DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu ID grupy: 97/44_mf_g1 Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011

SPIS TREŚCI: I. CELE PROJEKTU II. LICZBY NATURALNE Cechy podzielności liczb naturalnych. III. PODZBIORY ZBIORU LICZB NATURALNYCH Liczby pierwsze Szczególne rodzaje liczb pierwszych IV. NAJWIĘKSZE ZNANE LICZBY V. CIEKAWOSTKI VI. PODSUMOWANIE VII. BIBLIOGRAFIA

CELE PROJEKTU: poszerzenie wiedzy z Teorii zbiorów czyli działu matematyki zajmującego się badaniem własności liczb naturalnych, znalezienie i zaprezentowanie podstawowych informacji dotyczących definicji, metod znajdowanie różnych typów liczb i historii ich odkryć, usystematyzowanie posiadanej wiedzy na temat liczb naturalnych.

„Co jest najmądrzejsze? Liczba…” Pitagoras

Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. LICZBY NATURALNE Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Zbiór liczb naturalnych: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…} Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Uwaga: To czy 0 (zero) jest liczbą naturalną, zależy od definicji.

0N czy 0N ? Jeśli używamy liczb naturalnych do określania kolejności do obojętne jest czy liczby naturalne będą zaczynać się od 0, 1 czy od innej liczby. Jeśli używamy zbioru liczb naturalnych do liczenia elementów zbioru to sensowne jest, żeby naturalne zaczynały się od zera, czyli od mocy zbioru pustego. Jeśli przyjrzymy się teorii liczb to w większości twierdzeń i definicji zero okazuje się wyjątkiem.

CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH Podzielność przez 2: liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostania cyfra jest parzysta lub jest nią 0, np.: 14, 52, 60,13456 Podzielność przez 3: liczba jest podzielna przez 3 jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3, np.: 33, 153 Podzielność przez 4: liczba jest podzielna przez 4 jeśli dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, np.: 34236, 23456784 Podzielność przez 5: liczba jest podzielna przez 5 jest jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. np.: 10,15,3285 Podzielność przez 6: liczba jest podzielna przez 6 jeśli jest jednocześnie podzielna przez 2 i przez 3, np.: 54, 102

CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH Podzielność przez 8: liczba jest podzielna przez 8 jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8, np.: 14328, 54128 Podzielność przez 9: liczba jest podzielna przez 9 jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9, np.: 153, 46125 Podzielność przez 10: liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0, np.: 34230, 234567800 Podzielność przez 11: liczba jest podzielna przez 11 jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) jest podzielna przez 11 np.: 1408 Podzielność przez 25: liczba jest podzielna przez 25 jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami, np.: 125, 34500

„…Co jest najpiękniejsze? Harmonia…” Pitagoras

PODZBIORY ZBIORU LICZB NATURALNYCH

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. LICZBY PIERWSZE Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i siebie samą) np.: 2,3,5,7,11, …. Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. (jest na to wiele dowodów, oto jeden z nich)

Dowód Euklidesa Przypuśćmy, że są wszystkimi liczbami pierwszymi. Przyjmijmy i niech p będzie dzielnikiem pierwszym liczby P; wtedy p nie może być żadną z liczb gdyż w przeciwnym razie dzieliłaby ona różnicę , co jest niemożliwe. Zatem ta liczba p jest jeszcze jedną liczbą pierwszą, czyli nie są wszystkimi liczbami pierwszymi. c.k.d.

Sito Eratostenesa Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze w zadanym przedziale liczbowym można posłużyć się algorytmem: Jeśli liczba naturalna N większa od 1 nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych nie większych od pierwiastka z N, to N jest liczbą pierwszą. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

SZCZEGÓLNE RODZAJE LICZB PIERWSZYCH Liczby pierwsze bliźniacze - liczby pierwsze p i q są bliźniacze jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73... Liczby pierwsze czworacze – liczby pierwsze, mające postać: p, p+2, p+6, p+8. Przykłady: 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Liczby pierwsze izolowane- Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

SZCZEGÓLNE RODZAJE LICZB PIERWSZYCH Liczby pierwsze palindromiczne - liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929. Liczby pierwsze lustrzane - pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73,... Liczby pierwsze Fermata - liczby pierwsze postaci . Znanych jest pięć liczb Fermata, które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537.

LICZBY DOSKONAŁE 6 bo (6 = 3 + 2 + 1) Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (tz. mniejszy od tej liczby) 6 bo (6 = 3 + 2 + 1) inne to np.: 28, 496, 8128, 33550336 Liczba doskonała II rodzaju – liczba naturalna n>1, która jest równa iloczynowi wszystkich mniejszych od niej dzielników.

LICZBY WZGLĘDNIE PIERWSZE Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Przykłady liczb względnie pierwszych: 6 i 13 .

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)

LICZBY NAJBARDZIEJ ZŁOŻONE Liczbą najbardziej złożoną nazywamy taką liczbę, która ma więcej podzielników, niż każda liczba naturalna mniejsza od niej np. liczba 6 jest najbardziej złożona, gdyż ma cztery podzielniki, a liczby naturalne mniejsze od 6 mają mniej podzielników.

AKTUALNIE NAJWIĘKSZE ZNANE LICZBY Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora. Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 47 liczba pierwsza Mersenne'a: 243112609−1 i liczy sobie 12978189 cyfr w zapisie dziesiętnym. Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith

Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych Liczby te, znalezione w 2007 roku, posiadają 58711 cyfr w zapisie dziesiętnym Największe znane liczby czworacze to 4104082046 × 4799! + 5651, 4104082046 × 4799! + 5653, 4104082046 × 4799! + 5657 oraz 4104082046 × 4799! + 5659, gdzie ! jest silnią.

Na zakończenie kilka CIEKAWOSTEK: 23 cyfrowa liczba 11111111111111111111111 jest liczbą pierwszą. Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891 Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. Największą znaną liczbą pierwszą, która nie jest liczbą Mersenne'a jest: która w zapisie dziesiętnym liczy 3 918 990 cyfr. Liczba ta została odkryta 26 marca 2007 roku.

„…Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.” Pitagoras

PODSUMOWANIE Teoria liczb jest obok geometrii bardzo ważną gałęzią matematyki. Przyciąga do siebie wielu słynnych i wielkich matematyków. Dzięki projektowi mogliśmy też zagłębić się w jej tajniki i poznać wiele ciekawych faktów. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ.

BIBLIOGRAFIA http://www.math.edu.pl/ http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_doskonałe http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Mersenne’a http://www.serwis-matematyczny.pl/ http://www.askompetencji.eduportal.pl/ Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, WNT Warszawa 1996 Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna, PWN Warszawa 1966 Wacław Sierpiński, Wstęp do teorii liczb ,WSiP Warszawa 1987