Prędkość kątowa Przyśpieszenie kątowe

Moment siły

Moment siły W którym przypadku moment siły jest większy? (a) 1 (b) 2 (c) 1=2 L F F L osie 1 2

Moment siły t= r F sin  = r sin  F  = rpF Z definicji momentu siły: Ft Fr

Ruch obrotowy Ft = m at = m  r Załóżmy, że cząstka porusza się po okręgu. Niech na cząstkę działa siła F. Siła ta powoduje przyspieszenie styczne: at = r Z II zasady Newtona w kierunku stycznym: Ft = m at = m  r r Ft = m r 2  r ^  ^ F Ft at m r 

Ruch obrotowy rFt = mr2 ; niech Moment siły:  = rFt. Moment siły ma kierunek: + z jeśli powoduje ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara - z w przeciwnym przypadku. r ^  ^ F Ft at m r 

Moment pędu (cząstki) O

Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi: Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki: (ri prostop. do vi ) v1 L jest w kierunku z. m2 j vi =  ri r2 r1 m1 i v2  r3 m3 v3 L =Iw Analog p = mv!!

L =Iw

Moment pędu cząstki swobodnej Moment pędu cząstki względem początku układu odniesienia Pokażemy, że moment pędu tej cząstki jest różny od zera, mimo, że cząstka nie obraca się. y x v

Moment pędu cząstki swobodnej cd. Rozważmy cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż prostej y= -d z prędkością v. Oblicz moment pędu względem (0,0)? y x d m v

Moment pędu cząstki swobodnej cd. Moduł momentu pędu: r i p leżą w płaszczyźnie x-y , więc L będzie w kierunku osi z y x p=mv d  r

II zasada dynamiki Newtona V; Zasada zachowania momentu pędu (W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu.

np. Jaka jest końcowa prędkość kątowa? Początkowa Początkowy moment pędu (moduł) a ? końcowa Końcowy moment pędu b Z zasady zachowania momentu pędu ( moment sił zewnętrznych równy zero): Zagadka: Zmiana energii kinetycznej: Kto wykonał pracę?

I i II prawo Keplera dA Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc L=const. Ponieważ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, że ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską. Prędkość polowa jest stała. L

Bryła sztywna Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną. Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego. A

Środek masy Dla bryły sztywnej: dm r gęstość, x dm r gęstość, Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii

Ruch bryły sztywnej 1. Ruch postępowy środka masy 2. Obrót wokół środka masy Centre of mass End of hammer

przykład

II zasada dynamiki Newtona (VI) (moment pędu układu cząstek) (W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu:

Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi: Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki: (ri prostop. do vi ) v1 L jest w kierunku z. m2 j vi =  ri r2 r1 m1 i v2  r3 m3 v3 L =Iw Analog p = mv!!

Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi 1) Rozważmy masę m1 przyczepioną do pręta o długości r1, który obraca się z prędkością w wokół osi z. m1 r1 y x z v1 w L1 q f

moment pędu, L L1= r1 x p1 z momentu pędu, Lz1: Lz1= r1 x p1 pęd masy m1 : p1 = m1v1 gdzie v1 : v1= w x r1 moment pędu L1: L1= r1 x p1 Składowa r1 prostopadła do to p1 (i do v1) to wektor r1 więc składowa z momentu pędu, Lz1: Lz1= r1 x p1 Lz1 = r1 x mv1 lub Lz1 = r1 x m(w x r1) stąd w z L1 r1 v1 m1 q r1 y f w x Lz1= m r12 w

Ustalona lub chwilowa oś obrotu (II ZDNewtona VIII) Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.

Moment bezwładności A Układ cząstek : r’ dm ri’ mi Ciało stałe

Osie główne Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których L jest zawsze równoległe do w: L= Iw. Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają sie głównymi momentami bezwładności. Jesli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii. np. sześcian, kula.

np. Moment bezwładności jednorodnego pręta Obrót wokół końca L y dx x L Obrót wokół środka

np. Moment bezwładności jednorodnego koła dr  d R 2

Twierdzenie Steinera I = ICM + MD2 D=L/2 M CM x L IEND ICM

Momenty bezwładności R R

Moment bezwładności R R

Moment bezwładności L L

Moment pędu i prędkość kątowa W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej.

Wpływ symetrii Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi

II zasada dynamiki Newtona ( VII) (dla ruchu obrotowego bryły sztywnej) Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.

Praca w ruchu obrotowym Praca siły F działającej na ciało, które może obracać się wokół ustalonej osi. dW = F.dr = F R d sin() = FR sin() d dW =  d W po scałkowaniu: W = D Analog W = F •r W < 0 jeśli  i Dq mają przeciwne zwroty! F  R d dr = R d oś

Praca i moc w ruchu obrotowym d

Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa Praca i energia kinetyczna: K = Wwyp Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

Praca i energia kinetyczna: K = Wwyp Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego. Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet. (całkowita energia kinet Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu T W lub

Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej Jeśli środek masy jest w punkcie A:

Praca i energia Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach. Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura? w2 w1 (a) 1 (b) 2 (c) 1=2 F F

Praca i energia Praca jest ta sama! W = Fd Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = DK. w2 w1 Ponieważ I1 = I2 w1 = w2 F F d

Spadający ciężarek i krążek Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej: DK = Wwyp= mgL I R T m v L

Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =Wwyp = DK a stąd DK + U = 0 czyli E=K + U = const Ten sam wynik można zatem otrzymać korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej: Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL. Dla ciężarka na wysokości y=0: E=K=Ktransl+Kobrot zatem: Ktransl+Kobrot =mgL I R T y m v L

Żyroskop

Żyroskop N w Prędkość precesji