Siły zachowawcze Jeśli praca siły przemieszczającej cząstkę z punktu A do punktu B nie zależy od tego po jakim torze poruszała się cząstka, to ta siła jest nazywana siłą zachowawczą. B Wszystkie inne siły nie są zachowawcze. A (Twierdzenie) Praca siły zachowawczej przemieszczającej cząstkę po torze zamkniętym jest równa zeru. Sily zachowawcze : grawitacji, sprężystości, elektrostatyczna.

Energia Potencjalna dU  - dW (lub U = -W ) U = Wrów Jeśli na cząstkę działa siła zachowawcza, to zmiana energii potencjalnej związana ze zmianą położenia cząstki dU jest zdefiniowana jako praca dW wykonana przez tę siłę. dU  - dW (lub U = -W ) Ta definicja określa energię potencjalną z dokładnością do stałej. Praca siły równoważącej siłę pola zachowawczego jest równa przyrostowi energii potencjalnej U = Wrów

Zasada zachowania energii Energia mechaniczna E  K + U Energia związana z ruchem Energia związana z położeniem Zasada zachowania energii Całkowita energia układu izolowanego jest zawsze stała.

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym h m dr h W Ug  Ug = mgh

Energia mechaniczna w polu grawitacyjnym

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym Gdzie ma być odniesienie? F dr r m M  R Energia potencjalna w polu grawitacyjnym cząstki o masie m, położonej w odległości r od cząstki o masie M: A jeśli odniesienie na powierzchni?

W układzie odnies. związanym z Ziemią: np. Oblicz VII tzn.prędkość ucieczki ciała z pola grawitacyjnego Ziemi. vsatelity vZiemia m M W układzie odnies. związanym z Ziemią: Zasada zachowania energii mechanicznej

Siła sprężystości

Energia potencjalna sprężystości

Problem 1a: ciało na sprężynie. Sprężynę naciągnięto o d względem położenia równowagi a następnie puszczono swobodnie. Oblicz prędkość masy m w punkcie równowagowym, pomijając tarcie. m pozycja równowagowa m naciągnięta sprężyna d m po puszczeniu v w pozycji równowagowej m vr

Wwyp = WS = K. Problem 1a) cd. Praca siły sprężystości na odcinku od x = d do x = 0 Zmiana energii kinetycznej masy m: Na podstawie I twierdzenia o równoważności pracy i energii kinetycznej Wwyp = WS = K. m d m vr i

Problem 1 b): uwzględniamy tarcie między bloczkiem a podłożem Całkowita praca jest sumą pracy siły sprężystości oraz siły tarcia: Wwyp= WS + Wf = K Wf = f.Δr = - mg d d vr m i f = mg r

II twierdzenie praca -energia Jeśli na cząstkę oprócz sił zachowawczych działają siły nie zachowawcze, to praca tych sił Wnc, jest równa całkowitej zmianie energii mechanicznej cząstki lub

Problem 1b) cd. – przy użyciu II twierdzenia o równoważności energii i pracy

Energia potencjalna i siła Dla sił zachowawczych prawdziwa jest relacja: z dr F y x bo i

np. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym przy powierzchni Ziemi: W = - mg y x

np. energia potencjalna w polu grawitacyjnym: z r F y x

Równowaga Warunek równowagi: czyli : U(x) = Umin równowaga trwała U(x) = Umax równowaga chwiejna

Środek masy Jest to punkt dla którego wektor położenia jest zdefiniowany następująco: gdzie M jest całkowitą masą z dm y r x Dla układu dyskretnego

np. Trzy identyczne cząstki [0,0,1] [0,1,0] y [1,0,0] x

np. Cienki pręt jednorodny dx x To powinny być funkcje. x L z A co będzie jeśli pręt nie jest jednorodny?

twierdzenia dm r’ r x Środek masy obiektu jednorodnego musi leżeć w jego środku symetrii. Położenie środka masy dwóch ciał jest związane z położeniem środków mas każdego z ciał.

II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) W inercjalnym układzie odniesienia całkowita zmiana pędu układu cząstek jest proporcjonalna do wypadkowej sił zewnętrznych działających na ten układ dP dt Fzewn P

II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) Fzewn W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie środka masy układu cząstek jest proporcjonalne do wypadkowej sił zewnętrznych. acm

Całkowity pęd i środek masy Całkowity pęd układu cząstek jest związany z prędkością środka masy tego układu

Ruch środka masy – przykład I Eksplodująca petarda.

Ruch środka masy – przykład II

Astronauci i lina Dwóch astronautów pozostających w spoczynku w kosmosie, połączyło się nieważką liną. W pewnym momencie zaczynają ciągnąć linę, każdy w swoją stronę. Gdzie się spotkają? M = 1.5m m

Astronauci i lina Oznaczmy prędkość środka masy VCM M = 1.5m m VCM pozostaje równe zeru, bo nie ma sił zewnętrznych. A więc CM nie porusza się! Zatem muszą się spotkać w CM. M = 1.5m m CM L x=0 x=L Znajdźmy środek masy CM: Niech początek układu współrzędnych x = 0 znajduje się w miejscu, w którym znajduje się astronauta po lewej stronie:

Całkowita energia potencjalna w polu grawitacyjnym (w pobliżu powierzchni) hcm U0 = 0