Dane INFORMACYJNE Zespół Szkół Gastronomicznych w Poznaniu 97/91_mf_g1 Magdalena Majchrzak matematyczno - fizyczna Arytmetyka i algebra przez geometrię. Letni 2011/2012.

Spis treści Liczby kwadratowe, trójkątne i wielokątne. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Niemożliwe pierwiastki. Odcinki o długości niewymiernej. Dywan Sierpińskiego. Liczby Fibonacciego. Wzór Bineta. Graficzna prezentacja ciągu. Złota liczba. Klasy reszt.

Liczby kwadratowe, trójkątne i wielokątne. Są to szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat". Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem: kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat, np. 1 + 3 = 22 , 1 + 3 + 5 = 32 , 1 + 3 + 5 + 7 = 42 .

Liczby trójkątne. Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

Przez oznaczmy Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną. Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Początkowe liczby trójkątne: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, ... Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

Liczby wielokątne. Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy. 1 3 4 5 6 9 12

Wzór na liczbę wielokątną:

Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Każda liczba naturalna (n > 1) jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych. Zatem każdą liczbę złożoną można przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych, czyli rozłożyć na czynniki pierwsze. Każdą liczbę zatem można jednoznacznie zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych, a kolejność zapisu tych liczb nie ma znaczenia. Zasada Euklidesa, z dzieła „Elementy” mówi, że liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy, gdy dzieli przynajmniej jedną z nich. Wynika z niej, że liczba nie może mieć dwóch różnych rozkładów na iloczyn liczb pierwszych.

Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę i dzielimy. Powstały iloraz jest nową liczbą, dla której szukamy następną liczbę pierwszą ją dzielącą i powtarzamy tę czynność aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. Np. 210=2. 3 . 5 . 7 2128=2 . 2 . 2. 2 . 7 . 19 564 =2. 2 . 3 . 47 210 2 105 3 35 5 7 1 2128 2 1064 532 266 133 7 19 1 564 2 282 141 3 47 1

Niemożliwe pierwiastki kwadratowe. Dlaczego pierwiastek kwadratowy z liczby 2 nie może być liczbą wymierną? Załóżmy, że jest ułamkiem nieskracalnym, gdzie m i n są liczbami całkowitymi, z których przynajmniej jedna jest parzysta. Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy następujące równanie 2n2=m2 .Równanie to wymaga , aby m było parzyste, zatem m2 musi być liczbą podzielną przez 4, a stąd także n musi być parzyste – a z tego wynika , że okazało się ułamkiem skracalnym. Ta sprzeczność dowodzi, że jest liczbą niewymierną.

Odcinki o długości niewymiernej. Aby wyznaczyć odcinki o długościach niewymiernych można skorzystać z konstrukcji geometrycznej jak również bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Pierwsza metoda polega na konstruowaniu trójkątów prostokątnych zaczynając od kwadratu jednostkowego i nosi nazwę ślimaka Pitagorasa lub też inna wersja Ślimak Euklidesa. Przekątne tych trójkątów są kolejnymi pierwiastkami liczb naturalnych. Ślimak Pitagorasa Ślimak Euklidesa. 1 1 1 1

Druga metoda polega na próbie rozkładu liczby naturalnej na sumę kwadratów dowolnych liczb naturalnych i zbudowaniu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są właśnie te liczby naturalne z sumy kwadratów. Niestety tą metodą nie otrzymamy wszystkich odcinków o długościach niewymiernych. Np. 2 2 1 4 5 6

Dlaczego pierwiastek kwadratowy z liczby -1 nie może być liczbą rzeczywistą? Załóżmy, że jest liczbą rzeczywistą m , więc m2 =-1. Jeśli m jest liczbą dodatnią to m2 jest dodatnie, więc . Jeśli natomiast m jest ujemne, to m2 =(-a)(-a)=a2 co daje nam znów liczbę dodatnią, czyli . Jeżeli m jest równe zero to m2 też jest zerem. Zatem przy rzeczywistym m nie jest możliwe aby .

Dywan Sierpińskiego To fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku. Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.

Własności dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928... Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe. Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.

Fraktal Fraktal w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,

jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd. Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość . Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo- podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Fraktale w matematyce. Kostka Mangera Zbiór Julii w przestrzeni kwaternionów Kostka Cantora Atraktor IFS Fraktal w przestrzeni trójwymiarowej Zbiór Mandelbrota

Liczby Fibonacciego. Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele „Liber abaci” jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazywanie tego ciągu jako ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Edward Lucas. Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich, kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od 1. Wyrazy ciągu Fibonacciego to: 0, 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181... .

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: 0 dla n=0; Fn = 1 dla n=1; Fn-1 + Fn-2 dla n>1. Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…

Wzór Bineta. Wzór ogólny ciągu Fibonacciego określa sie wzorem: Nosi on miano wzoru Bineta.

Graficzna prezentacja ciągu. Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki - czarnymi.

Złota liczba. Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami. Można powiedzieć, że ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1).

Podział odcinka w złotej proporcji. Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). a b a + b a + b a b

Spirala Fibonacciego. Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej.

Klasy reszt. Co to jest reszta? Dla danych liczb k oraz m≠0 istnieją jednoznacznie wyznaczone liczby p oraz r, dla których zachodzi równość : k = p.m + r, przy czym 0 ≤ r < |m|, gdzie p – iloraz r – reszta m – dzielnik k - dzielna

Co to jest działanie modulo? Modulo – w informatyce operacja wyznaczania reszty z dzielenia jednego typu liczbowego przez drugi. W dalszym ciągu napis k mod m= r ,będzie oznaczał, iż r jest resztą z dzielenia k przez m. Na przykład: 9 modulo 5 = 4, ponieważ 5.1 + 4 = 9 , 33 modulo 7 = 5, ponieważ 7. 4 + 5 = 33, 115 Modulo 13 = 11, ponieważ 13. 8 + 11 = 115.

Klasy reszt. Jeśli n = 4, to klasy reszt są zbiorami: W podanym przykładzie odpowiednio 0, 1, 2, 3 to wyniki dzielenia modulo.

Przystawanie. Relację utożsamiającą ze sobą liczby o tej samej reszcie z dzielenia przez n tzn. relację daną wzorem ,wtedy i tylko wtedy, gdy nazywa się przystawaniem bądź kongruencją o module (modulo) n. Jeśli liczby a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez n to ich różnica a - b jest wielokrotnością liczby n lub równoważnie n jest dzielnikiem a - b . Wspomniane dwa sformułowania są często przyjmowanymi definicjami przystawania. Innym sposobem zapisu relacji jest a = b(mod n) ,a nawet a = b (n). Aby uniknąć nieporozumień indeks dolny n jest pomijany przy symbolach.

Przystawanie można również wyrazić w następujący sposób : a przystaje do b, jeśli wynik działania modulo dla liczb a i b jest taki sam. Przykłady: 16 modulo 6 = 4 10 modulo 6 = 4 więc 16 przystaje do 10 (modulo 6) Zapis matematyczny 16 10 (mod 6) 25 modulo 9 = 7 52 modulo 9 =7, czyli 25 52( mod 7)

literatura Matematyka, podręcznik dla liceów i techników klasa1, wyd. Oficyna edukacyjna Krzysztof Pazdro. Matematyka1, podręcznik dla liceów i techników, wyd. Nowa Era http://www.math.edu.pl/liczby-kwadratowe http://www.math.edu.pl/liczby-trojkatne http://www.deszynski.pl/p12/Kunert/index.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Dywan_Sierpi%C5%84skiego http://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka_modularna Księga liczb – John Conway i Richard Guy Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek