Wykład 25 11.5.1 Fale płaskie c.d. 11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali 11.5.3 Fale kuliste 11.6 Energia fali 11.7 Interferencja fal 11.7.1 Fala stojąca 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek 11.5.1 Fale płaskie c.d. Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których wartość (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie  = 0  = - A lub bardziej ogólnie; . Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek 13-01-2009 Reinhard Kulessa

(r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości  powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o  w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek. Rysunek ten przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco; , ^ Gdzie k jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego. W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać; . 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Wartość wektora falowego jest dana przez; lub (11.4) . Wartość wektora falowego jest dana przez; . Zachodzi również warunek; . W tym rozdziale rozważaliśmy fale płaskie zmieniające wychylenie w sposób sinusoidalny. Należy pamiętać, że fale harmoniczne mogą w prosty sposób zostać wywołane przez drgania oscylatora harmonicznego. Również każda fala przestrzenna może zostać przedstawiona jako kombinacja fal płaskich, z których każda posiada własną amplitudę i kierunek rozchodzenia się. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali W poprzednim podrozdziale omawialiśmy falę płaską, która jako jedyna z pośród wszystkich fal trójwymiarowych rozprzestrzenia się nie zmieniając kształtu jak długo tylko ośrodek nie ma dyspersji (prędkość fali zależy od częstości fali). Pokażemy, że fala taka jest jednym z rozwiązań trójwymiarowego równania różniczkowego fali. Ażeby takie równanie napisać, wystarczy uogólnić równanie (11.3). Równanie takie we współrzędnych kartezjańskich powinno być symetryczne ze względu na współrzędne x, y i z. Równanie (11.4) jest jednym z rozwiązań szukanego równania różniczkowego fali. Obliczmy dla wszystkich współrzędnych pochodne cząstkowe zaburzenia  analogicznie do równania (11.3). Otrzymujemy wtedy; 13-01-2009 Reinhard Kulessa

, (11.5) oraz . (11.6) Spełniony jest tu również warunek . Pamiętając, że v=/k otrzymujemy po wysumowaniu; . (11.7) 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Równanie (11.7) przedstawia trójwymiarowe różniczkowe równanie fali. Pamiętając definicję operatora Laplace’a możemy napisać; . (11.8) Równanie (11.8) posiada rozwiązania w postaci równania (11.4). Można pokazać, że również następujące równania; , przedstawiające fale płaskie są rozwiązaniami równania (11.8). Rozwiązaniem będzie również liniowa kombinacja tych dwóch fal płaskich. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Bez przeszkód potrafimy wyobrazić sobie falę rozchodzącą się 11.5.3 Fale kuliste Bez przeszkód potrafimy wyobrazić sobie falę rozchodzącą się po powierzchni wody po wrzuceniu do niej kamienia. Wokół punktu trafienia kamienia w wodę rozchodzą się dwuwymiarowe fale kuliste. Trójwymiarową falę możemy sobie wyobrazić wtedy gdy umieścimy wewnątrz objętości cieczy pulsującą radialnie kuleczkę od której rozchodzić będą się fale sferyczne. Identycznie będzie w przypadku pulsującego punktowego źródła światła. Czoła fal tworzą w tym przypadku koncentryczne czasze kuliste o rosnącej średnicy w miarę rozprzestrzeniania się w przestrzeni. Fale takie najlepiej jest opisać w układzie sferycznym. Rozchodzące się zaburzenie jest izotropowe i zależy tylko od odległości od źródła. Funkcja określająca zaburzenie jest więc zależna tylko od odległości od źródła fali; . 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Równanie falowe analogiczne do równania (11.3) otrzymujemy Wynik działania operatora Laplace’a na tę funkcję jest następujący;( Patrz dodatek na końcu wykładu) . (11.9) Równanie falowe analogiczne do równania (11.3) otrzymujemy jako wyrażenie; . (11.10) Równanie (11.10) jest różniczkowym równaniem falowym jednowymiarowej fali, gdzie r jest współrzędną położenia, a iloczyn (r) przedstawia funkcję falową. Rozwiązaniem równania (11.10) jest; 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Ogólne rozwiązanie różniczkowego równania fali kulistej dane . (11.11) Ogólne rozwiązanie różniczkowego równania fali kulistej dane jest przez wyrażenie; . (11.12) Szczególnym rozwiązaniem tego równania jest harmoniczna fala kulista, . (11.13) Stała A oznacza natężenie źródła. Równanie to przedstawia dla każdego czasu zbiór koncentrycznych kul wypełniających całą przestrzeń. Każda powierzchnia o stałej fazie jest dana przez 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Amplituda fali kulistej jest zależna od r, przy czym czynnik 1/r można uważać za czynnik tłumiący. Kształt fali zmienia się więc wraz ze wzrostem odległości od źródła. Widzimy, że amplituda fali kulistej zmniejsza się wraz odległością. Wrócimy jeszcze do tego problemu. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

to znajdziemy, że prędkość v jest równa 11.6 Energia fali Energia ośrodka w którym rozchodzi się fala sprężysta (podłużna) składa się z energii kinetycznej i potencjalnej. Mamy, gdzie . Jeżeli mamy np. falę; , to znajdziemy, że prędkość v jest równa . Energia kinetyczna jest więc równa; 13-01-2009 Reinhard Kulessa

