Rozwiązanie d’Alemberta równania struny Ewelina Bednarz Łukasz Klita
Struna nieograniczona ustalamy dwa warunki początkowe:
Równanie szczególne szukamy postaci: Podstawiamy do równania: ODNOŚNIK Stąd otrzymujemy:
Funkcja jest rozwiązaniem szczególnym równania struny jeżeli : stąd możemy zapisać: Zapiszmy teraz: (Przejście zostało wytłumaczone na tablicy podczas prezentacji) Stąd widać, że rozwiązaniem szczególnym będzie:
Zamiana zmiennych powrót
Wstawiając zmienne do równania otrzymujemy:
gdzie f1 i f2 są funkcjami wyłącznie x, h. całkujemy tą równość po h przy ustalony x otrzymujemy: gdzie f1 i f2 są funkcjami wyłącznie x, h.
Wyliczamy funkcję f1 i f2, aby spełnione były warunki: Całkując drugą równość otrzymujemy: Pamiętając: dodajemy i odejmujemy stronami ów układ równań
Otrzymujemy: Podstawmy znalezione funkcje do równania
h=k Zatem nasze U(x,t) będzie miało postać: Zauważmy, iż dla t=0: U(x,0)=φ(x) a zatem oczywistym jest, że: h=k
Ostateczna postać, wzór d’Alemberta:
Dalszy ciąg dowodu poprzez zamianę zmiennych, przyjmujemy zmienny jak wcześniej powrót
Zobaczmy teraz co się stanie po prawej stronie
Na razie wykazaliśmy równość całek został nam jeszcze do sprawdzenia pierwszy człon rozwiązania: pamiętając
Obliczenia dla prawej strony równania: przypomnijmy
ostateczna postać dowodu : THE END
ODNOŚNIK powrót
Autorzy Ewelina Bednarz Łukasz Klita Dziękujemy za uwagę