Macierze Maria Guzik

Czym jest macierz ? Macierz najłatwiej wyobrazić sobie jako tabliczkę z liczbami. Może ona mieć różną liczbę wierszy oraz kolumn. Macierze oznaczamy dużymi literami alfabetu, natomiast ich elementy małymi. Poniżej przedstawiłam przykładowe macierze:

Zapis macierzy Gdy mówimy o elemencie macierzy mamy na myśli konkretną liczbę znajdującą się w jej określonym miejscu. Położenie dowolnego elementu macierzy możemy określić podając numer wiersza oraz numer kolumny, w której się znajduje. Wygodnym sposobem na określanie elementów macierzy jest podawanie ich z indeksami odpowiadającymi numerowi wiersza oraz kolumny, w której znajduje się dany element, np. element leżący w trzecim wierszu i drugiej kolumnie znajdującej się tu macierzy możemy oznaczyć jako a32.

Zapis macierzy - przykład Na poniższym przykładzie zaznaczyłam numery wierszy i kolumn. Możemy odczytać, że element a23 leżący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie to 4.

Działania na macierzach Tak jak dla liczb rzeczywistych, dla macierzy również istnieją pewne działania. Macierze można dodawać, odejmować i mnożyć. Należy pamiętać o tym, że dla macierzy nie zostało zdefiniowane dzielenie. Kolejną rzeczą, która jest ważna przy operacjach na macierzach jest to, iż mnożenie macierzy nie jest przemienne !!!

Dodawanie macierzy Dodawanie macierzy można wykonać tylko dla macierzy o tych samych wymiarach (taka sama ilość wierszy oraz kolumn). Działanie to polega na dodawaniu do siebie odpowiadających sobie elementów, tzn. do elementu leżącego w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie pierwszej macierzy dodajemy element leżący w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie drugiej macierzy, itd. dla kolejnych elementów.

Dodawanie macierzy - przykład Poniżej został przedstawiony przykład dodawania macierzy: + =

Odejmowanie macierzy Odejmowanie macierzy można wykonać podobnie jak dodawanie - tylko dla macierzy o tych samych wymiarach. Działanie to polega na odejmowaniu od siebie odpowiadających sobie elementów, tzn. od elementu leżącego w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie pierwszej macierzy odejmujemy element leżący w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie drugiej macierzy, itd. dla kolejnych elementów.

Odejmowanie macierzy - przykład Poniżej został przedstawiony przykład odejmowania macierzy: - =

Mnożenie macierzy przez skalar Macierze możemy mnożyć przez liczbę (skalar). Polega to na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę. Poniżej przedstawiłam przykład: 5* =

Mnożenie macierzy razy macierz Mnożenie macierzy jest nieco bardziej skomplikowane niż przedstawione wcześniej działania. Aby mnożenie było możliwe, pierwsza z mnożonych macierzy musi mieć taką liczbę kolumn, jak druga wierszy, w innym przypadku nie da się zrealizować mnożenia. Aby obliczyć pierwszy element wynikowej macierzy należy pomnożyć element a11 razy element b11, a następnie do tego iloczynu dodać wynik mnożenia elementu a12 razy b21, itd. dla kolejnych elementów pierwszego wiersza pierwszej macierzy i pierwszej kolumny drugiej macierzy. Podobnie postępujemy dla uzyskania następnych elementów macierzy wynikowej. Może wydaje się to trochę skomplikowane, ale kolejne slajdy powinny rozjaśnić to działanie.

Mnożenie macierzy - przykład Aby łatwiej było stwierdzić, jaki wymiar będzie miała macierz wynikowa, mnożenie macierzy zapisujemy w następujący sposób:

Zapis czynności, które wykonujemy obliczając element a11 macierzy wynikowej zaznaczony na czerwono wygląda tak: 7*1+8*7+2*8+3*9=7+56+16+27=106 * = Obliczając kolejne elementy iloczynu postępujemy tak samo, np. dla elementu a22 obliczenie wygląda następująco: 7*2+4*8+1*7+2*0=14+32+7+0=53

Dowód na nieprzemienność mnożenia macierzy * = Jak widać na przedstawionym przykładzie, oba iloczyny są zupełnie różne, chociaż składniki mnożenia są takie same, tylko w odwrotnej kolejności.

Zastosowanie macierzy Macierze mogą ułatwić rozwiązywanie wielu problemów matematycznych. Najprostszym przykładem wykorzystania macierzy jest rozwiązywanie układów równań. Macierze znajdują również szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach techniki, takich jak informatyka, elektronika itd.

Dziękuję za uwagę !