Wykład 16 Ruch względny 5.6.3 Bąki. – Precesja swobodna i wymuszona 5.7 Najmniejsza jednostka momentu pędu w przyrodzie Ruch względny 6.1 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym 6.1.1 Ruch względny postępowy 6.1.2 Ruch względny obrotowy 2008-11-28 Reinhard Kulessa

5.6.3 Bąki. – Precesja swobodna i wymuszona Wartości momentów bezwładności względem głównych osi bezwładności zależą od kształtu ciała. Ciała dla których wszystkie trzy momenty bezwładności są równe nazywamy bąkami kulistymi. Bąki, dla których I1  I2 = I3 , nazywamy bąkami symetrycznymi. Gdy wszystkie trzy momenty bezwładności są różne, bąki nazywamy niesymetrycznymi. Gdy ciało ma oś symetrii, to oś ta będzie osią główną. Dla bąka, którego oś obrotu jest podparta w środku ciężkości, zachodzi   L. Bąk taki zachowuje stały kierunek w przestrzeni. Jeśli zaburzymy ruch bąka przez krótkie działanie siły, to spowodujemy, że   L . Wtedy wektor  zatacza stożek wokół stałego kierunku L. Taki ruch bąka nazywamy nutacją. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

skierowany za płaszczyznę obrazu i prostopadły do momentu pędu bąka. Zajmijmy się obecnie problemem wymuszonej precesji bąka. Zachodzi ona wtedy, gdy na bąk działa moment siły dążący do zmiany położenia osi symetrii bąka. Na rysunku tak nie wygląda, ale możemy założyć, że masa bąka jest mała w porównaniu do masy m. Wtedy na bąk dzieła moment siły R m F=mg , skierowany za płaszczyznę obrazu i prostopadły do momentu pędu bąka. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Z góry widok jest następujący, L(t+dt) dL=Mdt . d L(t) Na prawym rysunku przedstawiony jest wynik działania momentu siły. Moment pędu uległ w czasie dt przesunięciu o kąt d. Z rysunku tego widzimy też, że; . (5.25) Opisany tym równaniem ruch bąka nazywamy precesją. Jako następny przykład rozważmy ruch bąka dziecinnego. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Moment pędu i oś symetrii zataczają stożek o kącie rozwartości 2. F=mg R L=I  Moment pędu i oś symetrii zataczają stożek o kącie rozwartości 2. dL  L, a to oznacza, że | L | pozostaje stały dL  M, czyli dL pozostaje na płaszczyźnie poziomej. d  L Lsin dL=Mdt 2008-11-28 Reinhard Kulessa

5.7 Najmniejsza jednostka momentu pędu w przyrodzie (5.26) Widać więc, że częstość precesji bąka nie zależy od kąta jego nachylenia. 5.7 Najmniejsza jednostka momentu pędu w przyrodzie Szereg badań fizycznych, a w szczególności nad atomami, które wniosły szczególnie duży wkład do rozwoju mechaniki kwantowej, pokazało, że moment pędu występuje w przyrodzie jako całkowita, lub połówkowa wielokrotność pewnej fundamentalnej wielkości momentu pędu. Ta wielkość to 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Gdzie h jest stałą Plancka. Jeśli rozważymy np. molekułę azotu, to możemy ją traktować jak rotator, gdyż dwa atomy azotu są silnie związane.  m 1.1Å Częstości tej wielkości są charakterystyczne dla molekuł. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Ruch względny 6.1 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym 6.1.1 Ruch względny postępowy Wiemy, że ruch opisujemy zawsze w stosunku do jakiegoś układu odniesienia. Takich układów może być wiele. Z każdym z nich związany jest obserwator. Obserwatorzy mogą względem siebie się przemieszczać. Mamy wtedy automatycznie do czynienia z ruchomymi układami odniesienia. Każdy obserwator traktuje swój układ jako nieruchomy i stąd bierze się względność ruchu. Załóżmy, że mamy układ nieruchomy U i układ ruchomy U’, i obserwatorzy tych układów starają się opisać to samo zjawisko ruchu. Pamiętamy, że dalej słuszne jest założenie o równości czasu w obydwu układach (t = t’). 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Równanie (6.1) przedstawia transformację parametrów U U’ x y z x’ y’ z’ R r r’ Widzimy, że; (6.1) . Równanie (6.1) przedstawia transformację parametrów ruchu dla ruchu postępowego. Gdy V = const, a = a’ . 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Jeżeli założymy, że w chwili początkowej układ laboratoryjny U pokrywa się z układem ruchomym U’, oraz że układ ruchomy porusza się z prędkością V w kierunku x, wtedy zależność pomiędzy współrzędnymi jest zgodna z transformacją Galileusza, V ix ix’ X=V·t x’ . 2008-11-28 Reinhard Kulessa

6.1.2 Ruch względny obrotowy Jeżeli rozważamy jedynie ruch obrotowy bez postępowego, to możemy początki układów laboratoryjnego i ruchomego umieścić w tym samym punkcie. x y z x’ y’ z’ oś obrotu r = r’ P  ’ Ruch dowolnego punktu o masie m jest zdefiniowany w układzie nieruchomym przez wektor; Wektory są wersorami układu nieruchomego. Możemy jednak ruch punktu P o masie m przedstawić przez wektor; 2008-11-28 Reinhard Kulessa

. Mamy więc: . (6.2) Możemy więc obliczyć prędkość masy m w układzie nieruchomym licząc pochodną po czasie wektora r’(t), (6.3) . Na wskutek obrotów wersory układu ruchomego U’ zmieniają w układzie nieruchomym U kierunek. Nie znikają więc ich pochodne. Aby ostatnie równanie dalej przekształcić przypomnijmy sobie równanie (2.19) podające związek pomiędzy prędkością liniową a kątową. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Równanie to jest równoważne wyrażeniu; . (2.19) Równanie to jest równoważne wyrażeniu; . (6.4) Dla dowolnego wektora  ważna jest relacja     (6.4a) . Wiemy, że pochodna czasowa wektora  jest  wektorów  i  . Wiemy, że , Czyli przedostatnie równania są słuszne. 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Równanie (6.3) możemy więc napisać jako: , czyli . (6.5) Analogicznie możemy zgodnie z wzorem (6.5) znaleźć wyrażenie na zależność pomiędzy przyśpieszeniami, (6.6) . Z kolei . 2008-11-28 Reinhard Kulessa

Mamy więc, . (6.7) bo itd. W oparciu o równania (6.3), (6.4a) i (6.5) możemy przekształcić trzeci człon równania (6.6), . (6.8) Pomiędzy przyśpieszeniami w nieruchomym i ruchomym układzie współrzędnych zachodzi następująca transformacja ((6.6), (6.7) i (6.8)), . (6.9) 2008-11-28 Reinhard Kulessa