„METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0” JAKUB PAWLIK MARCIN PERZANOWSKI „METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0” 30 marca 2007

I II Plan prezentacji: Wstęp Drgania swobodne struny zamocowanej Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” Plan prezentacji: Wstęp Drgania swobodne struny zamocowanej Drgania wymuszone struny zamocowanej I II 30 marca 2007

I Równanie to jest równaniem różniczkowym 2 rzędu, Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Równanie struny: Równanie to jest równaniem różniczkowym 2 rzędu, cząstkowym, liniowym, hiperbolicznym 30 marca 2007

DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ Przy braku siły wymuszającej ruch czyli dla: Oraz przy warunkach brzegowych: Na brzegu struny nie ma drgań (końce struny zamocowane są „na stałe”): 30 marca 2007

I Równanie struny przybiera postać: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Równanie struny przybiera postać: 30 marca 2007

I Metoda Fouriera = metoda rozdzielania zmiennych Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Metoda Fouriera = metoda rozdzielania zmiennych Przewiduje się rozwiązanie postaci Gdzie szukaną funkcję przedstawia się jako iloczyn X(x) i T(t) Zależnych tylko od jednej zmiennej każda (wybieramy po prostu takie rozwiązania, które nam odpowiadają) 30 marca 2007

różniczkujemy po zmiennych x i t Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Przewidywane rozwiązanie postaci: różniczkujemy po zmiennych x i t i otrzymujemy 30 marca 2007

I Otrzymane zależności wstawiamy do równania struny: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Otrzymane zależności wstawiamy do równania struny: Równanie struny Równanie o zmiennych rozdzielonych Dla rozwiązania musi zachodzić ponadto: 30 marca 2007

Przyjmiemy, że lewa i prawa strona równają się stałej ujemnej Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Przyjmiemy, że lewa i prawa strona równają się stałej ujemnej (dla stałej dodatniej lub równej 0 otrzymamy rozwiązania trywialne): przekształcając 30 marca 2007

Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” Otrzymaliśmy dwa równania drugiego rzędu, liniowe, zwyczajne o stałych współczynnikach Równania charakterystyczne: 30 marca 2007

Otrzymane rozwiązanie ogólne jest więc postaci: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Otrzymane rozwiązanie ogólne jest więc postaci: 30 marca 2007

I Rozwiązanie to musi spełniać warunki brzegowe: 1) Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Rozwiązanie to musi spełniać warunki brzegowe: 1) By równość była spełniona A=0 Bo dla C=D=0 dostajemy rozwiązanie trywialne 2) Dla B=0 otrzymujemy rozwiązanie trywialne, więc: 30 marca 2007

I Dla takiego ciągu spełnione będą warunki brzegowe: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Dla takiego ciągu spełnione będą warunki brzegowe: Wprowadźmy nowe stałe: Dla tak zdefiniowanych stałych rozwiązanie ma postać: Każda z tych funkcji przy dowolnych nowo zdefiniowanych stałych spełnia warunki brzegowe 30 marca 2007

I Więc niech: Zakładać będziemy, że powyższy szereg można rózniczkować Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Więc niech: Zakładać będziemy, że powyższy szereg można rózniczkować wyraz po wyrazie w sposób ciągły względem obydwu zmiennych w: Wynika z tego, że: 30 marca 2007

I Aby znaleźć stałe An i Bn należy założyć jakieś warunki początkowe Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Aby znaleźć stałe An i Bn należy założyć jakieś warunki początkowe (które my na początku pominęliśmy) Warunki początkowe: więc Obliczając: Mamy: 30 marca 2007

I oraz: Mamy w pełni zdefiniowane warunki początkowe Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I oraz: Mamy w pełni zdefiniowane warunki początkowe 30 marca 2007

I Rozwijając współczynniki An i Bn w szeregi Fouriera otrzymujemy: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Rozwijając współczynniki An i Bn w szeregi Fouriera otrzymujemy: 30 marca 2007

I Czyli ostateczne rozwiązanie jest dane w postaci: Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” I Czyli ostateczne rozwiązanie jest dane w postaci: Po podstawieniu otrzymanych stałych otrzymujemy Strasznie wyglądający wzór: 30 marca 2007

Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” 30 marca 2007

DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ W tym przypadku uwzględniamy dodatkowo siłę wymuszającą ruch, czyli : Oraz przy warunkach brzegowych: 30 marca 2007

dla pewnego przedziału : Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II Załóżmy, że funkcję dla pewnego przedziału : możemy zapisać w postaci sinusowego szeregu Fouriera względem zmiennej x : 30 marca 2007

II gdzie : oraz Zatem rozwiązania ogólnego równania struny Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II gdzie : oraz Zatem rozwiązania ogólnego równania struny poszukujemy w postaci : gdzie Tn(t) są niewiadomymi funkcjami. 30 marca 2007

Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II Zakładając, że dozwolone jest różniczkowanie tego szeregu wyraz po wyrazie, korzystając z ψ(x,t) przedstawionej w postaci szeregu podstawiamy wszystko do równania struny : gdzie , a więc : 30 marca 2007

II Wiemy z warunków początkowych, że : Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II Wiemy z warunków początkowych, że : Korzystając z tej zależności możemy ostatecznie napisać : gdzie dla 30 marca 2007

Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski „Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych” II 30 marca 2007