KOLOROWANIE MAP

Grafy dualne do płaskich Dany jest 2-spójny graf płaski G. Wybierzmy po jednym wierzchołku v*_S z wnętrza każdej ściany S. Jeśli brzegi ścian S i S’ mają wspólną krawędź e, to połączmy v*_S i v*_S’ krawędzią e* (krzywą Jordana przechodzącą przez e). Otrzymujemy (multi)graf płaski G*, dualny do G, gdzie n*=l, m*=m, l*=n

Ilustracja G i G* e e*

Ściany  wierzchołki Każda ściana grafu G staje się wierzchołkiem grafu G*. I odwrotnie: G**=G

Kolorowanie map

Mapy a grafy planarne Mapa to zbiór ścian 2-spójnego grafu płaskiego o δ(G)>2 (ścianę zewnętrzną można traktować jako tło/ramę mapy). Kolorowanie mapy to kolorowanie (właściwe) wierzchołków grafu dualnego. Są mapy, które wymagają aż 4 kolorów.

Hipoteza 4 kolorów - historia H4K: KAŻDĄ mapę można pomalować 4 kolorami! Hipoteza z roku 1852 (de Morgan, bracia Guthrie) Dwa błędne dowody w XIX wieku (Kempe, Tait) Dowód komputerowy ogłoszony w 1976, zweryfikowany w 1989 (Appel, Haken, Koch) i 1997 (Robertson, Sanders, Seymour, Thomas)

6 kolorów wystarczy! Algorytm zachłanny: Jeśli G jest planarny, to e(G)<3v(G), więc δ(G)<6 Zatem

Heawood: 5 kolorów wystarczy Tw. o 5 kolorach (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny. Dowód: (nie wprost, na bazie błędnego dowodu Kempe) Niech G będzie grafem płaskim o χ(G)=6 i minimalnej liczbie wierzchołków. Niech wierzchołek x ma stopień 5. G-x jest 5-kolorowalny.

Dowód – c.d. Pomalujmy G-x 5 kolorami i spójrzmy na sąsiadów x: x_1,...,x_5 ponumerowanych cyklicznie wokół x. Można przyjąć, że x_i ma kolor i, i=1,...,5 Niech H(i,j) –podgraf indukowany przez kolory i i j. Gdyby x_1 i x_3 były w różnych składowych H(1,3), to zamieniając kolory w jednej z nich mielibyśmy tylko 4 kolory wokół x. Zatem x_1 i x_3 są połączone ścieżką, podobnie x_2 i x_4 – sprzeczność z płaskością G.

Ilustracja x_4 x_3 x x_5 x_2 x_1 ?

Błąd Kempe Analogiczne przekolorowanie nie działa, jeśli zamiast 5 różnych kolorów, wystepują 4, (w tym jeden dwa razy). Zauważył to dopiero Heawood.

Appel, Haken, Koch: idea Idea dowodu Heawooda/Kempe: Minimalny graf 6-kolorowalny G nie może zawierać wierzchołka x stopnia 5, bo 5-kolorowanie G-x można rozszerzyć na G. Każdy graf planarny zawiera taki wierzchołek.

Konfiguracje Konfiguracja jest redukowalna, gdy żaden minimalny 5-chromatyczny graf płaski jej nie zawiera. Zbiór konfiguracji jest nieunikniony, gdy każda triangulacja zawiera przynajmniej jedną z nich. Appel i Haken znaleźli nieunikniony zbiór złożony z 1482 konfiguracji i wraz z Kochem, przy pomocy komputerów, sprawdzili, że wszystkie one są redukowalne. To dowodzi H4K (dlaczego?).

Redukcja do map 3-regularnych Fakt 1. H4K jest prawdziwa wgdy każda 3-regularna mapa jest 4-kolorowalna. Dowód: Weźmy mapę G (2-spójna, δ(G)>2). Zastąpmy każdy wierzchołek stopnia >3 nowym krajem:

Pierwsza próba Taita 1880 Fakt 2. H4K jest prawdziwa wgdy każdy 3-regularny i 2-spójny graf planarny ma indeks chromatyczny 3. (Tait sądził, że potrafi udowodnić druga część tej równoważności.)

Dowód:  Pomalujmy ściany G elementami grupy Kleina: c_0=(0,0), c_1=(1,0), c_2=(0,1), c_3=(1,1) z dodawaniem mod 2. Każdej krawędzi przypiszmy kolor będący sumą kolorów ścian, które rozdziela. Ta suma nigdy nie będzie równa c_0. Dla 3 różnych indeksów i,j,k z {1,2,3,4} sumy c_i+c_j,c_i+c_k,c_j+c_k są parami różne . 

Ilustracja c_i+c_j c_i c_j c_i+c_k c_j+c_k c_k

Dowód  Malujemy krawędzie G niezerowymi elementami grupy Kleina. Jeśli C jest krzywą zamkniętą omijającą wierzchołki G, to suma kolorów krawędzi, które przecina wynosi c_0=(0,0). (ćw) Dowolną ścianę S_0 malujemy kolorem c_0. Do pozostałych ścian prowadzimy krzywe z S_0 i nadajemy im kolory równe sumom kolorów przecinanych krawędzi. Ta definicja jest poprawna a kolorowanie właściwe (ćw). 

Ilustracja S_0 S c_0

Druga próba Taita 1880 Mapę hamiltonwską można pomalować 4 kolorami (ćw). 3-regularny graf hamiltonowski ma indeks chromat. 3. Hipoteza Taita (1890). Każdy 3-spójny, 3-regularny graf planarny jest hamiltonowski. Z niej wynikałaby H4K, bo wystarczy ograniczyć się do grafów 3-regularnych (Fakt 1) oraz 3-spójnych (bez dowodu). Niestety... kontrprzykład Tutte’a (1946).