Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Matematyka to pismo wyryte w ludzkiej świadomości przez samego Ducha Życia.” Claude Fayette Bragdon

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ – METODA GRAFICZNA. We wszystkich naszych lekcjach dotyczących układów równań mowa jest ciągle o równaniach stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi, czyli o równaniach liniowych. Nazwa „równanie liniowe” bierze się stąd, że obrazem takiego równania na płaszczyźnie jest linia prosta. Skoro potrafimy narysować równanie z dwiema niewiadomymi, możemy graficznie rozwiązywać układy równań.

METODA GRAFICZNA. Aby rozwiązać układ równań metodą graficzną, należy każde z równań przedstawić w postaci y = ax + b (a, b – dowolne liczby; x, y – niewiadome), następnie narysować wykres tych zależności w jednym układzie współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia się wykresów są rozwiązaniem układu równań.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Rozwiąż graficznie układ równań: Aby narysować wykresy przedstawiające równania musimy dla każdego z nich znaleźć co najmniej 2 punkty przez które przechodzi wykres. Przekształcamy oba równania do postaci y = ax +b.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. y = -5x + 11 Wybieram dowolną liczbę (najlepiej taką, aby łatwo było zaznaczyć punkt w układzie współrzędnych i wykonać obliczenia) i wstawiam do równania w miejsce x, następnie obliczam y. Dostaję w ten sposób punkt o współrzędnych (x; y). x = 2 y = -5 ∙ = = -1 (2, -1) x = 3 y = -5 ∙ = = -4 (3; -4) Obliczenie współrzędnych pierwszego punktu. Obliczenie współrzędnych drugiego punktu.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. y = 2x – 3 x = 0 y = 2∙ 0 – 3 = 0 – 3 = -3 (0; -3) x = 1 y = 2 ∙ 1 – 3 = 2 – 3 = -1 (1; -1) Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i rysujemy wykresy. Współrzędne punktu w którym linie się przecinają są rozwiązaniem układu równań.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy. Linie przecinają się w punkcie (2;1), a więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 2, y = 1. y = -5x + 11y = 2x – 3 Rozwiązanie

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2. Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną. Przekształcamy oba równania do postaci y = ax +b.

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy. y = 2,5x – 10,5 x = 3 y = 2,5 ∙ 3 – 10,5 = 7,5 – 10,5 = -3 (3; -3) x = 5 y = 2,5 ∙ 5 – 10,5 = 12,5 – 10,5 = 2 (5; 2)

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy. y = -0,6x – 1,2 x = -2 y = -0,6 ∙ (-2) – 1,2 = 1,2 – 1,2 = 0 (-2; 0) x = 3 y = -0,6 ∙ 3 – 1,2 = -1,8 – 1,2 = -3 (3; -3)

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy. Linie przecinają się w punkcie (3;-3), a więc rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x = 3, y = -3.

UWAGA. Graficzna metoda rozwiązywania układów równań jest niedokładna. Wykresy przez nas sporządzane zawszę zawierają pewne błędy, wynikające chociażby z grubości stosowanych przyborów do pisania. Nie zawszę jesteśmy w stanie dokładnie odczytać współrzędne punktu przecięcia się linii, zwłaszcza kiedy rozwiązaniem układu równań są ułamki. Aby upewnić się, czy odczytane liczby są rozwiązaniem układu równań, należy sprawdzić, czy spełniają oba równania (należy podstawić je do równań i sprawdzić, czy otrzymujemy równości prawdziwe).