Układ wielu punktów materialnych Wykład VII Układ wielu punktów materialnych BRYŁA SZTYWNA

Układ punktów materialnych Jeśli zdefiniujemy pewną wielkość fizyczną dla punktu materialnego, to wielkość całkowita odpowiadająca układowi punktów materialnych jest sumą tych wielkości dla wszystkich punktów wchodzących w skład układu. m1 m3 m2 p3 p2 p1 (całkowita) masa układu (całkowity) pęd układu (całkowita) energia kinetyczna układu

Środek masy z mi y Dla układu dyskretnego jest to punkt dla którego wektor położenia jest zdefiniowany następująco: r x gdzie M jest całkowitą masą. Dla bryły:

np. Trzy identyczne cząstki [0,0,1] [0,1,0] y [1,0,0] x

np. Cienki pręt jednorodny dx x To powinny być funkcje. x L z A co będzie jeśli pręt nie jest jednorodny?

twierdzenia dm r’ r x Środek masy obiektu jednorodnego musi leżeć w jego środku symetrii. Położenie środka masy dwóch ciał jest związane z położeniem środków mas każdego z ciał.

II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) W inercjalnym układzie odniesienia całkowita zmiana pędu układu cząstek jest proporcjonalna do wypadkowej sił zewnętrznych działających na ten układ dP dt Fzewn P

II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) Fzewn W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie środka masy układu cząstek jest proporcjonalne do wypadkowej sił zewnętrznych. acm

Całkowity pęd i środek masy Całkowity pęd układu cząstek jest związany z prędkością środka masy tego układu

Układ punktów materialnych zastępujemy punktem o masie równej masie całego układu, położonym w punkcie, w którym znajduje się środek masy. Jeśli

Ruch środka masy – przykład Układ izolowany: położenie środka masy nie zmienia się! Eksplodująca petarda.

Ruch środka masy – przykład II

Astronauci i lina Dwóch astronautów pozostających w spoczynku w kosmosie, połączyło się nieważką liną. W pewnym momencie zaczynają ciągnąć linę, każdy w swoją stronę. Gdzie się spotkają? M = 1.5m m

Astronauci i lina Oznaczmy prędkość środka masy VCM M = 1.5m m VCM pozostaje równe zeru, bo nie ma sił zewnętrznych. A więc CM nie porusza się! Zatem muszą się spotkać w CM. M = 1.5m m CM L x=0 x=L Znajdźmy środek masy CM: Niech początek układu współrzędnych x = 0 znajduje się w miejscu, w którym znajduje się astronauta po lewej stronie:

Bryła sztywna Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną. Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego. A

Środek masy Dla układu dyskretnego Dla bryły sztywnej: x dm r gdzie M jest całkowitą masą Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii

Ruch bryły sztywnej 1. Ruch postępowy środka masy 2. Obrót wokół środka masy Centre of mass End of hammer

przykład

II zasada dynamiki Newtona (VI) (moment pędu układu cząstek) r r r zewn M r å M + å M = å M = wewn , i zewn , i zewn , i i i i (W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu:

Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi: Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki: (ri prostop. do vi ) v1 L jest w kierunku z. m2 j vi =  ri r2 r1 m1 i v2  r3 m3 v3 L =Iw Analog p = mv!!

Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi 1) Rozważmy masę m1 przyczepioną do pręta o długości r1, który obraca się z prędkością w wokół osi z. m1 r1 y x z v1 w L1 q f

moment pędu, L L1= r1 x p1 z momentu pędu, Lz1: Lz1= r1 x p1 pęd masy m1 : p1 = m1v1 gdzie v1 : v1= w x r1 moment pędu L1: L1= r1 x p1 Składowa r1 prostopadła do to p1 (i do v1) to wektor r1 więc składowa z momentu pędu, Lz1: Lz1= r1 x p1 Lz1 = r1 x mv1 lub Lz1 = r1 x m(w x r1) stąd w z L1 r1 v1 m1 q r1 y f w x Lz1= m r12 w

Ustalona lub chwilowa oś obrotu (II ZDNewtona VIII) Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.

Moment bezwładności A Układ cząstek : r’ dm ri’ mi Ciało stałe

np. Moment bezwładności jednorodnego pręta Obrót wokół końca L y dx x L Obrót wokół środka

Twierdzenie Steinera I = Ism + MD2 D=L/2 M sm x L I Ism

Momenty bezwładności R R R

Moment bezwładności L L

Moment pędu i prędkość kątowa W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej. r’

Moment pędu i prędkość kątowa lub inaczej: Składowe diagonalne – momenty bezwładności względem odpowiednich osi układu współrzędnych; Składowe nie diagonalne – dewiacyjne momenty bezwładności:

Wpływ symetrii Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi z

Osie główne Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których jest zawsze równoległe do Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają się głównymi momentami bezwładności. Jeśli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii. np. sześcian, kula.

II zasada dynamiki Newtona ( VII) (dla ruchu obrotowego bryły sztywnej) Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.

Praca w ruchu obrotowym Praca siły F działającej na ciało, które może obracać się wokół ustalonej osi. dW = F.dr = F R d cos() = FR cos() d dW = M d W po scałkowaniu: W = MD Analog W = F •r W < 0 jeśli M i Dq mają przeciwne zwroty!  F R d dr = R d oś

Praca i moc w ruchu obrotowym d

Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa Praca i energia kinetyczna: K = Wwyp Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego. Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet. (całkowita energia kinet Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu T W lub

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej Jeśli środek masy jest w punkcie A:

Praca i energia Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach. Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura? w2 w1 (a) 1 (b) 2 (c) 1=2 F F

Praca i energia Praca jest ta sama! W = Fd Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = DK. w2 w1 Ponieważ I1 = I2 w1 = w2 F F d

Spadający ciężarek i krążek Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej: DK = Wwyp= mgL I R T m v L

Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =Wwyp = DK a stąd DK + U = 0 czyli E=K + U = const Ten sam wynik można zatem otrzymać korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej: Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL. Dla ciężarka na wysokości y=0: E=K=Ktransl+Kobrot zatem: Ktransl+Kobrot =mgL I R T y m v L

Żyroskop

Żyroskop N w Prędkość precesji