Wzór (8.4) możemy napisać następująco: E E P cząsteczki niż w kierunku prostopadłym do niej. Zachodzi to np. dla cząsteczki CO2. O O C Może być tak, że: Widzimy więc, że wektor polaryzacji może nie być równoległy do wektora pola elektrycznego. Wzór (8.4) możemy napisać następująco: E E P P E|| P|| 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn. Gdzie, Element xz oznacza, że składowa Ex natężenia pola elektrycznego daje przyczynek do składowej Pz wektora polaryzacji, itp.. Zwykle tensor podatności elektrycznej jest symetryczny, tzn. xy = yx, xz = zx , zy = yz . 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Tensor ten jest więc opisany przez sześć elementów. Można znaleźć układ współrzędnych w którym  jest tensorem diagonalnym. Po tych uwagach wróćmy do wzorów (8.4) i (8.5). W oparciu o te wzory możemy napisać: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: (8.6) Widzimy więc, że E < Eswob. Wielkość (8.7) Wielkość  nazywamy stałą dielektryczną lub przenikalnością elektryczną ośrodka. Reinhard Kulessa

8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji Korzystając z wzoru (8.6) możemy napisać wyrażenie na pojemność kondensatora płaskiego wypełnionego dielektrykiem. 8.3 Ładunek polaryzacyjny dla niejednorodnej polaryzacji Niejednorodna polaryzacja zachodzi wtedy, gdy polaryzacja zmienia się od miejsca do miejsca, czyli. Należy więc oczekiwać, że wewnątrz dielektryka pojawi się jakaś gęstość ładunku   0, gdyż przez część powierzchni ograniczającej obszar o małej objętości może wejść więcej ładunku niż wyjść przez drugą jej część. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Ilość ładunku przechodzącego przez powierzchnię jest maksymalna gdy wektor polaryzacji P do powierzchni a minimalna, gdy jest on równoległy do powierzchni. Możemy to napisać w następujący sposób: (8.8) Wektor n jest wektorem prostopadłym do powierzchni ograniczającej objętość, który rozważamy. Ładunek przesunięty na zewnątrz obszaru o objętości  pozostawia w środku ładunek przeciwnego znaku Z drugiej strony ładunek Qpol możemy przypisać przestrzennemu ładunkowi polaryzacyjnemu o gęstości pol 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej otrzymujemy: Jeśli tak się zdarzy, to w przypadku niezerowej gęstości ładunku polaryzacyjnego można powiązać tą gęstość z wektorem polaryzacji przez Prawo Gaussa. Otrzymujemy wtedy: (8.9) dA = dA n jest wektorem reprezentującym powierzchnię w której zawiera się ładunek polaryzacyjny. Stosując twierdzenie Gaussa do całki powierzchniowej otrzymujemy: Z tych dwóch równań mamy, że (8.10) Równanie (8.10) przedstawia różniczkową postać Prawa Gaussa dla dielektryków. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

8.4 Równania elektrostatyki w dielektrykach Prawo Gaussa w formie całkowej ma następującą postać: (8.11) Można to również zapisać tak: (8.12) Forma różniczkowa Prawa Gaussa wygląda następująco: (8.13) . 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy: (8.14) W oparciu o wzór (8.7) otrzymujemy: , (8.15) oraz (8.16) . 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Należy pamiętać, że  i  są wielkościami tensorowymi. 8.5 Wektor przesunięcia D Ze względów historycznych przyjęło się wprowadzać wektor D zwany wektorem przesunięcia zdefiniowany następująco: (8.17) Wprowadzając do tego wzoru wyrażenie na polaryzację z wzoru (8.5) możemy napisać: (8.19) Współczynnik  ( (1+)) nazywamy względną przenikalnością dielektryczną ośrodka. Należy pamiętać, że  i  są wielkościami tensorowymi. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Wszystkie dotychczasowe rozważania nie wpływają na zachowawczość pola E . Dalej słuszne jest równanie rot E = 0. Równanie to razem z prawem Gaussa w formie różniczkowej pozwala wyznaczyć pole E z dokładnością do stałej addytywnej. Równania (8.15) i (8.16) po wprowadzeniu wektora D przechodzą odpowiednio w: (8.20) 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

8.6 Dielektryk z trwałymi momentami dipolowymi W rozdziałach (5.7.4) i (5.9) omówiliśmy własności dipola i jego oddziaływanie z polem elektromagnetycznym. Przyłożone pole elektryczne może uszeregować dipole. To porządkujące działanie pola jest niszczone przez ruchy termiczne. Można więc przypuszczać, że stopień uporządkowania dielektryka polarnego będzie określony przez relację pomiędzy energią potencjalną uzyskiwaną przez działania zewnętrznego pola o natężeniu E, a energią kinetyczna ruchu termicznego. W równaniu (5.32) stwierdziliśmy, że energia potencjalna dipola umieszczonego w polu o natężeniu E jest dane przez : 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

W oparciu o mechanikę statystyczną, w stanie równowagi termicznej liczba cząstek o energii potencjalnej Ep jest proporcjonalna do , gdzie T jest temperaturą w skali bezwzględnej, a k- jest stałą Bolzmana. Okazuje się, że w polarnym dielektryku, w jednostkowym kącie bryłowym d liczba cząsteczek n() odchylonych o kąt  od kierunku pola elektrycznego E jest równa: Dla zwykłych temperatur i pól wykładnik ten jest mały. Można więc eksponentę rozwinąć w szereg. (8.21) 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

