WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α’(G) – moc największego skojarzenia w G. Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2.

Tw. Tutte’a Niech q(G) będzie liczbą nieparzystych składowych grafu G. Tutte (1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tutte’a:

Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie,

Skojarzenia w grafach 2-dzielnych – tw. Königa Twierdzenie (König, 1931) Dla grafów dwudzielnych α’(G)= β(G).

Dowód tw. Königa (1) Niech M będzie największym skojarzeniem w grafie 2-dzielnym G o dwupodziale (A,B). Wystarczy pokazać, że istnieje pokrycie U mocy |M|. Ścieżka M-naprzemienna ma jeden koniec w A-V(M), drugi w B i co drugą krawędź w M . Konstrukcja zbioru U: do U zaliczamy po 1 końcu każdej krawędzi M, wybierając koniec w B, gdy kończy się w nim jakaś M-naprzemienna ścieżka, a koniec w A – w przeciwnym razie. Zatem U zawiera końce wszystkich M-naprzemiennych ścieżek (bo są M-nasycone).

Ilustracja dowodu Tw. Königa B A U

Dowód tw. Königa (2) Niech ab będzie krawędzią (a z A, a b z B). Pokażemy, że a lub b jest w U. Tak jest, gdy ab jest krawędzią skojarzenia M lub b jest końcem M-naprzemiennej ścieżki. W przeciwnym razie a jest M-nasycony (bo M jest maksymalne). Niech ab’ należy do M.

Dowód tw. Königa (3) Jeśli a nie jest w U, to b’ jest, tzn. b’ jest końcem M-naprzemiennej ścieżki, która omija a i b. Przedłużając tę ścieżkę o krawędzie b’a i ab, otrzymujemy M-naprzemienną ścieżkę kończącą się w b. Zatem b należy do U. 

Warunek (konieczny) Halla na istnienie skojarzenia zawierającego (nasycającego) zbiór A

Tw. Halla Tw. Halla (1935) Dwudzielny graf G o dwupodziale (A,B) posiada skojarzenie nasycające A wgdy zachodzi warunek Halla:

1. dowód Tw. Halla U – minimalne pokrycie E(G) Jeśli G nie ma skojarzenia nasycającego A, to z Tw. Königa: |U|= β(G) = α’(G )<|A| Nie ma krawędzi miedzy A-U i B-U. Zatem i warunek Halla nie zachodzi dla S=A-U. 

Ilustracja 1. dowodu Tw. Halla B A U

2. dowód Tw. Halla Indukcja względem |A|; prawda dla |A|=1. Niech |A|>1 i załóżmy prawdziwość dla <|A|. Dwa przypadki I. Warunek Halla zachodzi z nadmiarem, tzn. Usuńmy końce dowolnej krawędzi ab: G’=G-{a,b} G’ wciąż spełnia warunek Halla i z założenia ind. ma skojarzenie nasycające A-{a}, które wraz z krawędzią ab tworzy skojarzenie nasycające A.

2. dowód Tw. Halla –Przypadek II: Z założenia ind. podgraf G’ indukowany w G przez S’ i N(S’) ma skojarzenie nas. S’. Ale podgraf G’’=G-V(G’) też spełnia warunek Halla i z zał. ind. ma skojarzenie nas. A-S’. Rzeczywiście, gdyby istniał podzbiór S’’ w A-S’, dla którego |N(S’’)|<|S’’|, to -- sprzeczność. 

Ilustracja S’ S’’ G’’ N(S’’) N(S’)

3. dowód Tw. Halla Prosty wniosek z Tw. Tutte’a (do samodzielnego zastanowienia się)

Tw.Gallai’a Przypomnijmy: α(G), α’(G), β(G). Podzbiór F zbioru E(G) nazywamy pokryciem krawędziowym (wierzchołków), jeśli każdy wierzchołek jest końcem przynajmniej jednej krawędzi z F. β’(G) – moc minimalnego pokrycia Tw. (Gallai ,1959) Jeśli G nie ma wierzchołków izolowanych, to α’(G) + β’(G) =|V(G)|.

Ilustracja Tw. Gallai’a 3+6=9

Dowód Tw. Gallai’a Niech M będzie skojarzeniem, |M|= α’ . U=V(G)-V(M) jest zbiorem niezależnym. Dla każdego u w U, weźmy krawędź o końcu w u. Te krawędzie wraz z M tworzą pokrycie. Zatem

Ilustracja U M

Dowód Tw. Gallai’a – c.d. Niech L będzie pokryciem, |L|= β’. Niech M będzie największym skojarzeniem w H=G[L]=(V(G),L), a U=V(G)-V(M). U jest zbiorem niezależnym w H, więc a stąd

Ilustracja

Tw. dualne do Tw. Königa Łatwo pokazać, że α(G) + β(G) =|V(G)| dla każdego grafu G (ćwiczenia). Wniosek. Dla każdego grafu dwudzielnego bez wierzchołków izolowanych α(G) = β’(G). Dowód: Z tw. Gallai’a i powyższego ćwiczenia α’(G) + β’(G) =α(G) + β(G), a na podstawie Tw. Königa, α’(G) = β(G) . 

Skojarzenia ułamkowe Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E  [0,1] taka, że dla każdego wierzchołka v Suma wszystkich wag w(e) nie przekracza n/2. Jeśli suma wag jest równa n/2, to mówimy, że w jest doskonałym skojarzeniem ułamkowym.

Ilustracja 0.4 0.6 0.3 0.1 0.5 0.2 0.5 1 Suma = 2.1 Suma = 2.5