Centrum Edukacji Ogrodniczej Różne własności liczb naturalnych Nazwa szkoły: Centrum Edukacji Ogrodniczej ID grupy: 97/38_MF_G1 Opiekun: Aleksandra Wierchowicz Kompetencja: Matematyczno - Fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

Spis treści 1. Określenie liczb naturalnych. 2. Trochę historii; 3 Spis treści 1. Określenie liczb naturalnych. 2. Trochę historii; 3. Oznaczenia; 4. Zero; 5. Aksjomaty Peano. 6. Konstrukcja Fregego – Russela. 7. Liczby pierwsze i złożone. 8. Metody wyszukiwania liczb pierwszych, Sito Eratostenesa. 9. Niektóre rodzaje liczb pierwszych: Liczby bliźniacze; Liczby czworacze; Liczby izolowane; Liczby zaprzyjaźnione; Liczby Sophie Germain Liczby Mersenne’a 7. Test Lucasa - Lehmera

Spis treści 8. Cechy podzielności liczb. 9. Liczby doskonałe, liczby doskonałe drugiego rodzaju 10. Liczby zaprzyjaźnione. 11. Liczby palindromiczne. 12. Liczby lustrzane. 13. Liczba złota 14. Liczby gnomiczne. 15. Liczby olbrzymy. 16. Liczby automorficzne.

Co jest najmądrzejsze. Liczba. Co jest najpiękniejsze. Harmonia Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków.

Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności i ustalania kolejności, poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Cele Celem niniejszego projektu jest jedno z zagadnień teorii liczb, jakim są pewne własności liczb naturalnych, związane z ich dzielnikami, takie jak liczby doskonałe, liczby doskonałe II rodzaju, liczby zaprzyjaźnione, liczby (antypierwsze), itp. Głównym celem i zadaniem tego projektu będzie po pierwsze znalezienie i zaprezentowanie podstawowych faktów dotyczących omawianych problemów – definicji, metod znajdowania różnych typów liczb i historii ich odkryć, a po drugie – przedstawienie aktualnego stanu wiedzy na ten temat. Jest to też związane z poszukiwaniem największej znanej liczby pierwszej, a dokładniej z poszukiwaniami tzw. liczb pierwszych Mersenne’a.

Trochę historii Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Jak oznaczamy liczby naturalne Dla liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie , jak i , rzadziej inne. W matematyce określenie "liczby naturalne" oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. Począwszy od wprowadzenia w teorii mnogości modelu von Neumanna liczb naturalnych niektórzy autorzy dołączają do zbioru liczb naturalnych liczbę zero, której odpowiednikiem w tym modelu był zbiór pusty .

Zero Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później. W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w Definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w. Giuseppe Peano (ur. 27 sierpnia 1858 w Spinetta, 20 kwietnia 1932 w Turynie) – włoski matematyk i logik.

Aksjomaty Peano Definicję zbioru liczb naturalnych podał Giuseppe Peano, jako warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych: - 0 jest liczbą naturalną; - Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany ; - 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; - Różne liczby naturalne mają różne następniki; a≠b => S(a) ≠ s(b) Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Konstrukcja Fregego-Russela Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Liczby pierwsze i złożone Liczbę naturalną większą od 1, która ma dokładnie 2 podzielniki (jeden i samą siebie) nazywamy liczbą pierwszą. Liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną. Ze względu na liczbę dzielników możemy więc wszystkie liczby naturalne podzielić na trzy rozłączne podzbiory: Zbiór Opis {0,1} Liczby, które nie mają dzielnika lub posiadają 1 dzielnik {2,3,5,7,11,13,...} liczby, które posiadają 2 dzielniki - liczby pierwsze {4,6,8,9,10,12,...} liczby, które posiadają więcej niż 2 dzielniki - liczby złożone

Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej z zestawienia materiału objętego programem szkolnym dla szkół podstawowych: M. Dobrowolska, M. Karpiński, P. Zarzycki, Matematyka 5 - Podręcznik dla klasy V szkoły podstawowej, GWO, Gdańsk 2000, str. 28: Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . Liczbę naturalną różną od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... . Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone.

Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej z zestawienie materiału objętego programem szkoły średniej: R. Leitner, W. Żakowski, Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie, WNT, Warszawa 1974 (wyd. 10) , str. 48: Liczbę naturalną n > 1 nie mającą innych podzielników prócz 1 i n nazywamy liczbą pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Liczbę naturalną n > 1 nie będącą liczbą pierwszą, nazywamy liczbą złożoną, np.: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... Liczby 1 nie zaliczamy ani do liczb pierwszych ani do liczb złożonych

Definicja liczby pierwszej i liczby złożonej z zestawienia materiału objętego programem szkolnym dla szkół podstawowych: M. Dobrowolska, M. Karpiński, P. Zarzycki, Matematyka 5 - Podręcznik dla klasy V szkoły podstawowej, GWO, Gdańsk 2000, str. 28: Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... . Liczbę naturalną różną od zera, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ... . Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone.

Inne źródła wiedzy: Mały słownik matematyczny, Wiedza Powszechna, Warszawa 1967, str. 146: liczby pierwsze: liczby naturalne n > 1, które mają tylko dwa dzielniki naturalne: 1 oraz n. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są pierwsze Z. Muzyczka, M. Kordos Słownik szkolny. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996, str. 85: liczby pierwsze, liczby naturalne mające dokładnie dwa podzielniki naturalne. Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, str. 122: liczby pierwsze: liczby naturalne p > 1, których jedynymi dzielnikami są 1 oraz p. Liczby 1 nie zalicza się do l. p. liczby złożone: liczby naturalne n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, mają więc dzielnik naturalny k spełniający nierówność 1 < k < n.

Wreszcie podręczniki akademickie:  W Wreszcie podręczniki akademickie:  W. Sierpiński Arytmetyka teoretyczna, PWN, Warszawa 1968 (wyd. 4), str. 86: Liczbę naturalną p większą od jedności nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli p ma tylko dwa dzielniki (mianowicie 1 i p). Na to więc, żeby liczba naturalna p była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby spełniała równanie (p) = 2. Tutaj (n) jest liczbą dzielników naturalnych liczby n. Wł. Narkiewicz Teoria liczb, PWN, Warszawa 1977, str. 12: Każda liczba naturalna n > 1 ma przynajmniej dwa dzielniki naturalne - liczby 1 i n. Jeśli nie ma innych, to mówimy, że n jest liczbą pierwszą. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Liczby n > 1, które nie są liczbami pierwszymi, nazywamy liczbami złożonymi.

Metody wyszukiwania liczb pierwszych Około roku 200 p.n.e. grecki matematyk Eratostenes podał algorytm na znajdowanie liczb pierwszych. Mimo zaproponowania bardzo prostego algorytmu do dnia dzisiejszego matematyka nie zna lepszego sposobu na uzyskanie liczb pierwszych. Eratostenes kojarzył się będzie z sitem liczb pierwszych. Tak jak rolnik odsiewa wartościowe ziarno do bezużytecznych plew, tak Eratostenes używał swego sita do oddzielenia cennych liczb pierwszych, od ich zwyczajnych, złożonych.

(Eratostenes z Cyreny) urodził. się w 276 roku p. n. e, zmarł w 194. p (Eratostenes z Cyreny) urodził się w 276 roku p.n.e, zmarł w 194 p.n.e. Był greckim uczonym , filozofem ,matematykiem, astronomem, geografem oraz poetą. Jego osiągnięcia to oszacowanie średnicy Ziemi raz odległości od Słońca i Księżyca, pomiar kąta nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego, propozycja wprowadzenia roku przestępnego, metoda znajdowania liczb pierwszych nazwana na jego cześć sitem Eratostenesa. Kierował biblioteką w Aleksandrii.

Oto jak powstaje sito. Wypisujemy kolejne liczby naturalne (z przedziału dla którego chcemy znaleźć liczby pierwsze – np. od 0 do 100),

Zadanie polega na tym, iż stajemy na 2 (omijamy 1, która nie jest ani pierwsza ani złożona) i od 2 (którą zaznaczamy w kółeczko) skreślamy co drugą liczbę. Następnie na 3 (którą zaznaczamy w kółeczko) i od 3 skreślamy co trzecią liczbę. Na 4-ce nie stajemy, bo została skreślona (przy 2 i kroku dwa) Dalej na piątce i tak dalej aż zakreślimy wszystkie liczby.

Zakreślone (w kółko) w ten sposób liczby to liczby pierwsze z przedziału od 0 do 100.

Natomiast metoda, która daje odpowiedź na pytanie czy dana liczba naturalna jest pierwsza, czy nie – nosi nazwę testu pierwszości. Wśród takich metod praktyczne zastosowanie mają testy probabilistyczne, to znaczy takie, które pozwalają określić pierwszość liczby z dostatecznie dużym prawdopodobieństwem np: test pierwszości Millera-Rabina, test pierwszości Solovaya-Strassena.

Test pierwszości Test pierwszości to algorytm określający czy dana liczba jest pierwsza czy złożona. Nie jest to równoważne znalezieniu jej rozkładu na czynniki pierwsze. W obecnej chwili (2011 rok) nie są znane efektywne algorytmy rozkładu na czynniki pierwsze, natomiast testy pierwszości można przeprowadzać bardzo szybko.

Metoda naiwna Najprostszy test pierwszości wygląda następująco: dla danej liczby n sprawdzamy czy dzieli się ona kolejno przez 2, 3, aż do n-1. Jeśli przez żadną z nich się nie dzieli, oznacza to, że jest pierwsza. Zamiast testować wszystkie liczby do n-1, wystarczy sprawdzać podzielność n przez liczby mniejsze lub równe . Kolejne udoskonalenie polega na sprawdzaniu podzielności n jedynie przez liczby pierwsze mniejsze lub równe . Ich listę łatwo możemy uzyskać metodą sita Eratostenesa. Metoda ta niestety wciąż wymaga wykonania dużej ilości () dzieleń, co oznacza, że już dla 50-cyfrowych liczb pierwszych jest niewykonalna na współczesnych komputerach.

Testy probabilistyczne Obecnie najbardziej efektywne i najczęściej stosowane są testy probabilistyczne. Korzysta się w nich z losowo wygenerowanych liczb z ustalonego przedziału – pewien dobór tych wartości może dać błędny wynik testu, ale przy wybraniu wystarczająco wielu z nich prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest znikome. Przebieg testu probabilistycznego wygląda następująco: Wybierz losowo liczbę a Sprawdź pewne równanie zawierające a oraz zadaną liczbę n. Jeśli okaże się fałszywe, zwróć wynik n jest złożona. Wartość a jest wtedy świadkiem złożoności i test można zakończyć. Powtarzaj całą procedurę aż uzyskasz wystarczającą pewność. Jeśli w wystarczająco wielu próbach nie uda się stwierdzić złożoności n, test zwraca odpowiedź: n jest prawdopodobnie pierwsza.

Liczby pierwsze możemy również odszukiwać za pomocą wzorów Legendre podał wzór , który daje liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=28 Euler wskazał wzór dający liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=39 Escott zastępując we wzorze Eulera x przez x-40 otrzymał wyrażenie ,które przy wartościach od x=0 do x=39 daje liczby pierwsze Wzór dla k=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 daje liczby pierwsze. Przy k=37 wzór zawodzi dając liczbę 45 812 984 491, która jest iloczynem liczby 1777 przez 25 781 083.

Rodzaje liczb pierwszych - Liczby bliźniacze Są to dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Liczbami bliźniaczymi są więc np. następujące pary liczb: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), ... Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.  Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych: jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele, a jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone". Ciekawostka: Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb (260 497 545ˇ26 625-1,  260 497 545ˇ26 625+1).

Liczby zaprzyjaźnione Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dwie liczby A i B nazywają się zaprzyjaźnionymi jeżeli suma wszystkich dzielników liczby A (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie B i odwrotnie, suma wszystkich dzielników liczby B (mniejszych od niej samej) jest równa liczbie A. Takimi liczbami "przyjaciółkami" są  liczby jak wykazał Pitagoras: 220 i 284. Istotnie, 220=1+2+4+71+142, a więc liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284, a 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, a więc liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220.

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Znanych jest około miliona par liczb zaprzyjaźnionych. Nie wiadomo jednak czy istnieje ich nieskończenie wiele. Poniższa tabela podaje 11 przykładów  par liczb zaprzyjaźnionych: A B 220 284 1184 1 210 2620 2 924 5050 5 564 6232 6 368 10744 10 856 12285 14 595 17296 18 416 63020 76 084 66928 66 992 9363584 9 437 056 Ciekawostka: Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263!

Liczby czworacze – liczby pierwsze mające postać: Czyli pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie – zauważmy przy tym, że określenie liczby czworacze w odniesieniu do liczb postaci nie miałoby sensu, bowiem z trzech (a więc tym bardziej czterech) kolejnych liczb nieparzystych co najmniej jedna jest podzielna przez 3. Łatwo zauważyć, że ostatnimi cyframi liczb czworaczych są odpowiednio: 1, 3, 7 i 9.

Liczby izolowane Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

Liczby Sophie Germain Liczba pierwsza p jest liczbą Sophie Germain, jeśli liczba 2p+1 także jest liczbą pierwszą. Np.: 5, 11, 23, 29. Liczby te badano w związku z wielkim twierdzeniem Fermata. Nie wiadomo, czy jest ich nieskończenie wiele, ale prawdopodobieństwo trafienia na liczbę Sophie Germain wsród n początkowych liczb pierwszych dąży do zera (dla n dążącego do nieskończoności).

W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych postaci 2n - 1. Stwierdził, że 2n - 1 jest liczbą pierwszą dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 i nie jest nią dla żadnej inne wartości n mniejszej od 257. Przez następne dwa wieki nikt nie był wstanie tego potwierdzić ani zaprzeczyć.

Marin Mersenne (filozof, matematyk, popularyzator nauki) był franciszkańskim mnichem, który przeżył większą część swojego życia w paryskich klasztorach.

Test Lucasa – Lehmera Test pierwszości dla liczb Mersenne'a. Test jest bardzo szybki i bardzo prosty. Właśnie przy jego użyciu znaleziono największe liczby pierwsze. Test wymaga jak najszybszego algorytmu mnożenia np. szybkiej transformaty Fouriera.

Niech M oznacza liczbę Mersenne'a dla pewnej nieparzystej liczby pierwszej P (tzn. liczby pierwszej większej od 2). Definiuje się następujący ciąg liczb naturalnych Sk: Test Lucasa-Lehmera orzeka, że liczba Mp jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dzielnikiem wyrazu o numerze (p-2) w tym ciągu, co krótko zapisuje się kongruencją: Resztę z dzielenia liczby przez nazywa się residuum Lucasa-Lehmera liczby P. Istotę testu można zatem streścić sformułowaniem: liczba Mersenna jest pierwsza wtedy, i tylko wtedy, gdy residuum Lucasa-Lehmera liczby P równe jest zeru.

Przykład zastosowania testu lucasa Rozważmy M7 = 127 S1 = 4 S2 = 42 −2 = 14 S3 = 142 −2 = 194 ≡ 67 (mod 127) S4 ≡ 672 −2 = 4487 ≡ 42 (mod 127) S5 ≡ 422 −2 = 1762 ≡ 111 (mod 127) S6 ≡ 1112 −2 = 12319 ≡ 0 (mod 127) liczba M7 = 27−1 = 127 jest liczbą pierwszą.

Cechy podzielności liczb Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem. A oto niektóre z nich:

Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0. Przykład Liczba 5434567860 jest podzielna przez 2, ponieważ jest parzysta (ostatnia cyfra liczby wynosi 0)

Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba 26348671893 jest podzielna przez 3, ponieważ suma cyfr: 2 + 6 + 3 + 4 + 8 + 6 + 7 + 1 + 8 +9 + 3 = 57 jest podzielna przez 3.

Cecha podzielności przez 4 Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba 4234557780 jest podzielna przez 4, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: 80 jest podzielna przez 4.

Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. Przykład Liczba 928463870 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

Cecha podzielności przez 6 Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba 26348671890 jest podzielna przez 6, ponieważ jest parzysta i suma cyfr: 2 + 6 + 3 + 4 +8 + 6 +7 +1 + 8 + 9 + 0 = 54 jest podzielna przez 3.

Cecha podzielności przez 7 Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7. Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 tą metodą, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry (o ile posiada) i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 - to liczba wyjściowa, także dzieli się przez 7. Przykład Liczba 123456790 jest podzielna przez 7, ponieważ suma 790 - 456 + 234 - 1 = 567 jest podzielna przez 7.

Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba 1234567248 jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr 248 jest podzielna przez 8.

Cecha podzielności przez 9 Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykład Liczba 1234567890 jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45 jest podzielna przez 9.

Cecha podzielności przez 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero. Przykład Liczba 1233540890 jest podzielna przez 10, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

Cecha podzielności przez 11 Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11. Przykład Liczba 19141618100 nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica (9 + 4 + 6 + 8 + 0) - (1 + 1 + 1 + 1 + 0) = 22 jest podzielna przez 11.

Cecha podzielności przez 13 Liczba jest podzielna przez 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13. Liczba 85527 mamy 527 – 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc 85527 jest podzielna przez 13.

Cecha podzielności przez 10 Inna cecha podzielności przez 7, 11 lub 13, oparta na równości : Grupujemy cyfry po 3 od końca i każdą taką grupę poczynając od pierwszej z prawej oznaczamy przez a1, a2, a3, ... . Dana liczba dzieli się przez 7, 11, 13 jeśli suma S = a1 - a2 + a3 - ... jest podzielna przez 7, 11, 13. Np. dla liczby x = 111220336444 mamy: 444-336+220-111=217, co dzieli się przez 7, a nie dzieli przez 11 i 13, zatem x dzieli się przez 7, a nie dzieli przez 11 ani przez 13.

Liczby doskonałe Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Liczby doskonałe Do tej pory znaleziono 36 liczb doskonałych 6={1+2+3} 28={1+2+4+7+14} Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy. 496={1+2=4+8+16+31+62+124+248} 8128={1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064} Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.

Liczby doskonałe Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1). Liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki Przykład 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1 gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991).

Liczby doskonałe drugiego rodzaju Liczby doskonałe drugiego rodzaju. Liczbami doskonałymi drugiego rodzaju są liczby równe iloczynowi ich podzielników bez danej liczby. Przykłady: 6 = 1* 2 * 3 8 = 1* 2* 4 10 = 1* 2* 5 27 = 1 * 3 * 9 Wobec powyższego liczba 6 , 8, 10, 27 jest liczbą najdoskonalszą.

Liczby zaprzyjaźnione Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220) Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850. Niech: będzie liczbą naturalną, Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to są liczbami zaprzyjaźnionymi. Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284),(17,296, 18,416) oraz (9,363,584, 9,437,056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000.

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109

Liczby palindromiczne Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współcześnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, 1111111...

Liczby lustrzane Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem. 23 - 32 5693 - 3965 125 – 521 68 - 86 3245 – 5423 17 - 71 Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np. 1221:11=192.  

Liczby gnomiczne n 2n+1 n2 (n + 1)2 Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby. n 2n+1 n2 (n + 1)2 1 3 4 2 5 9 7 16 25 11 36 6 13 26 49

Liczby olbrzymy Z liczbami-olbrzymami spotykamy sie nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inna przyjęta za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi wiec na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego. W Polsce (i innych krajach np. w Niemczech, w Anglii) przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe, a np. w Ameryce, Francji grupy trzycyfrowe. Czasami warto znać nazwy dużych liczb. Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu  stosowanego w Polsce). Liczby, które nie są pogrubione, są jednostkami pośrednimi (wzrastają o trzy zera).

 jeden      1       100    tysiac      1 000       103    milion      1 000 000      106  miliard      1 000 000 000     109  bilion      1 000 000 000 000     1012  biliard      1 000 000 000 000 000    1015  trylion      1 000 000 000 000 000 000    1018  tryliard      1 000 000 000 000 000 000 000    1021  kwadrylion      1 000 000 000 000 000 000 000 000    1024  kwadryliard  1 000 000 000 000 000 000 000 000 000     1027  kwintylion      1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000   1030  kwintyliard  ...     1033  sekstylion      1036  sekstyliard  ...    1039  septylion      1042  septyliard  ...   1045  oktylion      ...      1048  oktyliard  1051  nonilion      1054  noniliard  1057  decylion      1060  decyliard  1063  ...  centylion      10600

Ciekawostki: Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. Widocznych gwiazd jest około 1087.

Liczby automorficzne Liczba automorficzna to taka liczba, która podniesiona do kwadratu zawiera w końcówce samą siebie. Przykład: Liczbą automorficzną jest np. liczba 625 ponieważ 625 x 625 = 390625. (liczba 625 jest końcówką liczby 390625) Jednocyfrowe liczby automorficzne to: 0, 1, 5 i 6. Liczby automorficzne z wyjątkiem 0 i 1 zawsze będą się kończyć cyfrą 5 lub 6. Pierwszych dwadzieścia liczb automorficznych: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625.

W 1801 roku w artykule Disquisitiones Arithmeticae C. F W 1801 roku w artykule Disquisitiones Arithmeticae C.F. Gauss pisał: Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynniki pierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużym praktycznym znaczeniu w arytmetyce ... .Sama powaga nauki zdaje się wymagać, aby dołożyć wszelkich możliwych starań do rozwiązania tak eleganckiego i tak słynnego zagadnienia.

Bibliografia: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne http://www.medianauka.pl/liczby_pierwsze http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php http://www.pcdn.edu.pl/zespoly/matematyka/publikacje http://www.math.edu.pl/liczby-mersennea http://gazetka_matematyczna.republika.pl/ciekawostki_ o_liczbach.htm http://matmano1.republika.pl