DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Chemicznych ID grupy: 97/39_MF_G2 Opiekun: Anna Nowak Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania diofantyczne Semestr/rok szkolny: III/2010/2011

Równania diofantyczne to równania, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych, równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

Równania diofantyczne Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: Czy ma ono rozwiązania? Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

Równania diofantyczne W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat!

Diofantos Ich nazwa pochodzi od greckiego matematyka Diofantosa, który miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania = oraz znak odejmowania (-). Na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych.

Diofantos Według legendy na jego nagrobku widniał napis: Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia. Przechodniu, oblicz długość jego życia!

NWD – Największy Wspólny Dzielnik Twierdzenie Jeśli a i b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofanyczne NWD(a,b) = xa + yb Problem: jak znaleźć takie liczby?

Algorytm Euklidesa Na przykładzie liczb a = 309 oraz b = 186 309 = 1*186+123 186 = 1*123+63 123 = 1*63+60 63 = 1*60+3 60 = 20*3+0 Stąd otrzymujemy NWD(309,186) = 3 oraz 3 = 63 – 1*60 = 63 – 1*(123 – 1*63) = 2*63 – 1*123 = 2*(186 – 1*123) – 1*123 = 2*186 – 3*123 = -3*309+5*186 Rozwiązanie równania diofantycznego jest postaci x = -3, y = 5. Czy jest to jedyne rozwiązanie?

Równanie ax + by = c Twierdzenie Równanie diofantyczne ax + by = c posiada rozwiązanie <=> NWD(a,b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x0 i y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c, to wszystkie rozwiązania dane są wzorami, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

Równanie ax + by = c Zatem omawiane równanie 309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = -3 + 62t, y = 5 – 103t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą

Równanie ax + by = c Zadanie Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydać wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu.

x = 289 +5t; y = -149 – 3t, t – liczba całkowita Równanie ax + by = c Rozwiązanie: x – liczba biletów po 3 zł, y – liczba biletów po 5 zł Mamy równanie: 3x + 5y = 149. Postępując analogicznie jak w poprzednim zadaniu otrzymujemy: x = 289 +5t; y = -149 – 3t, t – liczba całkowita Ale liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi, czyli należy tak dobrać t, aby : x = 289 +5t  0; y = -149 – 3t  0

Równanie ax + by = c Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy: x = 289 + 5t y = -149 – 3t,czyli -59 ≤ t ≤ -50 Odpowiedź: Bilety można kupić na 10 różnych sposobów t -59 -57 -56 -55 -54 -53 -52 -51 -50 x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y 25 22 19 16 10 7 4 1

Równanie a1x1 +…+ anxn = b Równanie diofanyczne a1x1 +…+ anxn = b Twierdzenie Równanie diofanyczne a1x1 +…+ anxn = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1,….an)|b. Problem: jak rozwiązać równanie a1x1 +…+ anxn = b, gdy NWD(a1,….an) dzieli b?

Równanie a1x1 +…+ anxn = b Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie: Ponieważ NWD(12,15) = 3, więc12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań: 12x + 15y = 3w 3w + 7z = 11

Równanie a1x1 +…+ anxn = b Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie: z = 11 – 3u, w = -22 + 7u Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania otrzymując: 12x + 15y = 3(-22 + 7u) /:3 4x + 5y = -22 + 7u Ponieważ NWD(4,5) = 1, więc najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4x + 5y = 1. Od razu widać, że 4*(-1) + 5*1 = 1, więc

Równanie a1x1 +…+ anxn = b 4*(22 – 7u) + 5*(-22 + 7u) = -22 + 7u Odpowiedź: Zatem rozwiązaniem wyjściowego równania jest trójka x = 22 – 7u + 5t y = -22 + 7u – 4t z = 11 – 3u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Równanie Pitagorasa

Równanie Pitagorasa Wiemy, że istnieje trójkąt prostokątny, którego boki mają długości 3, 4, 5. Problem: jakie inne trójkąty prostokątne można skonstruować, których boki są liczbami naturalnymi? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania x2 + y2 = z2 diofantycznego zwanego równaniem Pitagorasa

Równanie Pitagorasa Jeżeli trójka (a,b,c) jest pitagorejska, to jest nią też (da,db,dc), dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej d. Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli a, b i c nie mają wspólnego dzielnika. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Równanie Pitagorasa Definicja Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym, jeśli NWD(x0,y0,z0) = 1. Twierdzenie Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 równania x2 + y2 = z2 dla którego y0 jest liczbą parzystą jest postaci x0 = m2 – n2, y0 = 2mn, z0 = m2 +n2, gdzie m, n są dowolnymi liczbami naturalnymi takimi, że m>n, NWD(m,n) = 1 oraz dokładnie jedna z nich jest parzysta.

Równanie Pitagorasa - przykład m 2 3 4 5 n 1 x 15 21 9 y 12 8 20 40 z 13 17 29 41

Równanie Pitagorasa Problem 1: Czy rozwiązanie x = 3, y = 4, z = 5 równania Pitagorasa jest jedynym rozwiązaniem w kolejnych liczbach naturalnych?

Równanie Pitagorasa Rozwiązanie problemu 1: Weźmy kolejne liczby naturalne n, n+1, n+2. Podstawiając do równania Pitagorasa otrzymujemy równanie kwadratowe: n2 – 2n – 3 = 0 Otrzymujemy rozwiązania: n1 = -1, n2 = 3. Pierwsze rozwiązanie nie należy do zbioru liczb naturalnych, zatem jedynym rozwiązaniem problemu jest trójka liczb 3, 4, 5.

Równanie Pitagorasa Problem 2: Czy dużo jest takich rozwiązań równania Pitagorasa x, y, z, aby x i y były sąsiednimi liczbami naturalnymi?

Równanie Pitagorasa Rozwiązanie problemu 2: Znaleźliśmy przykłady takich liczb: 3, 4, 5 5, 12,13 7, 24, 25 20, 21, 29 9, 40, 41 11, 60, 61 czyli szukaliśmy takich dwóch sąsiednich liczb naturalnych, żeby ich suma była kwadratem liczby naturalnej

Równanie Pitagorasa Czyli na podstawie twierdzenia oraz taktu trójka pitagorejska jest pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy m i n są względnie pierwsze i nie są jednocześnie nieparzyste można wnioskować, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich. (Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15) i wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie a i b) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych m>n)

Równanie Pitagorasa Wniosek: Jeśli chcemy otrzymać tylko trójkąty pitagorejskie pierwotne, należy przestrzegać dwóch zasad: Jedna z liczb m i n powinna być parzysta, druga – nieparzysta, Liczby m i n powinny być względnie pierwsze.

Równanie Fermata Pierre de Fermat – matematyk (samouk) francuski, z wykształcenia prawnik i lingwista. Większość jego prac opublikował dopiero po jego śmierci syn. Dokonał wielu odkryć w teorii liczb, m.in. sformułował słynne wielkie twierdzenie Fermata i jeszcze przed Kartezjuszem opracował i stosował metodę współrzędnych w geometrii. Wykazał, że wszystkie krzywe drugiego stopnia da się uzyskać przez odpowiednie przecinanie płaszczyzną powierzchni stożka. Podał metodę znajdowania ekstremum funkcji. Jego prace stworzyły też podstawy pod późniejszy rozwój rachunku prawdopodobieństwa.

Równanie Fermata Pierre de Fermat (ok. 1637 r.) studiując łaciński przekład dzieł Diofantosa na marginesie rozdziału o trójkach pitagorejskich napisał: „Nie można podzielić sześcianu na dwa sześciany ani czwartej potęgi na dwie czwarte potęgi, ani ogólnie żadnej wyższej niż druga na dwie takie same potęgi; znalazłem naprawdę zadziwiający dowód, który nie zmieści się na tym zbyt wąskim marginesie”.

Równanie Fermata Wielkie Twierdzenie Fermata Dla n  3 równanie xn + yn = zn nie posiada rozwiązań w liczbach naturalnych. Wielu matematyków nadal szuka dowodu WTF na bazie teorii liczb. Istnieją dowody dla wybranych n podane przez takich matematyków jak Euler (n = 3), Dirichlet (n = 5, n = 14), Lamé (n = 7) i inni. Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić WTF dla wszystkich n < 1 000 000.

Równanie Fermata Twierdzenie stało się wyzwaniem dla kolejnych pokoleń matematyków – wiadomo bowiem było, że wiele twierdzeń formułowanych przez Fermata okazało się prawdziwymi, a ich dowody zostały znalezione przez innych. To jedno przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności, znane były dowody szczególnych przypadków. Dlatego też nazwane zostało ostatnim twierdzeniem Fermata. Dowód ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX wieku. Zajmował ok. 200 stron A4 i wyrażony był w języku topologii i krzywych eliptycznych.

Inne równania diofantyczne Równanie 2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)

Inne równania diofantyczne Równanie xy = yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x  y: x = 2, y = 4 oraz x = 4, y = 2

Inne równania diofantyczne Równanie x2 – ny2 = 1 (n > 0) zwane równaniem Pella jeżeli n jest kwadratem liczby naturalnej nie ma rozwiązań, jeżeli nie jest, ma ich nieskończenie wiele.

Inne równania diofantyczne Rozwiązanie równania 2x + 2y = 2z w liczbach całkowitych dodatnich Jeżeli (x; y; z) spełniają dane równanie to 2z > 2x; 2y, zatem z > x; y, czyli z – 1  x; y. Wtedy jednak 2z = 2·2z-1 = 2z-1 + 2z-1  2x + 2y i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = y = z – 1. Ostatecznie rozwiązaniami równania są trójki (n; n; n + 1), gdzie n jest całkowite dodatnie.