Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: VIII Liceum Ogólnokształcące im. Adama Mickiewicza w Poznaniu ID grupy: 97/94_MF_G1 Opiekun: Wiesława Wolniak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: 2011/2012

Ciąg Liczb fibonacciego

Leonardo Fibonacci Leonardo z Pizy ur. około 1175r. zm. w 1250r. Włoski matematyk znany jako: Leonardo Fibonacci, Fillus Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy). Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci (circa 1170 - circa 1240). To sympatycznie brzmiące nazwisko kryje w sobie łacińskie filius Bonacci, czyli syn Bonacciego; z kolei Bonaccio możnaby (z grubsza) tłumaczyć jako: poczciwiec. Wspominamy o ojcu, bo prawdopodobnie jemu zawdzięczamy porednio sukcesy syna. Bonaccio, pizański kupiec, był szefem włoskiej kolonii w północno-afrykańskim porcie Boużia (dziś algierska Beżaja). Tam Leonardo pobierał pierwsze lekcje matematyki u arabskiego nauczyciela. Widocznie dobrze się sprawował bo dalsze studia zawiodły go w rozliczne miejsca. Były to Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia - nieźle jak na 12-wiecznego studenta. Po powrocie do Pizy, w 1202 roku, Leonardo napisał swoje głośne dzieło Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się, i to w pierwszym rozdziale, arabskie a raczej hinduskie cyfry. Warto tu wspomnieć, że ten dla nas tak dzisiaj naturalny system, wędrował do Europy za pośrednictwem Arabów dobre parę setek lat. To warto zobaczyć - jak hinduskie znaczki, za pośrednictwem przedsiębiorczych Arabów, docierały do Europy. Nota bene: słynny wynalazek hinduski - zero, pojawiło się około IV-V wieku po Chrystusie, początkowo w formie kropki. Wraz z jego pojawieniem rozpoczął się dziesiętny system pozycyjny.

Czego dokonał fibonacci Napisał szereg rozpraw matematycznych, z których wiele zaginęło. Wśród prac, których kopie zachowały się do czasów współczesnych znajdują się: -Liber Abaci(1202), gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki, -Practica geometriae (1220), będące połączeniem algebry i geometrii, -Flos (1225) i Liber quadratorum.

Pierwszy i drugi wiersz to hinduskie cyfry z II i VIII wieku Trzeci i czwarty wiersz to cyfry arabskie z Hiszpanii z IX wieku Ze względu na skomplikowane (?) i różne (!) formy zapisu nowy sposób kodowania przyjmował się opornie jeszcze w 1229 roku rada miejska Florencji zabroniła używania arabskich cyfr, nakazując posługiwanie się symbolami rzymskimi lub wypisywanie liczb ,,słownie''. Powodem były ...częste fałszerstwa. Zero można było łatwiutko przerobić na 6 lub 9, a w ogóle taka cyfra która przedstawia sobą ,,nic'' długo nie docierała do świadomości średniowiecznych rachmistrzów. Największa zasługa Fibonacciego to definitywne spopularyzowanie arabskiego systemu numerycznego

W Liber Abaci można znaleźć szereg ciekawych problemów matematycznych Znajdziemy tam zadania np. zawartość czterech sakiewek Trzech mężczyzn znalazło sakiewkę zawierającą 23 denary. Pierwszy powiedział do drugiego: ,,Jeżeli dodam te pieniądze do swoich to będę miał dwa razy więcej od ciebie''. Drugi podobnie zwrócił się do trzeciego: ,,Ja zaś, jeżeli wezmę te pieniądze będę miał trzy razy więcej od ciebie''. W końcu trzeci powiedział do pierwszego: ,,Ja dodając te pieniądze do swoich będę miał cztery razy więcej niż ty''. Ile denarów miał każdy z nich? Były też tam ulubione przez matematyków arabskich równania diofantyńskie (Diofantes, grecki matematyk z Aleksandrii, III w.). Takie równanie diofantyńskie to równanie z dwoma niewiadomymi, np. 6x - 9y = 29 którego (zazwyczaj nieskończenie wiele) rozwiązań poszukujemy w klasie liczb całkowitych, albo przynajmniej wymiernych. Łatwo spostrzec, że w takiej sytuacji rozwiązań nie ma: 6x i 9y to liczby całkowite podzielne przez 3, a 29 przez trzy się nie dzieli. Wystarczy jednak lekko go zmienić 6x - 9y = 30 i rozwiązań w postaci całkowite) mamy nieskończenie wiele.

Tour de force Fibonacciego to rozwiązanie równania trzeciego stopnia x3 + 2x2 + 10x = 20. Był to jeden z piętnastu problemów, które przedstawiono do rozwiązania Leonardowi na dworze cesarza Fryderyka II. Leonardo poradził sobie z tym równaniem metodą prób i błędów. Jego rozwiązanie podane w notacji sześćdziesiątkowej to w notacji dziesiętnej 1,3688081075. Naprawdę warto sprawdzić, że jest to przybliżone rozwiązanie jest poprawne do przedostatniego (!) miejsca po przecinku włącznie. Leonardo Fibonacci sumiennie przestudiował i przyswoił sobie ówczesną wiedzę matematyczną. Co więcej - potrafił sam w sposób znaczący tę wiedzę wzbogacić. Jego prace dotyczące teorii liczb (np. zagadnienie kongruencji) musiały czekać 400 lat na kontynuatorów.

To jednak, że nazwisko Fibonacciego weszło do matematyki to zasługa pewnego ciągu liczb, nazwanego (dopiero w XIX w. przez francuskiego matematyka, Edwarda Lucasa) ciągiem Fibonacciego. Jak zwykle - to nie Leonardo ,,wymyślił'' ten ciąg. Ale w jego Liber Abaci jest taki oto problem: Pewien gospodarz zamknął w dużej klatce parę królików. Ile par królików będzie w klatce po roku, jeżeli każda para królików co miesiąc rodzi nową parę, a ta staje się ,,reproduktywna'' po upływie miesiąca? Miesiąc Pary Całkowita   dorosłe młode liczba par 1 2 3 5 4 8 13 6 21 7 34 55 9 89 10 144 11 233 12 377 Nietrudno zauważyć, że liczba par w kolejnym miesiącu to suma dwóch składników: liczby par poprzedniego miesiąca, powiększonej o liczbę par przychówku. Ta ostatnia liczba jest równa liczbie par sprzed dwóch miesięcy. Liczby Fibonacciego to (Dodanie dwóch jedynek na początku można też interpretować przy pomocy królików: jeżeli para została zamknięta w klatce zaraz po urodzeniu to po miesiącu w klatce ciągle była tylko ta jedna parka. Zero - no cóż, od czegoś trzeba zacząć) (2)

Liczby Fibonacciego są przykładem ciągu rekurencyjnego liczb całkowitych, który posiada cały szereg zaskakujących własności. Na przykład:

Ta sympatyczna relacja, opublikowana po raz pierwszy w 1650r Ta sympatyczna relacja, opublikowana po raz pierwszy w 1650r. (Kepler znał ją 50 lat wcześniej!) przez Jean Dominique Cassiniego (tego od przerwy Cassiniego w pierścieniach Saturna), przy podstawieniu n=2k staje się podstawą paradoksu Cassiniego, ulubionej ponoć łamigłówki Lewisa Carolla (autor ,,Alicji w krainie czarów'' był nauczycielem matematyki!). Mamy F22k = F2k- 1F2k+1 - 1. Teraz podzielimy szachownicę na cztery części i ułożymy z niej prostokąt. Miałeś 8 x 8 = 64 kwadraciki , masz 5 x 13 = 65. Wystarczy by bok kwadratu był liczbą Fibonacciego, aby posklejany z niego kawałków prostokąt miał pole o jednostkę większą lub mniejszą. Nie słyszałeś pewno nigdy o prawie zachowania powierzchni, ale tak na zdrowy rozum to powinno takie prawo istnieć. Czyżby liczby F nie musiały mu się podporządkowywać? Pomyślałeś już - choć trochę - o tym dziwnym zjawisku. No to, z tych samych kawałków szachownicy ułóż cos bardziej skomplikowanego: . Miałeś 64 kwadraciki, masz 63. No więc?

Obliczanie liczb Fibonacciego Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja Fn wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągu. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru n musi mieć co najmniej Fn liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność. Liczby pierwsze Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to liczby pierwsze: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229. Otwarty pozostaje problem rozstrzygalności, czy liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego jest nieskończenie wiele.

Graficzna reprezentacja dwójkowa Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

Ciąg lucasa i fibonacciego Ciąg Fibonacciego Ciąg Lucasa To ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go

Ciąg fibonacciego w biologii Ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciąg taki opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. Liczy Fibonacciego pomogą nam również narysować najbardziej zbliżony do prawdziwego schemat struktury drzewa. Zakładając że rozgałęzienia będą kolejnymi liczbami ciągu. W ten sposób powstanie najbardziej  prawdziwy schemat w porównaniu do wszystkich innych. Okazuje się bowiem że liczba gałęzi drzewa które sąsiadują ze sobą pionowo to liczba Fibonacciego. Dodatkowo ilośc gałęzi pomiędzy gałęziami które ze sobą sąsiadują ponowo to też liczba Fibonacciego. Gdy spojrzymy na drzewo z góry spostrzeżemy że liścię nie zachodzą na siebie (nie zasłaniają się), dzięki czemu drzewo jest w stanie maksymalnie wykorzystać energie słońca, zebrać dostateczną ilość deszczu itd. Złote proporcje Fibonacciego działają!

W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Małe głowy maja odpowiednio 21 i 34 zwoi, albo 13 i 21. Szyszki drzew iglastych, owoce ananasa - potrafią mieć podobne Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

"Złota liczba", "złote cięcie", "złoty podział", "złota proporcja", "złoty prostokąt" i "złota spirala". W dotychczasowych rozważaniach kilkakrotnie odwołałem się do liczby Phi (Fi) i opartej na niej Złotej Spirali (spirali złotego środka). Można tu wspomnieć jeszcze o takich pojęciach jak "złota liczba", "złote cięcie", "złoty podział", "złota proporcja" czy "złoty prostokąt". Wszystkie one w sposób bezpośredni odnoszą się do liczby Phi. Czym jest więc tajemnicza liczba Phi? Jest ona "boską" liczbą wyrażającą Złotą Proporcję (podział harmoniczny, łac. sectio aurea). Matematycznie istnieje tylko jedno takie cięcie (podział), które dzieli cały odcinek na trzy części tak, że dłuższa część odcinka ma się do średniej części tak samo, jak średnia część do małej. Owo złote cięcie wyznacza idealny harmoniczny podział, który tworzy wewnętrzny ład świata i sprawia, że życie jest ładem, a nie chaosem. "Aby otrzymać dokładną liczbę phi na drodze obliczeń matematycznych należy rozwiązać następujące równanie kwadratowe phi*phi = phi + 1. Nie wnikając w szczegóły, po jego rozwiązaniu otrzymujemy dwie wartości (...) 1,6180339... i 0,618039

Tak więc: b = 0. 618 a = 1 a+b = 1. 618 (Fi= 1. 6180339 Tak więc: b = 0.618 a = 1 a+b = 1.618  (Fi= 1.6180339...) Stosując złotą liczbę Fi = 1.6180339 możesz [do istniejących odcinków a, b oraz (a+b)] dorysowywać kolejne odcinki i każdy kolejny odcinek będzie się proporcjonalnie wydłużać tak jak b do a i a do (a+b). Niech odcinek(a+b)  będzie naszym odcinkiem C = 1.6180339 (złota liczba Fi). Gdy weźmiesz odcinek C o długości Fi = 1.618, to możesz następnie dorysowywać kolejne, proporcjonalne odcinki. Możesz to robić na dwa sposoby: A) mnożąc liczbę Fi przez samą siebie: 1.0000000 x 1.6180339 =  1,6180  33... 1.6180339 x 1.6180339  = 2,6180  33... 2,6180337 x 1.6180339  = 4,2360  67... 4,236067.. x 1.6180339 =  6,8541  00..., etc. lub B) dodając do kolejnej sumy, poprzednią sumę: 0.6180339 + 1.0000000 =  1,6180 339 1.0000000 + 1.6180339 =  2,6180 339 2.6180339 + 1.6180339 =  4,2360 678 4,2360678 + 2.6180339 =  6,8541 017, etc... W wyniku dodawania albo mnożenia zawsze uzyskasz takie same kolejne liczby do czterech lub więcej miejsc po przecinku (zależy to od tego ile miejsc po przecinku uwzględnimy na samym początku obliczeń). Liczby te wyznaczą po prostu długość kolejnych odcinków. Proporcja tworzonych w ten sposób nowych odcinków zostanie zachowana - tak jak na poniższym obrazku:

Proporcja złotego podziału, którą widać na rysunku kości dłoni, to ta sama proporcja, którą widać na obrazku wyjściowym: Liczby, które otrzymaliśmy w wyniku dodawania i mnożenia: A = 1,000000 cm B = 1,618033 cm C = 2,618033 cm D = 4,236067 cm to długości kolejnych kości dłoni* * Oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm. Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618…

ciąg Fibonacciego w architekturze Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

Ciąg fibonacciego w muzyce W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheizn Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Christobal Halffter Fibonacciana. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Mayera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą.

Źródła http://pl.wikipedia.org/wiki/Fibonacci http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/FIBO.HTM http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego http://www.biolog.pl/encyclopedia-387.html http://en.wikipedia.org/wiki/Phyllotaxis http://www.swietageometria.darmowefora.pl/index.php?topic=15.msg108#msg108