. (11.14) Jeśli policzymy energię potencjalną związaną z odkształceniem, to otrzymamy; . Wprowadzając do ostatniego wzoru współczynnik sprężystości równy odwrotności modułu Younga =1/E, mamy; . Wielkość l/l możemy przedstawić jako d/dx, gdzie d jest to różnica wychyleń cząstek odległych o dx. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Wiemy, że prędkość fali w ośrodku sprężystym jest równa; wtedy . (11.15) Widzimy, że energia kinetyczna i potencjalna znajdują się w tej samej fazie, tzn. , że osiągają w tym samym czasie minimum jak i maksimum. . Wiemy, że prędkość fali w ośrodku sprężystym jest równa; , 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Na średnią wartość energii w czasie, otrzymujemy; Możemy więc wyrażenie na energię przenoszoną przez falę sprężystą napisać jako; . (11.16) Wprowadźmy do naszych rozważań gęstość energii Є, czyli energię przypadającą na jednostkę objętości, wtedy; . Na średnią wartość energii w czasie, otrzymujemy; . (11.17) 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Średni strumień mocy definiujemy jako; Ze względu na to, że energia nie jest w danym obszarze zlokalizowana, lecz się w ośrodku przenosi, można wprowadzić do rozważań pojęcie strumienia energii. Przez strumień energii  przechodzący przez daną powierzchnię S będziemy rozumieli wielkość równą liczbowo ilości energii przechodzącej przez daną powierzchnię w ciągu jednostki czasu. Jeżeli za jednostkę czasu weźmiemy jeden okres fali T, to strumień energii wynosi; v·T S  . Średni strumień mocy definiujemy jako; . 13-01-2009 Reinhard Kulessa

nazywamy wektorem Poyntinga. Zdefiniujemy jeszcze gęstość strumienia mocy u zwany również natężeniem fali I. . (11.18) Ponieważ prędkość v jest wektorem, to gęstość strumienia mocy można również rozpatrywać jako wielkość wektorową skierowaną zgodnie z prędkością rozchodzącej się fali. Wektor (11.18a) nazywamy wektorem Poyntinga. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Wróćmy do problemu rozchodzenia się fal kulistych. Rozpatrzmy falę: r1 r2 Średnia gęstość strumienia mocy fali P1 przechodzącej przez powierzchnię S1 jest w ośrodku bez absorbcji równa średniej gęstości strumienia mocy fali P2 przechodzącej przez powierzchnię S2 . Czyli . Natężenie fali spada więc z rosnącą odległością r. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Ostatnie równanie ma ważne zastosowanie np. w fotometrii. Mamy więc; . Z drugiej strony mamy; . Ostatnie równanie ma ważne zastosowanie np. w fotometrii. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Dodając te fale do siebie otrzymujemy; 11.7 Interferencja fal W ośrodku mogą równocześnie rozchodzić się drgania wychodzące z różnych centrów drgań. Fale te tworzą nową falę. Rozważmy dwie fale o tej samej częstości, amplitudzie rozchodzące się w tym samym kierunku. . Dodając te fale do siebie otrzymujemy; 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Zależność od czasu i położenia . (11.19) Amplituda Zależność od czasu i położenia W zależności od różnicy fazy mamy do czynienia ze wzmocnieniem lub osłabieniem fali pierwotnej. (x) 1(x) 2(x) (x) =1(x)+ 2(x) Przesuniecie fazowe Interferencja konstruktywna 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Interferencja destruktywna (x) (x) =1(x)+ 2(x) 1(x) 2(x) Przesuniecie fazowe Interferencja destruktywna 13-01-2009 Reinhard Kulessa

W wyniku interferencji otrzymujemy falę o postaci; 11.7.1 Fala stojąca Powstanie fali stojącej jest szczególnym przypadkiem interferencji. Fala stojąca powstaje przez interferencję dwóch fal o przeciwnych kierunkach rozchodzenia się. Może to być np. interferencja fali padającej z falą odbitą. Rozważmy taki przypadek. . W wyniku interferencji otrzymujemy falę o postaci; . 13-01-2009 Reinhard Kulessa

W wyniku otrzymujemy falę; . (11.20) Zależność od czasu Zależność od położenia Dla struny napiętej pomiędzy dwoma punktami otrzymujemy następujący obraz; L = /2 L =  L = 3 /2 L Tabelka pokazuje podstawowe drgania własne układu (struny). 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Poniższy rysunek przedstawia powstawanie fali stojącej. Wróćmy do równania fali stojącej. Możemy z tego równana znaleźć warunek na występowanie minimalnych amplitud – węzłów, oraz maksymalnych amplitud – strzałek. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Położenie węzłów wyznaczymy z równania: /2 strzałki węzły Położenie węzłów wyznaczymy z równania: 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Położenie węzłów otrzymamy więc dla następującego warunku . (11.21) W podobny sposób możemy wyliczyć warunek na występowanie strzałek. Otrzymamy wtedy; . (11.22) W oparciu o powyższe wzory możemy wyliczyć odległości pomiędzy kolejnymi węzłami lub strzałkami. Fale stojące mogą również posłużyć do uwidocznienia drgań własnych w ciałach stałych. Do uwidocznienia tych drgań możemy użyć drobinek korka lub piasku. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Przykład takich drgań, -figury Chladniego- wzbudzonych na tarczy metalowej np. przy pomocy smyczka przedstawia poniższy rysunek. 13-01-2009 Reinhard Kulessa

Dodatek Dodajmy człony dla x, y i z 13-01-2009 Reinhard Kulessa