Reinhard Kulessa1 Wykład Energia pola indukcji magnetycznej 18 Prądu zmienne 18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego 16.5 Zjawisko samoindukcji 18.2 Sumowanie impedancji 18.3 Moc prądu zmiennego 18.4 Transformator 18.5 Rezonans szeregowy (prądowy) 18.6 Rezonans równoległy (napięciowy) 18.7 Układ RLC – Drgania tłumione

Reinhard Kulessa Zjawisko samoindukcji Z dotychczasowej dyskusji można odnieść wrażenie, że siła elektromotoryczna indukcji powstaje tylko wtedy, gdy zmienny strumień indukcji magnetycznej pochodzi z zewnątrz. Tak jednak nie jest. Okazuje się bowiem, że siła elektromotoryczna indukcji powstaje również wtedy, gdy pętla, lub inny obwód z prądem sama jest przyczyną zmian strumienia indukcji. Rozważmy dowolną pętlę z prądem. A r dl A I Strumień indukcji magnetycznej M wytworzony przez prąd I płynący w pętli wynosi:

Reinhard Kulessa3 Równanie to możemy napisać w postaci. Współczynnik indukcji własnej pętli z prądem jest więc równy: (16.8) Gdy zmienia się natężenie prądu w przewodniku indukuje się siłą elektromotoryczna indukcji:.. (16.9) A). Policzmy współczynnik indukcji własnej dla cewki o długości l i liczbie zwojów N i przekroju o powierzchni A, przez którą płynie prąd o natężeniu I.

Reinhard Kulessa4 l I(t) B(t) V 0 ind (t) Liczyliśmy już dla takiej cewki pole indukcji magnetycznej. Mamy więc:. Współczynnik indukcji własnej cewki wynosi więc: (16.10)

Reinhard Kulessa5 B). Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego x r 2b 2a V(x 0 ) V(x 0 +x) B(r) I I Policzmy sobie jako przykład indukcję własną kabla koncentrycz- nego. Tworzą go dwa współśrodkowe walce, w których antyrównolegle płynnie prąd o natężeniu I. Strefa zewnętrzna jest wolna od pola indukcji magnetycznej. Wokół cylindra wewnętrznego roztacza się pole indukcji B(r), jako zamknięte pierścienie, dla których: Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowaną powierzchnię wynosi.

Reinhard Kulessa6 Mamy więc. Zmiana strumienia indukcji magnetycznej w czasie wynosi więc:. Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego wynosi więc: (16.11), gdzie x jest długością kabla. Wraz z długością kabla zmienia się również różnica potencjału między wewnętrzna a zewnętrzną częścią kabla:.

Reinhard Kulessa7 Zjawisko indukcji własnej ma bardzo ważne znaczenie przy włączaniu i wyłączaniu obwodów L R U0U0 I t t zał t wył

Reinhard Kulessa8 17 Energia pola indukcji magnetycznej Załóżmy, że mamy szpulę, dla której opór jest równy zero. W takim razie, aby utrzymać w szpuli prąd o natężeniu I lub I+dI, nie trzeba włożyć żadnej pracy. Równocześnie przy przejściu z prądem od I do I+dI powstaje siła elektromotoryczna indukcji własnej V L, która sprzeciwia się zmianie natężenia prądu. I t I I+dI tt+dt

Reinhard Kulessa9 Aby wymusić zmianę natężenia prądu o dI, trzeba wykonać pracę: Wynika stąd, że aby zmienić prąd w szpuli od 0 do I trzeba wykonać pracę: (17.1) Równocześnie w szpuli powstaje pole indukcji magnetycznej Biorąc ze wzoru (16.10) wyrażenie na współczynnik samoindukcji takiej szpuli, uzyskamy następujące wyrażenie na pracę W:

Reinhard Kulessa10 (17.2), bo. (l·A) = jest objętością zajmowaną przez pole indukcji magnetycznej. Otrzymujemy więc na gęstość energii pola magnetycznego wyrażenie: (17.3) Rozważania dotyczące szpuli możemy uogólnić dla dowolnego pola, które jest jednorodne w objętości d. Pole w objętości d można sobie przedstawić jako pochodzące od maleńkiego solenoidu. Wobec tego równanie (17.3) obowiązuje dla każdego przypadku.

Reinhard Kulessa11 18Prądy zmienne 18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego Przy omawianiu siły elektromotorycznej indukcji rozważaliśmy SEM indukcji dla obracającej się pętli z prądem (równanie (16.4))., Gdzie jest amplitudą i przedstawia największą wartość SEM. Możemy użyć sinusoidalnie zmienną w czasie siłę elektromotoryczną jako źródło prądu. W dowolnym obwodzie, oprócz tej siły elektromotorycznej pojawi się siła elektromotoryczna indukcji własnej:

Reinhard Kulessa12 Zgodnie z prawem Kirchoffa mamy Czyli, (18.1) Rozwiązania tego równania będziemy szukali w postaci: gdzie I 0 i są stałymi całkowania. Po wstawieniu przewidzianego rozwiązania do równania (18.1) i kilku przekształceniach otrzymujemy; RLRL

Reinhard Kulessa13 (18.2) Na natężenie prądu otrzymamy następujące wyrażenie: (18.3) RCRC Dla obwodu z oporem i pojemnością uzyskamy następujące równania:

14 Równanie, które mamy rozwiązać jest nastepujące: (18.4) I znów szukając rozwiązania takiego jak poprzednio, uzyskujemy: (18.5)

Reinhard Kulessa15 Natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie miało następującą postać: (18.6). Wyrażenia nazywamy oporem pozornym obwodu lub impedancją.

Reinhard Kulessa16 Jedynym rzeczywistym oporem w obwodzie prądu przemiennego jest opór omowy. Stosując na opory poszczególnych elementów wyrażenia zespolone, możemy problem obwodów zawierających te elementy rozwiązać bardziej ogólnie. Wprowadźmy następujące oznaczenia: Wtedy stosując prawo Ohma możemy otrzymać: a stąd.,

Reinhard Kulessa Sumowanie impedancji Rozważmy obwód R-L posługując się wielkościami zespolonymi. = V 0 e i t RLRL Pamiętając, że dla liczby urojonej i zachodzi : i = e i /2, oraz -i = e -i /2, otrzymujemy: (18.7) Ogólna zależność pomiędzy zwykłym a eksponencjalnym zapisem liczby zespolonej jest następująca:

Reinhard Kulessa18 Jeśli a to Związek pomiędzy a, b, i, jest taka sama jak między współrzędnymi układu kartezjańskiego i biegunowego. Dla rozważanego równania (18.7), możemy narysować następujący diagram:

Reinhard Kulessa19 (t) R (R L 2 ) 1/2 t L (t) Z przedstawionego rysunku możemy odczytać, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym we wzorze (18.7) jest równe:, A przesunięcie fazowe liczymy z wzoru.

Reinhard Kulessa20 W oparciu o prawo Ohma możemy więc napisać: Do rezultatu możemy dojść jeszcze szybciej rysują na diagramie tylko składowe impedancji. Im( ) L | R Re( ) Identyczne rozważania możemy przeprowadzić dla obwodu a). R-C, czy też obwodu b). R-L-C.

Reinhard Kulessa21 Otrzymujemy wtedy: dla a). dla b). Należy jeszcze podkreślić, że impedancje spełniają regułę dodawania oporów. Dla połączenia szeregowego: A dla połączenia równoległego: (18.8).

Reinhard Kulessa Moc prądu zmiennego Załóżmy, że mamy źródło prądu zmiennego o następujących parametrach: Identyczną zależność napięcia i natężenia otrzymujemy również, gdy w obwodzie znajdują się również elementy z indukcyjnością L i pojemnością C. Chwilowa moc prądu wynosi: V(t) I(t) t

Reinhard Kulessa23 Policzmy średnią moc prądu dla jednego okresu T. Całka w powyższym równaniu ma wartość: ½ cos. Wobec tego: (18.9) V eff oraz I eff oznaczają kolejno napięcie i natężenie skuteczne prądu.

Reinhard Kulessa Transformator Transformator służy do uzyskiwania większych lub mniejszych sił Elektromotorycznych niż dają źródła prądu. Mamy dwa obwody połączone strumieniem indukcji magnetycznej. Po włączeniu zmiennego napięcia w obwodzie pierwotnym, w obydwu obwodach powstają siły elektromotoryczne indukcji własnej i wzajemnej. N1N1 p w L1L1 L2L2 N2N2 R 00 Obwód pierwotnyObwód wtórny L 12 =L 21 A l

Reinhard Kulessa25 W obwodzie wtórnym pojawia się również spadek potencjału na oporze omowym.Możemy więc napisać dwa równania: Z tego układu równań eliminujemy d p /dt, pamiętając, że:. Otrzymamy wtedy na natężenie prądu w obwodzie wtórnym wyrażenie: (18.10)

Reinhard Kulessa26 Policzmy sobie jakie jest natężenie i napięcie prądu w obwodzie wtórnym dla przedstawionego na ostatnim rysunku transformatorze. Rdzeń o przenikalności magnetycznej >>1, przekroju A i długości l, zamyka w sobie linie indukcji magnetycznej, tak, że zarówno w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym strumień indukcji jest taki sam. Możemy więc napisać: Z równań tych wynika, że Prąd wtórny wynosi: Dostajemy stąd bezpośrednio, że gdy znamy L 1, L 2 i L 12.

Reinhard Kulessa27 Mamy więc: (18.11) Napięcie na oporze R w obwodzie wtórnym wynosi: (18.12)... Z ostatniego równania mamy bezpośrednio; (18.13)

Reinhard Kulessa28 Można również pokazać policzywszy uprzednio w podobny sposób natężenie prądu pierwotnego, że (18.14) Oznacza to, ze cała moc z układu pierwotnego jest przekazywana do układu wtórnego. = V 0 e i t RLRL C I(t) 18.5 Rezonans szeregowy (prądowy) Impedancja przedstawionego obwodu wynosi:

Reinhard Kulessa29 Wartość bezwzględna impedancji jest równa: Z poprzednich rozważań pamiętamy, że: Wypadkową zawadę możemy otrzymać graficznie. Otrzymamy więc: (18.15) R i L -i/ C

Reinhard Kulessa30 Największe natężenie prądu będzie wtedy, gdy Oznaczając częstość dla której to zachodzi przez r, częstość rezonansową, mamy: Dla częstości rezonansowej zawada jest najmniejsza i równa się R. Wtedy również faza jest równa zero. Również natężenie prądu jest maksymalne: Osłabienie natężenia prądu możemy uzyskać przez zwiększenie oporu R. Opór ten odgrywa rolę tłumienia. Prześledźmy zależność natężenia prądu i fazy dla dwóch różnych oporów.

Reinhard Kulessa31 Możemy wyznaczyć składowe napięcia na poszczególnych elementach obwodów I( ) R1R1 R2R2 V 0 /R 1 V 0 /R 2 ( ) + /2 - /2 r r V 0 /R 2 2 Względna półszerokość krzywej rezonansowej jest równa

Reinhard Kulessa32 Współczynnik dobroci Q Napięcie rzeczywiste Z powyższych wzorów widzimy, że : 1.Suma rzeczywistych napięć V L +V C = 0 2.Dla pojemności i indukcyjności QV 0 >V 0, czyli napięcie na tych elementach jest większe od napięcia źródła. 3. Gdy mamy słabe tłumienie, Q = r L/R krzywa rezonansowa jest symetryczna. Q jest nazywany współczynnikiem dobroci

Reinhard Kulessa Rezonans równoległy (napięciowy) = V 0 e i t RLRL C ICIC ILIL I Zespolona wartość natężenia prądu będzie wynosiła Zakładając, że mamy do czynienia ze słabym tłumieniem, możemy pominąć R 2 w stosunku do 2 L 2.

Reinhard Kulessa34 Diagram impedancji dla 1/Z wygląda następująco: R/ 2 L 2 -i/ Li C Z -1 Z podanego na poprzedniej stronie Równania otrzymujemy na rzeczywiste wartości natężenia prądu i przesunięcie fazowe wartości: (18.17) Rezonans zachodzi wtedy gdy

Reinhard Kulessa35 Dla częstości rezonansowej zachodzi: 1. =0, 2.|1/Z| = R/( r L) 2 min., I( ) r V 0 /R Możemy jeszcze podać wartości dla prądów częściowych: Widzimy, że I 0C =I 0L, ale I C +I L =0 dla rezonansu.

Reinhard Kulessa Układ RLC – Drgania tłumione Mamy obwód szeregowo połączonych R-L-C z naładowanym kondensatorem. Ponieważ nie przykładamy napięcia zmiennego, nie ma zastosowania rachunek na liczbach zespolonych. RLRL C I + - Możemy napisać: (18.18)

Reinhard Kulessa37 Jest to równanie typu tłumionego oscylatora harmonicznego. Rozwiązanie tego równania dla słabego tłumienia (1/LC) > (R 2 /4L 2 ) jest następujące: (18.19) I(t) t Rozwiązanie to zawiera również przypadek nieperiodyczny czyli eksponencjalny zanik natężenia prądu.

Reinhard Kulessa38 Wtedy gdy (1/LC) >> (R 2 /4L 2 ) częstość Jest równa częstości własnej nie tłumionego obwodu. Rozważmy co dzieje się z natężeniem pola elektrycznego E i indukcją magnetyczną B.

Reinhard Kulessa R L C E B=0 R L C E=0 B Dla chwili t=0 istnieje tylko pole E w kondensatorze. Po zamknięciu klucza zaczyna płynąć prąd rozładowujący kondensator. Wytwarza on pole B cewce L, przy czym E w kondensatorze znika.

Reinhard Kulessa R L C E 0 B=0 R L C E=0 B Płynący przez cewkę prąd stopniowo zanika, lecz w sumie ładuje on kondensator przeciwnie niż na początku. Znów mamy pole E różne od zera i równe zeru pole indukcji B. I znów kondensator się rozładowuje tworząc pole B i likwidując pole E, itd..

Reinhard Kulessa41 Wiemy, że pole istnieje nie tylko w pobliżu źródeł pola, ale jest obserwowane na dużych odległościach. Z poprzednich rozważań widać, że jest to pole zmienne w czasie, czyli drgające w ten sposób, że zmiana pola elektrycznego E generuje zmianę pola indukcji B. Drganie te zgodnie z teorią względności mogą rozchodzić się nie szybciej niż z prędkością światła. Tworzą one tzw. falę elektromagnetyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych zostało przewidziane już przez Maxwella. Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella.