Różne własności liczb naturalnych

Historia ich odkryć Liczby naturalne

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Zero Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu "pustego miejsca". Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.

Liczba pierwsza Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 47 (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: 243112609−1 i liczy sobie 12978189 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 23 sierpnia 2008 roku przez Edsona Smitha – uczestnika projektu GIMPS. Poprzednia największa liczba pierwsza, 44 liczba Mersenne'a, została odkryta we wrześniu 2006.

Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr oraz nagrodę 150 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 100 milionach cyfr.

Liczba doskonała Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056 i 137438691328

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991).

Liczby zaprzyjaźnione Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości. to wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona.

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109

Liczba złożona Liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi, tj. posiadają jakiś naturalny dzielnik różny od jedności i ich samych. Równoważna definicja: liczby złożone to liczby naturalne posiadające więcej niż dwa całkowite dodatnie dzielniki. Każda liczba dzieli się przez 1 i przez nią samą, a złożone dodatkowo co najmniej przez jedną inną liczbę.

Liczba pierwsza Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą np. 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 itp. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwszymi ani złożonymi.

Liczby pierwsze bliźniacze Już greccy matematycy ze szkoły pitagorejskiej, którzy szczególnie cenili sobie harmonię i ład wśród liczb, interesowali się liczbami bliźniaczymi, czyli takimi parami kolejnych liczb pierwszych, których różnica jest równa 2. Takimi parami są 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 itd. P.A. Clement następująco scharakteryzował liczby pierwsze bliźniacze: Niech n ≥ 2. Liczby n i n + 2 tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych wtedy i tylko wtedy, gdy 4((n - 1)! + 1) + n ≡ 0 (mod n(n + 2))

Liczby pierwsze czworacze Istnieją także czwórki kolejnych liczb pierwszych, dające dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład 11, 13, 17, 19 lub 191, 193, 197, 199. Jeżeli taką czwórkę tworzą liczby pierwsze p, p+2, p+6 i p+8, to pary takie nazywamy liczbami czworaczymi.

Liczby pierwsze izolowane Liczba pierwsza izolowana to taka liczba p, jeśli najbliższa liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4. Np.: 91, 97. Liczb izolowanych jest nieskończenie wiele. Dowodem może być choćby fakt, że każda liczba pierwsza postaci 45n+7 jest izolowana

Liczby palindromiczne pierwsze To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929. Liczby pierwsze lustrzane To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97, 107 i 701,.. Liczby pierwsze Fermata Są to liczby pierwsze postaci 2n+1 . Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537

Liczba doskonała Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ (6 = 3 + 2 + 1). Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128, 33550336,8589869056 i 137438691328. Liczba doskonała II rodzaju – liczba naturalna n>1, która jest równa iloczynowi wszystkich mniejszych od niej dzielników.

Liczby najbardziej złożone Liczbą najbardziej złożoną nazywamy taką liczbę, która ma więcej podzielników, niż każda liczba naturalna mniejsza od niej np. liczba 6 jest najbardziej złożona, gdyż ma cztery podzielniki, a liczby naturalne mniejsze od 6 mają mniej podzielników.

Liczby Mersenne’a Liczby Mersenne'a – liczby postaci 2p − 1, gdzie p jest liczbą naturalną. Liczby Mersenne'a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne'a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało, błędną.Liczbę Mersenne'a M(p)można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: 21, 22, 23, 24,... Liczby złożone Mersenne'a to liczby Mersenne'a M(p), które są złożone, gdy liczba p jest pierwsza (gdy p jest złożone, to M(p) jest zawsze złożone). Warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym, żeby liczba M(p) była pierwsza jest, by p było liczbą pierwszą. Przykładowo: M(p) jest liczbą pierwszą dla p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, M(p) jest liczbą złożoną dla p = 11, gdyż 211−1 = 23·89.

Liczby pierwsze Mersenne‘a Liczby pierwsze Mersenne‘a.Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Mersenne'a. Obecnie poznano ich 47: 1. 22 − 1, … 47. 243112609 − 1 Liczby złożone Mersenne‘a.Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych Mersenne'a. np.

ZNAJDOWANIE RÓŻNYCH TYPÓW LICZB

Jak znaleźć kolejne liczby pierwsze? Sito Eratostenesa - metoda znajdywania liczb pierwszych Około roku 200 p.n.e grecki matematyk Eratostenes podał algorytm na znajdowanie liczb pierwszych. Nazwa pochodzi od sposobu w jaki są one znajdowane. Wszystkie liczby po kolei przesiewa się - usuwane są spośród nich wszystkie wielokrotności danej liczby. Przykład: Za pomocą sita Eratostenesa wszystkie liczby pierwsze z zakresu od 2 do 50. Instrukcja:- zostaw liczbę 2 i skreśl wszystkie liczby parzyste,- zostaw liczbę 3 i skreśl wszystkie liczby podzielne przez 3,- zostaw liczbę 5 i skreśl wszystkie liczby podzielne przez 5,- zostaw liczbę 7 i skreśl wszystkie liczby podzielne przez 7. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

2 3 - 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47

Jak znaleźć kolejne liczby doskonałe ? W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. Okazuje się, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą - inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać(2p-1) 2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą

6 28 496 8128 ----------- 33550336 8589869056 p (liczba pierwsza) 2p-1 Liczba doskonała 2p-1X (2p-1) 2 3 6 4 7 28 5 16 31 496 64 127 8128 11 1024 2047(złożona) ----------- 13 4096 8191 33550336 17 65536 131071 8589869056

Jak znaleźć liczby zaprzyjaźnione ? Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę . Niech: będzie liczbą naturalną, Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to i liczbami zaprzyjaźnionymi. Metoda ta sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000. n p q r Liczby zaprzyjaźnione 2 5 11 71 220 284 4 23 47 1151 17296 18416

Sposób na sprawdzenie czy dana liczba jest liczbą pierwszą w programie MS Excel

Funkcje W tym celu do zbadania czy dana liczba jest liczbą pierwszą wykorzystamy cztery funkcje: - Jeżeli(test_logiczny; wartość_jeżeli_prawda; wartość_jeżeli_fałsz) sprawdza czy warunek jest spełniony, i zwraca jedną wartość, jeśli PRAWDA, a drugą jeśli FAŁSZ - MOD(liczba;dzielnik) zwraca resztę z dzielenia - ILE.LICZB(wartość1; wartość2;…) oblicza, ile komórek zawierających liczby oraz ile liczb znajduje się na liście argumentów - MIN(liczba1;liczaba2;…) zwraca najmniejszą wartość ze zbioru wartości, ignoruje wartości logiczne i tekst

Kolejność wykonywania W kolumnie A arkusza kalkulacyjnego wprowadź liczby od 1 do 6000 wykorzystaj do tego wypełnianie seriami danych, Scal zakres komórek D2:I3 i wpisz zdanie: Czy dana liczba jest liczbą pierwszą? Scal komórki E6:E7 i wpisz literę x, oraz scal komórki F6:G7 i pozostaw to miejsce puste do wpisywania badanej liczby

Kolejność wykonywania W komórkę B1 wprowadź następującą formułę i skopiuj ją aż do komórki B6000: =JEŻELI((MOD(F$6;A1)=0);A1;" ") dzięki niej arkusz kalkulacyjny znajdzie nam wszystkie całe dzielniki - Jeżeli (test_logiczny – MOD(F$6;A1)=0 wartość_jeżeli_prawda – A1 wartość_jeżeli_fałsz – „ ”) komórka F6 zawiera badaną liczbę

Kolejność wykonywania W komórce D12 wprowadzamy następującą formułę =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;"Liczba NIE jest liczbą pierwszą";"Liczba JEST liczbą pierwszą!") Formuła ta określa czy badana liczba zawiera w zakresie komórek B1:B6000 więcej dzielników niż 2, jeśli spełnia ten warunek to wyświetla się w komórce B12 napis Liczba NIE jest liczbą pierwszą, w przeciwnym wypadku pokaże się napis: Liczba JEST liczbą pierwszą!

Kolejność wykonywania W komórce D14 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B2:B6000)>2;"ponieważ istnieją co najmniej dwa dzielniki";" ") Gdy badana liczba nie jest liczbą pierwszą pojawi się zdanie: "ponieważ istnieją co najmniej dwa dzielniki„, w przeciwnym wypadku komórka pozostanie pusta.

Kolejność wykonywania W komórce D16 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B2:B6000)>2;"większe od 1 mniejsze od x. np.:";" ") Gdy badana liczba nie jest liczbą pierwszą pojawi się zdanie: " większe od 1 mniejsze od x. np.:„ w przeciwnym wypadku komórka pozostanie pusta.

Kolejność wykonywania W komórce D18 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;F6;" ") W komórce E18 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;" = ";" ") W komórce F18 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;C60;" ") W komórce G18 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;" * ";" ") W komórce H18 wprowadzamy formułę: =JEŻELI(ILE.LICZB(B1:B6000)>2;F6/C60;" ")

Kolejność wykonywania Aby funkcje poprawnie działały w komórce C60 szukamy najmniejszego dzielnika dla badanej liczby (ale większego od 1), za pomocą funkcji minimalna =MIN(B2:B6000)

Jak sprawdzić czy dana liczba jest liczbą pierwszą w programie MS Excel

Prezentacja działania

Największe znane liczby określonego typu

znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora. Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora. Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 47 (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: 243112609−1 i liczy sobie 12978189 cyfr w zapisie dziesiętnym. Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith w ramach projektu GIMPS /Współcześnie poszukiwaniem liczb pierwszych Mersenne'a i rozkładaniem liczb złożonych na czynniki pierwsze zajmują się projekty obliczeń rozproszonych. Czołowym z nich jest właśnie GIMPS, do którego należy odkrycie ostatnich dwunastu największych znanych liczb pierwszych/

Największą znaną liczbą pierwszą, która nie jest liczbą Mersenne'a jest: która w zapisie dziesiętnym liczy 3 918 990 cyfr. Liczba ta jest dziewiątą największą znaną liczbą pierwszą i została odkryta 26 marca 2007 roku w ramach projektu Seventeen or Bust. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

Liczba doskonała nieparzysta -jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991). Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109

Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych (stan na listopad 2007) to Liczby te, znalezione w 2007 roku, posiadają 58711 cyfr w zapisie dziesiętnym Największe znane liczby czworacze to 4104082046 × 4799! + 5651, 4104082046 × 4799! + 5653, 4104082046 × 4799! + 5657 oraz 4104082046 × 4799! + 5659, gdzie ! jest silnią.

97_12_MF/G2