MATEMATYCZNO FIZYCZNA Dane INFORMACYJNE: ZESPÓŁ SZKÓŁ LEŚNYCH im. inż. Jana Kloski w GORAJU ID grupy: 97/85_MF_G1 Kompetencja: MATEMATYCZNO FIZYCZNA Temat projektowy: LICZBY FIBONACCIEGO Semestr/rok szkolny: SEMESTR I I 2010/2011

LICZBY FIBONACCIEGO

Zajęcia na temat liczb fibonacciego

FIBONACCI

Syn poczciwca Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci (circa 1170 - circa 1240). To sympatycznie brzmiące nazwisko kryje w sobie łacińskie filius Bonacci, czyli syn Bonacciego; z kolei Bonaccio możnaby (z grubsza) tłumaczyć jako: poczciwiec. Wspominamy o ojcu, bo prawdopodobnie jemu zawdzięczamy pośrednio sukcesy syna.

Syn szefa kolonii Bonaccio, pizański kupiec, był szefem włoskiej kolonii w północno-afrykańskim porcie Boużia (dziś algierska Beżaja). Tam Leonardo pobierał pierwsze lekcje matematyki u arabskiego nauczyciela. Widocznie dobrze się sprawował bo dalsze studia zawiodły go w rozliczne miejsca. Były to Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia - nieźle jak na 12- wiecznego studenta. Po powrocie do Pizy, w 1202 roku, Leonardo napisał swoje głośne dzieło Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się, i to w pierwszym rozdziale, arabskie a raczej hinduskie cyfry.

Znawca związków między liczbami Fibonacci był znawcą związków między liczbami. W 1225r. Na turnieju otrzymał zadanie: znaleźć liczbę, która jest zupełnym kwadratem i pozostanie nim również wówczas, gdy ją zwiększymy o 5 oraz gdy ją zmniejszymy o 5 (liczba jest zupełnym kwadratem, gdy jest kwadratem pewnej liczby wymiernej). Fibonacci po krótkim namyśle podał 1681/144. Nie wiadomo jak do tego doszedł.

Liber Abaci W dziele Leonarda Fibonacciego z Pizy pojawiły się także zadania i problemy związane z Ciągiem Fibonacciego. Chociaż nie wiadomo, kto go wymyślił, to jednak Pizańczykowi przypisuje się jego odkrycie.

Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli * każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, * para staje się płodna po miesiącu, * króliki nie zdychają?

Wspólna praca nad zadaniem:

W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

Itd..

Zadanie 2 Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata, nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty, czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych latach po posadzeniu?

Zadanie to można przedstawić następująco

Dwa różne zadania, a jednak podobne … Zadanie o królikach i o gałęziach drzewa są bardzo podobne i opierają się na tym samym ciągu liczb. Zatem liczba gałęzi w kolejnych latach opisana jest liczbami Fibonacciego. Zadanie o gałęziach jest jednak bardziej realistyczne. Biolodzy potrafią wskazać drzewa i rośliny, które właśnie w ten sposób się rozrastają np. dąb, krwawnik.

A wracając do roślin … Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin.

Rośliny

Złoty podział i złota liczba Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

W starożytności Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. Złoty podział uważali za proporcję doskonałą. Stosowali go w architekturze i sztuce.

Parthenon na Akropolu Fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie. Plan świątyni jest złotym prostokątem

Apollo Belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.) Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

Leonardo da Vinci, Studium ludzkiego ciała Renesans Podobno zasadą boskiej proporcji kierowali się także Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer, precyzyjnie dzieląc plany swych obrazów, tak, aby dobrze się komponowały. Leonardo da Vinci, Studium ludzkiego ciała Leonardo da Vinci (1452 – 1519)

Złoty podział odcinka Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). a b a + b a + b a b

Złota liczba jest niewymierna i jej rozwinięcie dziesiętne wynosi:

Wzory i zależności Złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby:

Własności złotej liczby Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

Ciąg Fibonacciego a złota liczba Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

Złoty prostokąt W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą.

Złoty prostokąt Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem. b a a - b

Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt 3 2 8 1 1 5

Złoty trójkąt 36º A C B D Trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. W złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.

Pięciokąt foremny Wszystkie boki równe. Wszystkie kąty równe, wszystkie przekątne równe, każda przekątna jest równoległa do jednego boku.

Pięciokąt foremny a złota liczba Punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. Przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. Złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

Ciekawostki Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. Każda liczba całkowita może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego. 1000 000 = 832 040 + 121 393 + 46 368 + 144 + 55 Są tylko dwie liczby Fibonacciego, które są kwadratami: 1 i 144. Są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są sześcianami: 1 i 8.