W oparciu o powyższy wzór całkowita liczba cząsteczek w rozważanej objętości jest równa: bo całka z cos() po całej objętości jest równa zero. Z równania (8.21) wynika, że więcej cząstek będzie miało ustawione momenty dipolowe równolegle do pola zewnętrznego E niż antyrównolegle . W materiale pojawi się więc pewien wypadkowy moment dipolowy. Wypadkowa polaryzacja |P| będzie więc równa: 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie , otrzymamy, Pamiętając od czego zależy n() , całkowitą polaryzację otrzymamy całkując po kątowej zależności elementu objętości d, czyli po sin d d. Po podstawieniu wartości n() i wycałkowaniu po kącie , otrzymamy, Korzystając z całki otrzymujemy: 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=), otrzymujemy, że: (8.22) Zgodnie z wzorami (8.5) (P=0E) i (8.7) (1+=), otrzymujemy, że: (8.23) . Polaryzacja dielektryka polarnego jest proporcjonalna do przyłożonego natężenia pola elektrycznego i odwrotnie proporcjonalna do temperatury. Zależność polaryzacji od 1/T nazywamy prawem Curie. Widzimy również, że dla dielektryków polarnych podatność dielektryczna czy też stała dielektryczna jest malejącą funkcją temperatury T. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Ten kąt jest miarą polaryzacji, gdyż  Ten kąt jest miarą polaryzacji, gdyż 1 1/T Pomiar  dla różnych temperatur pozwala ustalić czy mamy do czynienia z dielektrykiem polarnym czy nie. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

8.7 Dielektryk z indukowanymi momentami dipolowymi W dielektrykach, w których dipole są indukowane ruch termiczny nie ma tak dużego znaczenia jak dla dielektryków polarnych. W takich dielektrykach niepolarnych, przemieszczenie rozkładu elektronów, które wywołuje indukowany moment dipolowy nazywamy polaryzację elektronową. Moment dipolowy takiej cząsteczki jest proporcjonalny do pola lokalnego elektrycznego i wyraża się go zwykle jako: (8.24) Stała a jest tzw. polaryzowalnością atomu i ma wymiar objętości (L3). Jest ona miarą tego, jak łatwo pole elektryczne 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

= + indukuje moment dipolowy w atomie. Jeżeli rozważymy np.. ciecz, to możemy uważać, że atom spolaryzowany, który dostarcza dodatkowego pola elektrycznego, jest otoczony innymi atomami, a sam znajduje się w czymś, co można uważać jako „wydrążenie kuliste”. Pole w dowolnym punkcie A w dielektrykach można uważać za sumę pola lokalnego w kulistej wnęce i pola pochodzącego od kulki mającej rozmiary tej wnęki. A = + p p p E Ekul Elok 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Jeśli E opisuje jednorodne pole w dielektryku, to możemy napisać, że . Można pokazać, że dla jednorodnie spolaryzowanej kulki pole Ekul przyjmuje wartość: Patrz np.. Wróblewski,Zakrzewski, t.II, cz.2, str.119. Otrzymujemy więc, że pole lokalne; Całkowita polaryzacja atomów w omawianym dielektryku będzie równa; 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Jest to równanie Clausiusa-Mossotti’ego. Stąd otrzymujemy, że (8.25) Pamiętając, że , otrzymujemy . (8.26) Jest to równanie Clausiusa-Mossotti’ego. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

inaczej niż dla dielektryków polarnych. Równanie to wiąże stałą dielektryczną  z polaryzowalnością atomu a . Pokazuje ono również, że  nie zależy od temperatury, inaczej niż dla dielektryków polarnych. 8.8 Dielektryki stałe Niektóre z ciał stałych mogą mieć trwałą polaryzację nawet bez istnienia pola polaryzującego elektrycznego. Przykładem takiego ciała jest wosk , który jeśli roztopimy i pozwolimy mu zestalić się w polu elektrycznym, nabędzie trwałej polaryzacji. Ciało takie nazywają się elektretami. Innym ciekawym zjawiskiem jest tzw. Seignetto-elektryczność, lub ferroelektryczność. Jest to elektryczny odpowiednik ferromagnetyzmu, o którym będziemy mówili w dalszej części wykładu. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

W ciałach tych istnieją tzw W ciałach tych istnieją tzw. domeny, gdzie elementarne momenty dipolowe są ustawione zgodnie. Dlatego poniżej pewnej temperatury (tzw. Temperatury Curie), gdy ruchy termiczne nie burzą tego uporządkowania, zachowują się one podobnie jak ferromagnetyki. Zjawisko to wykryto dla soli Seignetta, czyli dla winianu sodowo-potasowego-NaKC4H4O6·4H2O). Obecnie najbardziej znanym ferroelektrykiem jest tytanian baru-BaTiO3.Charakteryzuje się on tym,że wektor polaryzacji P nie jest liniową funkcją natężenia pola elektrycznego E i silnie zależy od przyłożonego potencjału. Materiały ferroelektryczne charakteryzują się bardzo dużą wartością stałej dielektrycznej, nawet rzędu 100 000. P E 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Podana powyżej zależność jest określona prawem Curie-Weissa. Dla tytanianu baru zależność stałej dielektrycznej od temperatury jest następująca: Dla tytanianu baru ferroelektryczność zanika powyżej temperatury T=485 K, a stała C =1.8 105 K. Podana powyżej zależność jest określona prawem Curie-Weissa. P W ferroelektrykach występuje również zjawisko histerezy. E 25 marca 2003 Reinhard Kulessa

Wspomnijmy jeszcze kilka innych zjawisk zachodzących dla dielektryków. Piezoelektryczność- pojawianie się pola elektrycznego w wyniku odkształcenia mechanicznego. Pirroelektryczność – pojawianie się pola elektrycznego w wyniku np. podgrzania. (turmaliny). Elektrostrykcja - mechaniczne deformowanie się materiału po umieszczeniu w polu elektrycznym np.. kwarc. 25 marca 2003 Reinhard Kulessa